新建本科院校《數學分析》課程教學改革
——論數學建模思想的滲透

施成湘，鄒 楊

(重慶第二師范學院 數學與信息工程系，重慶 400065)

《數學分析》是數學與應用數學專業的一門重要基礎課。這門課程對于學生加深理論基礎的學習，增強基本技能的訓練，提高數學修養和業務素質，培養數學能力，在應用數學專業課程建設中具有極為重要的作用。第九屆國際數學教育大會上，美國的貝克教授提到[1]，數學教學思想最普遍的變化是：過去把教學看成是一種處理過程，把學習看成是教學的結果；現在把學習看成是積極的建構活動，學生被看成是數學的建構者，數學教學應該賦予學生更大的首創精神。在知識經濟時代，數學理論與方法的不斷延伸使得數學的應用越來越深入和廣泛。數學的教學和改革面臨著越來越嚴峻的考驗和挑戰。教學過程為適應這種新形勢的需要應該重視學生數學素質的培養和提高。建模過程充分體現了知識可以通過“體悟”、“構建”、“再創造”等創造性過程及認識過程而獲得。在講授過程中，教師結合適當的數學模型，展現數學思想的來龍去脈，架起枯燥知識和現實的橋梁。這不但利于展現知識發生的過程，還能增強數學知識的目的性，體現數學知識的應用價值，培養學生興趣，對提高數學素質有著重要意義。

本文的研究以重慶第二師范學院為背景。該校是2012年由教育部正式批準的一所新建本科院校。在學院升本前，數學分析課程是針對數學教育專科學生的重要基礎課程。學院升本，在保留優秀傳統的情況下，進行了必要的教學改革，適應辦學角色的轉變。在本科教學中，《數學分析》[2]課程的教學目標定位為通過系統的學習與訓練，能全面掌握數學分析的基本理論知識，培養嚴格的邏輯思維能力與推理論證能力，具備熟練的運算能力與技巧，提高建立數學模型并應用微積分這一工具解決實際應用問題的能力。

1 數學分析教學中滲透數學建模思想的必要性

第一，培養數學建模能力是素質教育的需要。

數學分析課程作為數學類專業的一門基礎課程，是否學好不僅直接關系到學生后繼專業課程(如概率論與數理統計，微分方程，數值計算方法，實變函數，復變函數、微分幾何，泛函分析等)的學習，而且可能影響學生研究生階段學習。因此，數學課程的設置不僅僅只教會學生一些數學的定理和方法，更重要的是教會他們怎樣去思考問題，怎樣運用手中的數學武器去解決實際問題的能力。對目前的“重理論灌輸、輕實踐應用”的大學數學教學必須進行改革。作為數學專業骨干課程的教學，正確處理具體與抽象、實踐與認識的關系，是專業教師目前應該探討的課題。

第二，培養數學建模能力是培養創新性應用型人才的需要。

從數學教學思想上說，培養本科學生的素質和能力有兩方面：一是通過分析、計算或邏輯推理能夠正確、快速地求解數學問題，即運用數學模型的能力；二是用數學語言和方法去抽象、概括客觀對象的內在規律，構造出待解決的實際問題的數學模型。幾乎所有傳統的數學課程都著眼于和側重于前者。數學模型[3]引入教學是加強后一方面訓練的一條途徑，是對原有數學教學體系的一種改革試驗，也給數學思想的討論提供了一些新鮮、生動的材料。注重定理的證明和公式的推導是傳統的數學分析課程教學模式，它忽視了對數學分析思想的講授，結果是很多學生理論知識掌握了不少，但真正遇到具體問題尋求解決的時候卻無從下手，不知道怎么用，在何處用。學完三學期的課程后仍然不知所以。

第三，培養數學建模能力是高等數學教學改革的需要。

教師在講臺上過分地追求“數學上的完美”而板著面孔講理論的教學模式，割裂了微積分與外界的聯系，也沒充分顯示微積分的巨大生命力與應用價值。學生學了一大堆的定義、定理和公式，也許根本就沒有搞清楚為什么要學習微積分，也不知道學了微積分究竟有什么用。教師在講授時為了能充分體現數學建模的思想，將枯燥的教學內容與相應的數學模型有機結合，與豐富多彩的外部世界架起橋梁[4]，可以收到事半功倍的效果。這種數學思想的滲透將數學知識和數學應用穿插起來在填補數學理論與應用的鴻溝上能起到很大作用。從另一方面看，學生能力和素質的培養采取長期的、循序漸進的原則，有關能力和素質的培養便被提前了。數學分析知識結構由淺人深、循序漸進的特點，再配合循序漸進、由淺入深、由易到難的數學模型內容，教學中潛移默化地影響學生，從而提高學生的數學實踐能力。這在學生的能力培養方面又達到了事半功倍的效果。

第四，培養數學建模能力是數學學科發展的需要。

筆者一直從事數學分析課程的教學，也培訓和指導學生參加每年一次的大學生數學建模比賽。雖然這兩門課程從內容到教學方式都不同，但筆者認為數學建模的思想方法是可以滲透到數學分析教學中的，且這種滲透有著較強的功能，它可培養學生的應用意識，激發學生主動學習的興趣，幫助學生理解抽象的概念定理。從教學改革來說，加強數學建模思想在數學分析教學中的滲透，是探索處理上述問題的一條有效途徑。

