構造輔助函數在高等數學中的應用

段桂花

摘 要： 通過構造輔助函數解題是一種重要的高等數學方法.本文通過具體例子體現構造輔助函數在高等數學解題中的應用，同時對構造輔助函數解決的問題進行歸納，并總結構造輔助函數的步驟.

關鍵詞： 構造輔助函數 高等數學 數學應用

構造函數思想是高等數學的一種重要的思想方法，在高等數學中具有廣泛的應用，它屬于數學思想方法中的構造.在數學解題中經常運用，但是如何構造輔助函數，始終是一個難點，因此應重視這種思想方法的引導和滲透，多歸納總結.本文對高等數學中的幾類問題，使用構造函數的方法求解，闡明了構造的思想方法.

一、通過對所構造輔助函數的研究，討論方程根的情況

構造輔助函數用零點定理證明：若題設中僅有抽象函數連續的條件，或所給的方程是具體方程，此時應考慮用零點定理.構造輔助函數的方法是：通過移項，把方程的一端化為零，另一端即為所要構造的輔助函數（若結論是含有x的等式，則把ξ換成x）.

例1：試證方程x=asinx+b（a>0，b>0）至少有一個正根，并且它不超過a+b.

分析：構造一個輔助函數f（x）=x-asinx-b，對其在[0，a+b]上使用零點定理.

證明：設f（x）=x-asin-b，顯然f（x）=x-asinx-b在[0，a+b]上連續，且f（0）=-b<0，f（a+b）=a[1-sin（a+b）]≥0.

當sin（a+b）]=1時，f（a+b）=0，則a+b就是方程的一個根.

當sin（a+b]<1時，f（a+b）=a[1-sin（a+b）]>0，此時f（0）與 f（a+b）異號，故由零點定理知，在（0，a+b）內至少存在一個點ξ，使得f（ξ）=0即ξ=asinξ+b.

故方程x=asinx+b（a>0，b>0）至少有一個根ξ，ξ∈（0，a+b）.

綜上所述，方程x=asinx+b（a>0，b>0）至少有一個正根，并且它不超過a+b.

對于具體的方程或含n的等式，若構造的函數經驗證不符合零點定理，即用零點定理證明失效時，則改用羅爾定理.此時，需尋找該函數的原函數f（x）作為所構造的輔助函數.

例2：證明：若■+■+...+■=0，則至少存在x■∈（0，1），使得a■+a■x■+...+a■x■■=0.

分析：問題僅在于構造一個輔助函數f（x）=a■x+■x■+...+■x■，對其在[0，1]上使用羅爾定理.

證明：設f（x）=a■x+■x■+...+■x■，顯然f（0）=f（1）=0；且f（x）在[0，1]上連續，（0，1）上可導，由羅爾定理知，至少存在x■∈（0，1），使得f′（x■）=0，即a■+a■x■+...+a■x■■=0.

二、通過對所構造輔助函數的研究，討論中間值的存在性

例3：設b>a>0，證明存在ξ∈（a，b）使得blna-alnb=（b-a）（lnξ-1）.

分析：要證中間值的存在性，顯然要用中值定理.關鍵是要構造怎樣的一個輔助函數，對其應用中值定理.

要湊出f（b）-f（a）的形式，把等式blna-alnb=（b-a）（lnξ-1）變形為■=lnξ-1，很顯然，要對函數■，■在[a，b]上應用柯西中值定理.

證明：設f（x）=■，g（x）=■，顯然f（x），g（x）在[a，b]上滿足柯西中值定理的條件，所以ξ∈（a，b）存在使得■=■，

即■=■=lnξ-1，

故有blna-alnb=（b-a）（lnξ-1），ξ∈（a，b）.

三、通過對所構造輔助函數的導數討論，證明恒等式或者不等式

例4證明：設n為正整數，求證：■

分析：由于ln（1+■）=ln（n+1）-lnn，因此可以在區間上[n，n+1]對lnx應用拉格朗日中值定理，再利用中值間的性質進行證明.

證明：設f（x）=lnx，在[n，n+1]上，由拉格朗日中值定理知，？堝ξ∈（n，n+1），使得f′（ξ）=■，即■=ln（1+■）.

由于ξ∈（n，n+1），故有■<■<■，

從而有■

利用輔助函數證明有關命題時，關鍵是認真分析，巧妙構造適當輔助函數，而恰當地輔助函數要根據命題的結論的具體形式及有聯系的定理構造.當然，構造輔助函數解題的技巧性還有很多方面，有待我們進一步探索和總結.

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