追尋簡約的數學教學

杜紫紅

近來，因要教學《垂直與平行》的研討課，筆者觀摩相關的課堂教學也有四五節，但發現大部分課總是在“引導學生在紙上任意畫兩條直線，并根據兩條直線的位置關系進行分類”上糾纏了很長時間，教學效果很一般。于是，筆者與備課團隊一起，著眼于學生的認知需要，圍繞“簡約、智慧”進行思考，進行了有創意的設計。

一、既關注知識也關注思想方法的教學

新課程標準指出，課程內容不僅包括數學結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法。以“簡約、智慧”的教學思想設計教學，我們在這節課中關注分類思想方法的滲透，四次分類活動，完善學生的認知。

分類一：

師：同學們，今天我們來做個試驗：瞧，這兒有兩根小棒，從高處落下來，猜猜它們會掉在哪里。

生：兩根都在桌上，兩根都在地板上，一根在桌上一根在地板上。

師：（出示課件■）如果把這三種情況分成兩類，你想怎么分？為什么這么分呢？

生1：①②分一類，③分一類。

生2：因為①②兩根小棒都落在同一個地方，③兩根小棒落在不同的地方。

師：兩根小棒都落在桌面或都落在地面，我們說它們落在同一個平面內；一根在地面，一根在桌面就說它們不在同一個平面內。

……

分類二：

師：在這個平面上有五組直線，你能把它們分成兩類嗎？（出示■）

生1：①②③分為一類，④⑤分為一類。

師：為什么這么分類呢？

生：交叉在一起的分為一類，沒有交叉在一起的分為一類。

師：還有不同的方法嗎？

生：①③分為一類，②④⑤分為一類。

師：到底②是分在左邊還是右邊呢？

生：沉默，思考。

師（指②）：今天咱們研究兩條直線的位置關系，直線它就只能這么長嗎？

生（恍然大悟）：直線可以往兩端無限延伸……

師：瞧，把這些直線都延長了，你發現了什么？

這時候，你想怎么分類呢？

生：①③分為一類，②④⑤分為一類。

生：相交的分為一類，不相交的分為一類。

師（板書）：這一類延長了會相交嗎？像這樣不管怎么延長都不相交的兩條直線，我們就說它們互相平行。

……

分類三：

師（課件演示）：如果一條直線旋轉了呢？

生：相交了。

師（課件演示）：繼續旋轉呢？再旋轉？

生：相交、相交……

師：有多少組相交？

生：無數組。

師：（出示動態課件■）在這么多組的相交中，哪一組最特殊？

生：最中間的那組最特殊了。

……

分類四：

課件演示，學生根據動態課件的演示快速說出兩條直線的位置關系。

生：相交、相交、相交……

師：（出示課件■）

生（異口同聲）：相交、垂直……

師：到底是相交還是垂直？

生：垂直。

師：垂直的兩條直線相交嗎？

生：相交。

師：那是說相交好還是垂直好呢？

生：垂直好。因為相交太普遍了，只有相交成直角才是互相垂直。

生（鼓掌）……

師：那你們說說同一平面內的位置關系可以分成幾類？

生：平行的一類，相交的一類。

師：為什么不把垂直也分成一類呢？

生：垂直也是相交，是比較特別的相交。

……

第一次分類，圍繞“2根小棒落在哪里”進行分類，學生在淺顯的生活情境中獲得了“同一平面”及“不同平面”的認識。第二次分類明確相交與平行。將分類設置條件，強調只能分兩類，這樣的要求使學生的分類標準清晰而準確——“可以按是否交叉”進行分類，相交的分為一類，不相交的分為一類。但是第二組直線是否真的相交，學生的思考聚焦到第二組直線的何去何從上，在思考辨析中抓住思維的拐杖——“直線可以無限延長”，借助課件的幫助使得學生清晰地看到延長后的各組直線的情況，分類水到渠成。第三次的分類在相交中分出了垂直。雖然沒有明確提出分類標準，但是圍繞著“這么多組相交，哪組最特殊”這一問題，學生觀察到“相交成直角”的特殊位置，進而進入了“垂直”的教學。第四次分類，同一平面內兩條直線的位置關系到底是分成兩類還是三類，學生在分類中分出完整的知識結構，垂直也是一種相交，分類思想為主線貫穿全課。

