基于傅里葉-梅林矩的抗幾何攻擊圖像水印算法

羅嶠伊，劉利軍，黃青松，黃 冕

LUO Qiaoyi,LIU Lijun,HUANG Qingsong,HUANG Mian

昆明理工大學 信息工程與自動化學院，昆明 650500

School of Information Engineering andAutomation,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650500,China

1 引言

數字多媒體技術、存儲技術與網絡技術的飛速發展使得多媒體作品的傳播與復制簡單快速，數字媒體的版權保護問題已變得日益突出。作為數字媒體版權保護的有效手段，數字水印技術已引起人們高度重視，并成為國際信息安全研究領域的熱點之一。近年來，數字圖像水印技術研究取得了很大進展，但遺憾的是，現有絕大多數圖像水印方案僅僅對常規信號處理攻擊具有較好的魯棒性，而抗幾何攻擊能力較差。因此，抗幾何攻擊的高度魯棒圖像水印算法研究仍然是一項富有挑戰性的工作。

目前，人們主要采用四種方法設計抗幾何攻擊的魯棒圖像水印方案，分別為擴頻水印擴頻碼相結合、同步校正、利用原始數據重要特征、構造同步不變量等[1-2]。基于擴頻水印擴頻碼相結合[3-4]的方法，首先采用糾錯編碼技術對水印信號進行編碼，以增強水印的抗干擾性能；然后，應用通信領域中的直接序列擴頻技術和誤差糾錯編碼技術來調制和編碼水印信號；最后將擴頻水印信息直接加入到原始圖像的像素值（或變換系數）中；同步校正[5-6]方法的主要思想是通過相關技術計算出受攻擊含水印圖像所經歷的各種變換參數，然后對其進行逆變換，最后在變換后的含水印圖像中提取水印信息；基于原始數據重要特征的圖像水印方案[7-11]（即所謂的第二代數字水印），就是指利用載體中相對穩定的特征點標識水印嵌入位置，并在與每個特征點相對應的局部特征區域內獨立地嵌入數字水印，同時利用特征點來定位和檢測數字水印；構造同步不變量的基本思想是從原始圖像中找到具有同步不變性的量用來隱藏水印，由于具有同步不變性，當含水印圖像遭受攻擊后，這些量沒有變化，因此可以保存隱藏其中的水印信息，從而有效抵抗幾何攻擊。Farzam[12]首次提出了基于Zernike矩的圖像水印方案。Chen[13]等在計算出水印圖像的Zernike矩后，通過調整水印的嵌入強度使得水印在頑健性和不可感知性方面達到了理想的狀態。Xin[14]等研究了在離散化過程中Zernike矩和偽Zernike矩所產生的誤差，選擇了離散化后計算誤差較小的矩，將水印信號嵌入到這些穩定的矩上，實現了具有幾何不變性的水印方案。

基于不變矩的水印方案為幾何攻擊問題提供了一些可能的解決方向。然而，理論分析和實驗結果表明，現有基于不變矩的數字水印方案還不夠成熟，但其普遍依然存在兩點不足：一是不變矩的圖像重構效果不夠理想，根據C.H.Teh于1988年提出的按照圖像重建誤差和噪聲特性來評價圖像矩的性能，Zernike矩的重構圖像能力遠遠沒有達到要求，重構誤差較大，直接影響了含水印圖像的不可感知性。二是所采用的數字水印嵌入策略過于簡單，影響了整個系統的不可感知性和魯棒性。

鑒于此，本文結合傅里葉-梅林矩的相關理論，提出了一種基于傅里葉-梅林矩的抗幾何攻擊圖像水印方案。該算法首先結合傅里葉-梅林矩的幾何不變特性，計算出原始圖像的傅里葉-梅林矩，然后選取部分穩定的傅里葉-梅林矩，并采納量化調制策略將水印信息嵌入到穩定的傅里葉-梅林矩幅值中。實驗結果表明，該算法不僅具有較好的不可感知性和較大的嵌入容量，而且對常規信號處理和幾何攻擊均具有較好的魯棒性能。

2 傅里葉-梅林矩簡介

2.1 傅里葉-梅林矩基本理論

盛等[15]提出的正交傅里葉-梅林矩能夠很容易地構造出圖像的高階矩和低階矩，并可以利用較少的矩來重構圖像。根據C.H.Teh于1988年提出的按照圖像重構誤差和噪聲特性來評價圖像矩的性能，盛等[15]證明了正交傅里葉-梅林矩的性能要比Zemike矩和Hu矩好，特別是對小圖像的描述性能。故可廣泛應用于模式識別、信息檢索與分類等諸多領域的研究中。

