一種新的杜芬系統數學模型

韓建群，田 瑩，劉 嚴

HAN Jianqun,TIAN Ying,LIU Yan

渤海大學 工學院，遼寧 錦州 121000

College of Engineering,Bohai University,Jinzhou,Liaoning 121000,China

1 引言

眾所周知，能夠產生奇異吸引子的動力學系統很多，主要有Lorenz系統[1-4]、Logistic映射[5-7]、Henon映射[8-10]和Duffing系統[11-15]。確定性杜芬（Duffing）方程是G.Duffing在19世紀研究機電系統時提出的力學模型，后來一直作為非線性動力學、特別是混沌研究中的一個范例，在劉華杰所著《分形藝術》中曾指出：日本京都大學上田皖亮研究此方程達三十多年，并且他發現微分方程中蘊含的混沌要比洛侖茲（Lorenz）更早，這一情況可以通過他的著作《通向混沌之路》得知。另外，他于1978年使用非線性電感、電容加上正弦電壓構成非線性電路進行仿真試驗，發現了方程 x¨+kx˙+x3=rsin(ωt)所描述的非線性電路中的混沌現象，開辟出一條從準周期進入混沌的道路。

隨著對混沌理論不斷地深入研究，混沌系統廣泛應用于諸多科學技術領域，從強噪聲背景中提取微弱有效信號是一個混沌應用的重要發展方向[12-14]。從文獻[12-16]研究對象來看，目前對Duffing方程的研究都是采用二階微分方程的形式或狀態方程的形式，本文通過對Duffing方程非線性恢復力進行變量分解定義，建立了三階Duffing狀態方程，該方程有助于將Duffing方程中非線性變量信息分解出來。

2 三維Duffing系統模型建立

Duffing方程是表示混沌行為的最簡單系統之一，它可以描述許多不同的物理系統，文獻[15-16]給出的Duffing系統可以由下面的狀態方程（1）描述：

其中，rcosωt是內置信號，k為阻尼系數，x-x3為非線性恢復力。傳統的Duffing系統的研究常采用二維方程式（1）的形式，這樣一般只能考察二維信息，本文擬通過改變方程式（1）的維數并建立與其等效的三維的Duffing狀態方程，從而可以得到有關Duffing系統更多更直觀的信息。

式（2）積分結果為：

方程式（3）中c是由系統初始狀態確定常量。當Duffing系統初始狀態 x(0)=0和 z(0)=0時，c=0。這里式（3）可以由式（1）中的第二方程式通過變量分解得到。但是通過定義微分方程式 z˙=3x2y，可以建立與方程式（1）等效的三維Duffing混沌動力系統式（4）。

如果Duffing混沌動力系統初始狀態 x(0)≠0和z(0)≠0那么存在c≠0。通過上述變量的定義，并引入變量 b，方程（1）可以修改為方程（5），方程（5）是方程（4）的一般形式，需要調整變量b的值來抵消c的影響。

3 系統仿真

由文獻[13]可以知道，在一定條件下，Duffing動力系統中，r k與ω關系在平面上存在兩條界帶狀區域，當在該區域內取值時，系統狀態是混沌的。在本文中，當取k=0.5，ω=1時，策動力存在邊界值rd=0.84；當取r=kd時，系統不是混沌的，這時系統處于臨界狀態。當策動力幅值r＜rd時，系統才進入混沌狀態，本文取參數r=0.72，采用MATLAB數學仿真軟件中的SIMULINK工具箱，根據方程式（5）建立仿真模塊圖1。

圖1 三維Duffing系統仿真結構圖

當系統初始狀態取 x(0)=0、y(0)=1、z(0)=0、b=0，即仿真系統方程式（4）的情況。當采用二維Duffing系統（1）進行仿真時，產生混沌相圖2，當采用基于方程式（4）的三維Duffing系統進行仿真時，產生混沌相圖3，圖4、5、6是圖3在 xoy平面、yoz平面、xoz平面上的投影。觀察圖2和圖4，可以看出三維Duffing混沌系統相圖與二維Duffing混沌系統相圖在xoy平面是相同的。圖5和圖6是在三維Duffing混沌系統中才出現的結果。

圖2 二維Duffing混沌系統相圖（x（0）=0、y（0）=1）

圖3 三維Duffing混沌系統相圖（x（0）=0、y（0）=1、z（0）=0、b=0）

圖4 三維Duffing混沌系統在xoy平面上投影（x（0）=0、y（0）=1、z（0）=0、b=0）

圖5 三維Duffing混沌系統在yoz平面上投影（x（0）=0、y（0）=1、z（0）=0、b=0）

本文所提出的基于三維Duffing混沌系統式（4）進行仿真的方法要求系統初始狀態滿足x(0)=0和z(0)=0條件，否則系統狀態可能是非混沌的。圖7就是當系統（4）初始狀態 x(0)=0、y(0)=1、z(0)=2時系統相圖，可以看出系統不是混沌的。這里令系統方程式（5）中的變量b=2，即仿真系統方程式（5）的情況，系統相圖如圖8所示，可以看出系統是混沌的。即通過調整變量b，可以抵消初始狀態對系統狀態的影響，保持系統處于混沌狀態。

圖6 三維Duffing混沌系統在xoz平面上投影（x（0）=0、y（0）=1、z（0）=0、b=0）

圖7 三維Duffing混沌系統在xoy平面上投影（x（0）=0、y（0）=1、z（0）=2、b=0）

圖8 三維Duffing混沌系統在xoy平面上投影（x（0）=0、y（0）=1、z（0）=2、b=2）

4 結論

本文首先運用數學方法證明了二維Duffing系統轉換為三維Duffing系統的可行性，然后從實際仿真的結果上，給出了三維Duffing系統的狀態，因此比較直觀，能夠展現更多的有用信息，并且該三維Duffing系統與二維系統在一定條件下是可以等效的。本文確定的三維Duffing系統值得在今后的混沌控制和保密通信研究中深入探討。

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