2 數學分析教學中滲透數學建模思想的實施

數學分析教學可以通過引入建模競賽的思維和方法，來充分發揮學生的積極性和自主性，以舉例分析為重點，以“用”為標準，取舍教學內容。在不損害知識體系的前提下，以“題”為中心組織基礎知識講授，以“練”為手段選擇靈活多樣的教學方法，突出重點，講解難點，精講多練。讓學生在“練”中發現自己的知識缺陷，激發他們的求知欲。

第一，借助實際問題引入數學概念。數學概念大多數來源于實際問題，從實際問題入手引入數學概念是數學建模思想融入高等數學的重要機會。通過對實際問題的分析，把實際問題轉化為數學問題，然后找出解決問題的方法，最后引入數學概念。這個過程本身就是一次數學建模的過程。教師大多都精心設計概念的引入，從恰當的案例中引入概念是將數學建模思想融人數學分析課程教學的重要形式。學生很易在被傳授知識的時候便學會了數學的思想方法，領悟了數學的精神實質，知曉了數學的來龍去脈，懂得了他們現在所學的那些看來枯燥無味但又似乎天經地義的概念、定理和公式。這些并不是無本之木、無源之水，也不是人們頭腦中所固有的，而是有現實的來源與背景，有其物理原型和表現的。

第二，將數學建模思想融入課內外作業中[5]。在每章內容結束后，適當補充一些相關的實際問題，使學生學會分析問題，建立數學模型，增強學生應用數學的意識。這樣就使得學生更深刻地理解數學分析有關理論，為后續課程的學習打下了良好的基礎[4]。比如在講授初等函數連續性的零點定理后，便可以設計討論“在一塊不平的地面上，是否可以找到一個適當的位置而將一張凳子的四腳同時著地？”這種開放性的題目，學生可以形成小組、通過討論、試驗等方式認識問題，并要求將題目的求解過程以書面的形式提交。

第三，將數學建模思想融人數學分析課程考核中。傳統的數學分析考試，大多是閉卷考試，考試內容涉及所學內容點的考察，由于受考試時間的限制，很難在試題中增加開放型的應用題，即使在試題中設計了一些應用題，一般也不是太難，通常是列出式子就可以求解。這樣，可以打破傳統的考試的風格，提前準備開放性試題，分組提交小論文，小論文成績記人考核成績。這樣的考核，必然使得全體學生都參與進來，讓學生更能加深對所學知識的理解，也鍛煉了學生的寫作能力，真正地考查了學生的數學能力水平。

第四，加強數學軟件的使用。越來越多的人認識到數學教學不僅要注重演繹思維，歸納思維和創造思維等基本能力的培養，更應注意運用數學方法和計算機技術解決實際問題能力的培養。

第五，舉辦第二課堂活動。數學的教學不能和外部世界隔離開來，以致學生在學了十分有用的數學知識以后，卻不怎么會用。可以在課堂之外舉辦數學建模講座或開設數學建模公共選修課，為數學與外部的聯系打開一條通道。鼓勵學生參加數學建模培訓和競賽活動，數學建模競賽是培養學生創新性應用能力的最有效的途徑之一。

3 結束語

學數學的最高境界是用數學，在數學分析課程教學中滲透數學建模思想的目的就是讓學生知曉數學有用和如何應用數學。在數學分析課程的教學里融入數學建模思想方法，配合適當的數學模型內容，將數學分析的理論知識與實際應用結合在一起，有利于學生對數學分析課程中基本概念、理論知識的掌握，也提高了學生的數學實踐能力，同時還可以激發學生學習數學的積極性，提高學生的自身素質和數學素養。教學時選準合適的案例作為切入點，力爭與數學分析有關內容有機結合，體現出建模思想。以學生為主體，采用案例教學、課堂討論、啟發式等教學方式。 “授人以魚，不如授人以漁”。因此，在教學中應該注重的不是數學知識的講授，而是學生學習能力的培養。正如李大潛先生所指出的：學校里學過的一堆數學知識很多都沒有派上什么用處，有的甚至已經淡忘，但所受的數學訓練，所領會的數學思想與精神，卻無時無刻不在發揮著積極的作用，成為取得成功的最重要的因素。教師充分調動學生學習的積極性，讓學生真正成為教學活動的主體，那么教學活動不僅使學生獲取了知識，而且能為學生的能力培養創造極為有利的條件。

參考文獻：

[1]王全林.數學教育研究的現代發展[J].數學通報,2001,(11):0-1.

[2]劉玉璉,傅沛仁.數學分析講義(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2008.

[3]姜啟源.數學模型[M].北京:高等教育出版社,2005.

[4]李文赫,張彩霞,李陽.《數學分析》課程的教學改革探索與實踐[J].教育教學論壇,2012,13:23-24.

[5]黃敬頻.淺談數學建模思想在數學分析教學中的滲透[J].廣西大學學報(自然科學版),2003,28(10):21-24.