在極坐標系 (r，θ)中，對一個圖像函數 f(r，θ)，定義傅里葉-梅林矩的表達式如下：

其中，n為非負整數，m為整數，徑向基函數Qn(r)是r的n階多項式，表達式為：

根據正交理論，可以用正交傅里葉-梅林矩來重構圖像函數。利用有限個正交傅里葉-梅林矩和基函數來近似重構圖像的表達式如下：

圖1分別給出了二值圖像“W”和標準灰度圖像Lena的Zernike矩與傅里葉-梅林矩的重構效果對比圖。其中，由左至右，依次為原始圖像階數為5、10、15、20的重構圖像。實驗結果表明，傅里葉-梅林矩的重構效果均明顯優于Zernike矩。

2.2 傅里葉-梅林矩的不變特性分析

傅里葉-梅林矩本身并不是畸變不變量，但是經過歸一化之后，便可以獲得平移、旋轉、尺度、灰度不變性[16]。首先，計算出圖像的一階幾何矩，并以其為坐標原點進行坐標變換，再計算其所有矩Φnm，就得到了傅里葉-梅林矩的平移不變性。其次，傅里葉-梅林矩的模具有旋轉不變性。設傅里葉-梅林矩的角向函數為exp(jmθ)，如果將圖像旋轉角度φ后，則所有矩都增加相同的相位因子exp(jmφ)，然而，傅里葉-梅林矩的模在旋轉前后是不變的，即。再者，計算訓練集中每幅圖像的低階傅里葉-梅林矩，選擇一個略小于的最小值的確定值，計算圖像的尺度和灰度畸變因子ki，gi為：

利用下面的式（6）、式（7），計算訓練集中所有圖像的Φnm，它是尺度和灰度畸變不變的。

圖1 Zernike矩與傅里葉-梅林矩的重構效果對比（階數分別為5、10、15和20）

3 基于傅里葉-梅林矩的抗幾何攻擊圖像水印

3.1 基于傅里葉-梅林矩的圖像水印嵌入

本文以性能優良的傅里葉-梅林矩為基礎，提出一種可有效抵抗幾何攻擊的圖像水印新方案，其基本工作原理為：首先結合傅里葉-梅林矩的幾何不變特性，計算出原始圖像的傅里葉-梅林矩，然后根據穩定矩的選取規則選取部分穩定的傅里葉-梅林矩，并采納量化調制策略將水印信息嵌入到矩的幅值中。圖2給出了數字水印嵌入算法的系統框圖。

圖2 數字水印的嵌入原理

設原始載體為灰度圖像 F={f(x，y)，1≤x≤N，1≤y≤N}，其中，f(x，y)表示原始載體圖像第 x行、第 y列的像素值。整個數字水印的嵌入過程描述如下：

（1）水印產生

為了獲得數字水印信息，利用密鑰（定義為Key1）產生一個偽隨機序列W={w(k)，k=1，2，…，L}。其中，L 為數字水印的大小，w(k)∈{0，1}。

（2）傅里葉-梅林矩的計算

對載體圖像進行歸一化處理，利用傅里葉-梅林矩的計算方法（見第2.1節），求出歸一化圖像的傅里葉-梅林矩。

（3）穩定傅里葉-梅林矩的選取

大量仿真實驗結果表明：面對疊加噪聲、JPEG壓縮、濾波等常規信號處理后，部分傅里葉-梅林矩存在微小的計算誤差。因此，為了提高數字水印的抗攻擊能力，必須合理選擇傅里葉-梅林矩用于水印嵌入。本文結合一系列常規信號處理實驗，確定了穩定傅里葉-梅林矩（本文指攻擊前后矩幅值變化小于2%的傅里葉-梅林矩為穩定梅林矩）選取規則如下：

圖3給出了按照上面的選取規則，512×512×8 bit標準灰度圖像的穩定傅里葉-梅林矩選取示意圖（這里，傅里葉-梅林矩的最高階數nmax=20）。其中，圖中陰影部分即為穩定傅里葉-梅林矩所在區域。

