關于歐文·M·柯匹的不完全性問題

周謐

摘 要：關于歐文·M·柯匹的19條推論規則的不完全性問題，西方學術界很少討論，如果提出一個有效論證不能用十九條推論規則證明其有效性，會引入條件證明和間接證明，研究發現間接證明其是條件證明的衍生，同樣引入重言式可以證明一些不能用歐文·M·柯匹提出19條推理規則證明的論證，所以對有效論證引入附加前提，只要附加的前提是重言式都可以用于推理中使用。

關鍵詞：符號邏輯；不完全性；重言式；條件證明；排中律

邏輯學是研究用于區分正確推理與不正確推理的方法和原理的學問，正確推理有很多客觀標準，邏輯學研究的宗旨就在發現并塑造這些標準。【1】最早由古希臘學者亞里士多德創建的，用某種縮寫來表明自己的觀點，符號邏輯則是引進更多的符號，用數學的方法研究關于推理、證明等問題的學科。符號邏輯一方面是評價推論有效性強有力的工具和手段，另一方面作為邏輯推理的工具和手段，它本身就有很多值得研究的論題。

歐文·M·柯匹的19條推論規則的集合被設計成從前提推導出系統化結論。然而，站在它的立場，系統無法到達任何陳述都是真實。這是因為前九條規則明確要求需要首要前提，而后十條規則是等值替換，既假定一個前提替代。歐文·M·柯匹在討論19個推論規則時候發現在很多特殊的不完全性，他從奧·西蒙教授設定的證明規則發現十九條規則是不完全的，并且通過證明A→B∴A→ （A ·B），他提出一個有效討論形式，即僅僅用19條推論規則是不能證明它有效性。【2】必須加入條件證明或者間接證明。例如條件證明規則：論證一，如果前提P，假設A我們能夠推出B，所以A→B；間接證明規則：論證二，如果前提P，假設～C我們能夠推出～A∧A，所以C。【3】

假設第一個論證是有效的，讓p被作為第二論證的前提，運用條件證明的規則兩次，通過條件證明我們可以得出

我們已經表明，間接證明可以通過19個推論規則加上條件證明中推導出來的。

討論相對關系時，歐文·M·柯匹提出引進附加的前提，但是這個前提必須明確是真的。例如：論證“小明和小方的身高相同，小方和小王的身高相同，因此，小明和小王的身高相同.”為了提供有效的證明，增加相同的身高的傳遞為前提是很重要的，柯匹教授認為在討論大量的命題能夠假設有相同的論點，大量的聽眾和讀者可以通過不重復眾所周知的知識來減少復雜，原來許多平凡的真命題，有時因為復雜不停代入而變的難以理解，聽眾或讀者可能更加期待清晰簡單命題提供給自己。很多重言式都是一個平凡的真命題，例如：同一律A→A，排中率A∨～A。每個人都能接受這些重言式是真命題。因此，邏輯上不能反對引進它為一個附加的前提用來構建一個真正的證明。引入重言式作為附加的前提并不會影響證明的本身，在大多數情況下，僅僅利用原來19個規則是可以得出結論，但在有很多特殊的論證是不能通過19條規則證明出來，通過引入重言式是一個有用的工具去縮短許多證明

使用同一原則，排中原則，不矛盾原則的能夠進一步用于證明是出于邏輯的基本原理。歐文·M·柯匹提出，“我們可以把這三大思想法則看做是支配真值表構造的原理。” 【5】 在構建真值表時我們確實使用這幾個原理為指導，作為基本原則，他們是所有有效論證的附加前提，其實重言式是從十九條規則之一中衍生出來。

因此，十九條規則包含這些思想法則，對A→B 所以 A→ （A∧B）的證明是附加重言式規則，附加的重言式是獨立于19個規則。根據該論證不能夠被19個推論規則的證明，如果這個結論是正確的，那么歐文·M·柯匹展示的不完全的證明必須有一些錯誤。根據該論證不能夠被19個獨立規則的證明。但是，如果這里提供的論證都是對的，它是可以的

參考文獻

[1]【美】歐文·M·柯匹.卡爾·科恩 邏輯學導論 2007

[2]L·西蒙斯 沒有重言式的邏輯.圣母形式邏輯雜志1978

[3]P·J·坎貝爾 對阿姆斯特朗關于科匹一書完全性的問題的解答.圣母形式邏輯雜志1977

[4]普通邏輯 上海人民出版社 2012

[5]【美】I·M·柯匹.符號邏輯 北京大學出版社 1988