函數、等差數列“牽手”研究

陳鵬

摘 要 函數、等差數列這部分知識是初等數學和高等數學的一個銜接點，歷來是高考考查的重點。在高中數學學習中，如果用函數方程的思想來研究數列，尤其是等差數列，往往能起到事半功倍的效果。

關鍵詞 函數；等差數列；數據研究；一次函數

函數在高中階段非常重要的一個數學階段，它貫穿于整個高中數學課程中。用函數思想解決有些問題要比用普通方法簡單、輕松。在日常教學過程中，教師和學生都應不斷挖掘數學學習中蘊含的函數思想，從而更深刻地理解函數概念。 一、函數、等差數列“牽手”

函數是貫穿整個高中數學課程的一條主線，這條主線鏈接著高中數學課程的許多內容，來分析如下教學案例。在高三這個階段，同學們已學習了數列的基本知識和基礎函數的應用，其實函數和數列存在著千絲萬縷的聯系。那么我們可以嘗試將等差數列和一次函數結合起來，在等差數列中我們通常用通項公式來求數列的相關量，而等差數列{an}的通項公式為（n R），an可以看做n的一次函數（特殊地，d=0為常數函數），也就是說數列可以直接看成特殊的函數，那么在數列中很多問題都可以應用函數來解決了。

例一：

（1）求等差數列8，5，2，...的第20項。

（2）-401是不是等差數列-5，-9，-13，...的項？如果是，是第幾項？

解：（1）因為（1，8）、（2，5）、（20，a20）是同一直線上的點。 所以，解之得a20=-49

（2）由題意可知，所求問題就是求n是否為正整數的問題。因為（1，-5）、（2，-9）、（n，-401）是同一直線上的點。所以，解之得n=100。故-401是這個數列的第100項。

總結升華：求函數的解析式常用的方法是待定系數法，具體怎樣求出其中的待定系數的值，要根據具體的題設條件求出。

數列是一種特殊的函數，當自變量從小到大依次取值時，對應的一列函數值就是數列。差數列會是什么樣的函數，首先研究等差數列的通項公式，因為它體現了數列的項與項數的對應關系在等差數列{an}中，公差為d（d是常數）。當d≠0時，其通項公式an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d），f（n）=dn+（a1-d），是關于自變量n的一次函數。所以，通項an可以寫成關于n的一次函數形式是an成等差數列的充要條件。當d=0時，an=a1，而一次函數要求一次項的系數一定不為0，所以當d=0時，an不是關于n的一次函數.只有在d≠0時，才可以進行剛才的研究。但不管公差d是否等于0，我們都可以認為an分布在一條直線上，d相當于該直線的斜率，這樣就得到d≠0時，an是關于n的一次函數，這實際就是是在用函數思想來研究數列。

二、等差數列的通項公式

例二：數列an是等差數列的充要條件是它的通項an可以寫成關于n的一次函數的形式。若an是等差數列，公差為d，an 是關于n的一次函數。若an可以寫成關于n的一次函數，即：an=An+B（A、B為常數）則：an+1-an=〔A（n+1）+B〕-（An+B）=A所以an是以A為公差的等差數列

根據一次函數的圖象是一條直線知：等差數列an中的任三點（m，am）（p，ap）（q，ap）共線。已知等差數列（an）和第n項為1997，第1997項為n，求數列的第n+2000項。解：因為{an}是等差數列，所以點（n，1997）（1997，n）（n+2000，an+2000）三點共線，所以an+2000=-3。

例三：已知當x=5時，二次函數f（x）=ax2+bx取得最小值，等差數列{An}的前n項和Sn=f（n），A2=-7。求數列{An}的通項公式。

解：因為S2=A2+A1

A1=S1=f（1）=a+b

S2=f（2）=4a+2b

所以A2=S2-S1=S2-A1=4a+2b-a-b=3a+b=-7

又因為

當x=5時f（x）=ax2+bx有極小值

所以可推算出

函數f（x）與x軸交點在0，10處及x1=x2=10

有10a+b=0與3a+b=-7聯立解得：a=1，b=-10

那么數列的通項公式為：An=Sn-Sn-1=n^2-10n-[（n-1）^2-10（n-1）]=2n-11

三、等差數列的前n項和公式

在掌握了等差數列的概念、通項公式及其有關性質以后，要進一步研究等差數列的前n項和公式。而在解決函數問題時我們通常選擇畫圖，如果將前n項和公式也看成一個特殊函數，利用圖像來解決問題，是不是會更簡單呢？

例四：等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S9<0，S10>0，則此等差數列的前n項和中n是多少時取得最小值？

分析：等差數列前n項和Sn是關于n的二次函數，常數項為0，因此函數的圖象是過原點的拋物線上橫坐標為自然數的點。由題意可知該數列公差大于0。如圖1對應的拋物線，開口向上，與橫軸的一個交點的橫坐標為0，另一個交點的橫坐標在區間（9，10）內，可見其頂點橫坐標在區間（4.5，5）內，故當n=5時，Sn最小。

總結：

數列這部分知識是初等數學和高等數學的一個銜接點，是高考考試中的關鍵拿分點。在高中數學學習中數列是一種特殊的函數，數列的通項公式和前n項和公式都可以看成n的函數，也可以看成是方程或方程組，特別是等差數列的通項公式可以看成是n的一次函數，而其求和公式可以看成是常數項為零的二次函數，因此許多數列問題可以用函數方程的思想進行分析數列作為一種特殊的函數，更是與函數思想密不可分。而現行教材中對于函數思想在數列中的應用涉及較少，但這一點對于加深學生對數列的認識，提高學生分析問題、解決問題的能力是十分重要的。所以，廣大教育工作者們應與時俱進，把握好函數、等差數列“牽手”進行專項課題研究。