多彩的三角形面積公式

劉世民（新疆伊寧市第八中學(xué)）

我們最早接觸的圖形就是三角形，它也是最簡(jiǎn)單的幾何圖形.關(guān)于三角形的研究多種多樣，三角形中邊、角關(guān)系的轉(zhuǎn)化和應(yīng)用構(gòu)成了豐富多彩的數(shù)學(xué)內(nèi)容.在三角形的應(yīng)用中，求三角形的面積也是經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)問題，下面我來重點(diǎn)說說三角形的面積問題.我們知道三角形的面積公式是S=×底×高，我們把它當(dāng)口訣一樣熟記在心.關(guān)于它的由來可以通過割補(bǔ)圖形，用等底等高平行四邊形面積的一半來表示.

若設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，三邊上的高分別為ha、hb、hc，如圖，由解直角三角形易得三邊上的高h(yuǎn)a、hb、hc，根據(jù)面積公式S=×底×高，可以推導(dǎo)出另一面積公式S△=12c b sin A=c·a sin B=a·b sin C.由此公式，可以直接計(jì)算已知兩邊及夾角的三角形面積，并解決一些與面積相關(guān)的問題.通過這一組公式，我們發(fā)現(xiàn)求三角形的面積不光是用邊可以求解，利用邊和角一樣可以求解.

這個(gè)結(jié)果，就是著名的海倫公式，可以直接由三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c求出三角形的面積.該公式最早出現(xiàn)于古希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測(cè)地術(shù)》中，公式的形式漂亮，且便于記憶.

這個(gè)公式本質(zhì)上與海倫公式相同，只不過形式上不夠好看，不易記憶，這是我國(guó)大數(shù)學(xué)家秦九韶的“三斜求積”公式.

在已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，也可以去求三角形的面積.如：在△ABC中，若A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），利用兩點(diǎn)間距離公式求出邊長(zhǎng)，亦可求出面積，但這樣較繁瑣，如果利用向量運(yùn)算，還可得如下結(jié)論：在△ABC中，設(shè)=a=用向量的數(shù)量積運(yùn)算關(guān)系及三角代換，可化簡(jiǎn)得將a，b坐標(biāo)代入，得

通過以上分析，我們探討了幾種三角形面積公式之間的相互聯(lián)系，靈活運(yùn)用三角形的面積公式，能幫助我們解決許多解三角形的問題.