談談數學概念的形成

胡春艷

數學概念的教學一般都要經歷概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的應用（包括概念所涉及的數學思想方法的運用）等階段。在數學概念的教學中，一些教師往往不注重概念的形成過程，只重視概念的運用，忽視數學知識的產生與形成的重要階段，強行將一些新的數學概念灌輸給學生，這會嚴重影響學生形成正確的數學觀，阻礙學生能力的增強。造成這種現象的原因，一方面是由于教師的教學觀念比較陳舊，在教學中不重視學生的思維活動，不能使學生的認知過程成為一個再發現、再創造的過程。另一方面是許多教師不知如何創設數學概念形成的問題情境，循序漸進地引導學生開展探索活動。

一

在數學概念教學中，如何構建數學概念的形成過程呢？

1.回顧已有的相似概念，類比發現新的概念。

中學數學中有許多概念具有相似的屬性，對于這些概念的教學，教師可先引導學生研究已學過的概念屬性，然后創設類比發現的問題情境，引導學生發現，嘗試給新概念下定義，這樣新的概念容易在原有的認知結構中得以同化與構建。

例如在異面直線的距離的教學中可以先引導學生回顧過去學過的有關距離的概念（點與點間的距離、點到直線的距離、平行線之間的距離），并概括它們的共同點：各種距離概念都歸結為點與點間的距離；每種距離都是確定的而且是最小的。通過引導學生研究已有“距離”概念的本質特點，即產生新的概念的“生長點”，以類比方法獲得異面直線距離的概念，讓學生覺得這一概念是已有距離概念的一種自然發展，不感到突然。這樣的概念還有很多，如復數的模與實數的絕對值類比、二次方程與一次方程的類比等。

這類數學概念形成的問題情境創設一定要抓住新舊概念的相似點，為新的數學概念的形成提供必要的“認知基礎”，通過與熟悉的概念類比（類比的形式多樣，如平面與空間的類比、高維與低維的類比、有限與無限的類比，還有方法類比、結構類比、形式類比等），可使學生更好地認識、理解、掌握新的數學概念。當然要注意類比得出的結論不一定正確，應引導學生修正錯誤的類比設想，直到得出正確的結果。

2.與已有的相關概念進行比較，歸納總結出新的數學概念。

有些數學概念是已有概念的擴充，若能揭示概念的擴充規律，便可以水到渠成地引入新概念。例如復數概念的引入，可以先回顧已經歷過的幾次數集擴充的事實：

正整數→自然數→非負有理數→有理數→實數，然后教師提出問題：上述數集擴充的原因及其規律如何？

實際問題的需要使得在已有的數集內有些運算無法進行，數集的擴充過程體現了如下規律：①每次擴充都增加規定了新元素；②在原數集內成立的運算規律，在數集擴充后的更大范圍內仍然成立；③擴充后的新數集里能解決原數集不能解決的問題。

有了上述準備后，教師提出問題：負數不能開平方的事實說明實數集不夠完善，因而提出將實數集擴充為一個更為完整的數集的必要性。那么，怎樣解決這個問題呢？從而水到渠成地完成復數的概念的引入。

這類數學概念形成的問題情境創設的關鍵是揭示相關概念的擴充發展的背景及其規律，從而引發新的數學概念的產生。

3.聯想相關數學概念，引導學生合理猜想得到新的數學概念。

許多數學概念間存在一定的聯系，教師若能將新舊概念間的聯系點創設成問題情境，引導學生建立起新舊概念間的聯系，便可以使學生牢固地掌握新的概念。

4.聯系生活，抽象與概括出新的數學概念。

有些數學概念源于現實生活，是從生產、生活實際問題中抽象出來的，對于這些概念的教學要通過一些感性材料，創設生活情境，引導學生提煉數學概念的本質屬性。

例如在數軸概念的教學中可以創設下面的問題情境：從小李家向東走20米是書店，向西走30米是學校。若規定向西走為正，向東走為負，那么，小張從家出發，走到書店應記作什么？走到學校記作什么？接著要求學生將上述問題用簡單形象的圖示方法描述它們，并進一步引導學生提煉出它們的共同屬性：（1）可以用圖線表示事物的數量特征（可用同一直線上的線段來刻畫）（2）度量的起點（小李家）；（3）度量的單位（一個單位表示十米）；（4）有表示相反意義的方向（向西為正，向東為負）。

這樣就啟發學生用直線上的點表示數，對于“表示相反意義的方向”用箭頭“→”表示正方向，從而引進“數軸”的概念。這樣做符合學生的認識規律，給學生留下深刻的印象，同時也有助于激發學生的學習興趣，促使他們積極參與教學活動，有利于學生思維能力和素質的提高。

這類數學概念的教學一定要遵循認識規律，從感性到理性，從具體到抽象，從特殊到一般。通過學生熟悉的實際例子，恰當地設計一些問題，讓學生從中找出一類事物的本質屬性，最后通過概括得出新的數學概念。

二

選擇適當的方法創設問題情境，引導學生用已有的知識和經驗自己構建新的知識體系，在教學過程中我們有什么要注意的地方呢？

1.注意問題的呈示方式。

有了合適的問題情景，還必須注意問題的呈示方式。我們認為：問題的呈現要以學生主體的充分發揮為前提，重視知識的發現和探索過程，重視學生的內心體驗。通過問題的呈現，學生充分地展開思維活動（包括動手、動腦），教師應留給學生一定的思考時間和空間，不要急于將答案告訴學生，應把發現問題的機會提供給學生，讓學生的思維得到充分暴露。教師根據學生出現的一些問題，有針對性地組織討論、辨析，并在關鍵處予以點撥，真正使學生體驗到新的數學概念的形成過程。

2.教學形式要多樣化。

課堂教學從本質上說是一種“溝通”與“合作”的活動，是教師主導與學生主體相互作用以實現學生有意義學習的過程，要使這個過程順利進行，必須充分調動師生雙方的積極性和主動性。為了充分調動學生的積極性，教學形式應盡可能地多樣化。教學不能只是教師的講授，還應包括學生的獨立自主探究，集體研究，小組討論或先學生獨立研究再相互交流，或帶著問題自學等多種方式。這樣有利于調動學生的學習積極性。至于如何確定教學形式，這就要考慮所研究問題的難易程度及學生的知識和思維水平。一般來說，要盡可能地讓學生參與數學活動，只要學生有能力通過活動解決的問題，就應該讓學生獨立完成。對有一定難度的問題，可先讓學生獨立研究，再組織小組交流（教師參與小組研究，并在關鍵處作適當點撥），最后師生一起探索得出結論。

3.滲透數學思想方法。

數學概念是思維的細胞，是濃縮的知識點，是感性認識飛躍到理性認識的結果，而飛躍的實現要依據數學思想方法，經過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工而成。因此教師應注意將在解決問題的過程中所涉及的數學思想方法顯化，對解決問題的思維策略進行提煉，讓學生學會思維，提高自我探索、發現創造的能力。要讓學生通過不斷實驗、觀察，進而得到發現的“科研”方法并逐步掌握。學生掌握這些方法將受益終身。

在教學過程中教師應積極鼓勵學生獨立提出問題、獨立分析、解決問題，還要鼓勵學生之間互相研討問題，大膽向教師提問題或提出創見性的觀點，努力營造師生之間平等共同研討、分析解決問題的民主氣氛，建立師生間和諧良好的人際關系，使課堂教學充滿活力。