圖3 穩定傅里葉-梅林矩的選取示意圖

（4）水印嵌入

本文采用量化調制傅里葉-梅林矩幅值的方法嵌入數字水印信息，具體操作為：

①根據步驟（3）的選取規則，計算得到相應的穩定傅里葉-梅林矩，并利用偽隨機種子隨機選取L個傅里葉-梅林矩用于水印嵌入。這里，偽隨機種子被視為密鑰Key2。

②采用量化調制策略，修改所選傅里葉-梅林矩的幅值，將數字水印信息嵌入到幅值內。設所選穩定的傅里葉-梅林矩為 A={a(k)，k=1，2，…，L}，其相應的幅值為|A|={|a(k)|，k=1，2，…，L}，嵌入數字水印信息后的傅里葉-梅林矩為 A'={a'(k)，k=1，2，…，L}，則量化規則如下：

其中，round(?)表示四舍五入操作，Δ為量化步長。

需要說明的是，量化傅里葉-梅林矩幅值時，為保證其滿足幅值關于角向基函數階數m=0左右兩側對稱位置的對應關系，應同時量化其關于角向基函數階數m=0對稱位置的傅里葉-梅林矩幅值。

（5）含水印圖像的生成

首先，計算出含水印歸一化圖像，由以下兩部分合并而成：

將上面兩部分合并后，即可得到含水印歸一化圖像f′(x，y)：

3.2 基于傅里葉-梅林矩的圖像水印檢測

本文算法的整個數字水印檢測過程，不需要原始的載體圖像，屬于盲檢測。設待檢測圖像為F′，則數字水印檢測過程可描述如下：

（1）對待檢測圖像F′進行歸一化處理，并計算出歸一化圖像的傅里葉-梅林矩。見第2.1節。

（2）利用穩定傅里葉-梅林矩的選取規則得到相應的傅里葉-梅林矩，再利用密鑰Key2從得到的矩中選取相應位置的矩為 A″={a″(k)，k=1，2，…，L}，設其對應的幅值為

（3）根據量化調制策略的解碼流程，對（2）中選取的傅里葉-梅林矩A″進行水印信息的提取，設提取出的水印序列為W'={w'(k)，k=1，2，…，L}，則數字水印提取規則如下：

4 仿真實驗與結論

為驗證本文圖像水印算法的高效性，以下分別給出了算法的不可感知性測試和抗攻擊（包括常規信號處理和幾何攻擊）能力測試的實驗結果，并與文獻[17]算法進行了對比。實驗中，所選用的原始載體為（512×512×8）bit標準灰度圖像Barbara、Mandrill和Lena，數字水印采用了16×16的二值圖像“昆”字。另外，量化步長 Δ選取0.6，傅里葉-梅林矩最高階數nmax選取20。

4.1 檢測性能測試

對于原始載體Barbara、Mandrill和Lena，利用本文方法獲得的含水印圖像如圖4所示。圖5為疊加在載體圖像上的信息圖像，即所選傅里葉-梅林矩被修改前后的重構差值圖像，為方便圖像顯示，重構差值取絕對值并作放大30倍的調整。圖6給出了在未受攻擊情況下圖4所對應的三幅含水印圖像水印檢測結果。表1給出了兩種算法下含水印圖像與原始載體間的峰值信噪比（PSNR）和水印提取失真率（BER）。

4.2 抗攻擊能力測試

為了檢測本文算法的魯棒性能，仿真實驗對獲得的含水印圖像進行了一系列攻擊。圖7和圖8分別給出了本文算法下含水印圖像受到的幾種攻擊（常規信號處理和幾何攻擊）和其對應的攻擊后水印提取效果。表2給出了本文算法和文獻[17]算法的魯棒性能對比結果（水印提取失真率（BER））。

圖4 數字水印的嵌入效果

圖5 疊加在載體圖像上的信息圖像

圖6 數字水印的檢測結果

5 結束語

本文以不變矩理論為基礎，提出了一種可有效抵抗幾何攻擊的強魯棒圖像水印方案，其主要包括如下特點：

（1）引入傅里葉-梅林矩理論，構造出基于傅里葉-梅林矩的圖像水印嵌入提取方法，解決了現有基于Zernike矩理論的圖像水印算法在矩重構效果方面不夠理想的不足之處。

（2）采用量化調制策略將水印信息嵌入到傅里葉-梅林矩幅值中，達到盲檢測的目的，提高了含水印圖像的不可感知性。

表1 峰值信噪比和水印提取失真率

圖7 攻擊后的含水印圖像

圖8 水印提取結果

表2 數字水印魯棒性檢測

（3）結合傅里葉-梅林矩具有良好的圖像描述能力，求取的傅里葉-梅林矩的幅值具有很好的旋轉、縮放不變性，解決了現有基于Zernike矩的數字水印方案所存在的抗幾何攻擊魯棒性較弱的問題。

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