二、以結構化思想設計教學

“簡約、智慧”的課堂，除了要引導學生掌握相應數學知識，還應注意加深知識間的聯系，使之串點成線，連線成面。為了達到這一目標，筆者仔細研讀了人教版、北師大版中“垂直與平行”的內容，并進行分析比較。

人教版教材的編排注重“從整體上把握平行和垂直的含義”，安排了“學生在紙上任意畫兩條直線”的活動，引導學生根據兩條直線的位置關系進行分類，對相交和不相交進行觀察和辨析，從而揭示平行和垂直的概念；北師大版教材將垂直與平行劃分為“平移與平行、垂直與相交（旋轉）”兩課時進行教學，強調在直線的動態變化中認識垂直與平行。不同版本的編排有各自的特點，將垂直與平行放在一起教學能使學生從整體上把握“平行與垂直”的含義，溝通知識之間的內在聯系，構建知識的橫向網絡；將平行置于平移，垂直置于相交（旋轉）內進行教學，有利于學生從動態的角度理解垂直與平行的概念，進而形成縱向的知識聯系。為了發揮不同教材的優勢，這堂課中，我們嘗試將這二者的編排進行融合。

在學生認識“在同一平面內不相交的兩條直線互相平行”之后，設計如下：endprint

師（出示課件■）：我們把互相平行的兩條直線請到方格紙上，你們發現什么了？

生1：這兩條直線之間的寬度一樣。

生2：兩條直線之間的距離都是兩格。

師（課件演示：直線平移■）：一條直線不動，另一條直線向上平移兩格，你們又發現什么了？

生1：兩條直線之間的距離是4格。

生2：平移之后這兩條直線還是互相平行的……

師（課件演示）：如果一條直線旋轉了呢？

生：相交了。

師（課件演示■）：繼續旋轉呢？再旋轉？

生：相交、相交……

師：有多少組相交？

生：無數組。

師（出示動態課件）：在這么多組的相交中，哪一組最特殊？

生：最中間的那組最特殊了。

……

本次教學一改以往在靜態中認識“垂直與平行”的做法，學生通過分類認識“平行”，將平行線請到方格紙上，借助直觀，使學生清晰地看到兩條直線之間的“寬度”是兩格，初步體會“平行線之間的距離相等”；平移之后，兩條直線仍然平行，它們之間的距離還是相等；如果旋轉了呢？學生在直線的平移與旋轉中，認識了平行線的特點，并在動態的旋轉過程中認識“不斷地旋轉形成數不清的相交情況”，其中最特殊的相交就是垂直。人教版與北師大版教材的融合使用，學生既能從整體上把握“平行和垂直”的含義，又能在直線“平移與旋轉”的動態變化中認識概念，加深知識間的縱向聯系和橫向聯系，構建知識網絡，體現結構化的教學思想。

三、關注學生自主學習

垂直與平行內容以陳述性的知識為主，在陳述性知識的教學中，我們關注如何引導學生自主學習。如認識平行時，提出明確的任務，引導學生在分類的過程中生生交流，完善分類的標準；認識垂直時則是引導學生自學課本，圍繞問題“在這么多組相交中，哪組最特殊”“相交成直角有哪些知識”，同學們自學課本，在學習任務中明確提出交流要求，為生生的思維碰撞提供時間與空間。

數學教學是數學思維活動的教學，是師生交往、互動與共同發展的過程，教師要根據學生的具體情況，對教材進行再創造，為學生提供充分從事數學活動和交流的機會，促進他們在自主探索的過程中真正理解和掌握數學知識與技能，體驗數學思想方法，使得數學課堂簡約而又充盈著學生的智慧。endprint

師（出示課件■）：我們把互相平行的兩條直線請到方格紙上，你們發現什么了？

生1：這兩條直線之間的寬度一樣。

生2：兩條直線之間的距離都是兩格。

師（課件演示：直線平移■）：一條直線不動，另一條直線向上平移兩格，你們又發現什么了？

生1：兩條直線之間的距離是4格。

生2：平移之后這兩條直線還是互相平行的……

師（課件演示）：如果一條直線旋轉了呢？

生：相交了。

師（課件演示■）：繼續旋轉呢？再旋轉？

生：相交、相交……

師：有多少組相交？

生：無數組。

師（出示動態課件）：在這么多組的相交中，哪一組最特殊？

生：最中間的那組最特殊了。

……

本次教學一改以往在靜態中認識“垂直與平行”的做法，學生通過分類認識“平行”，將平行線請到方格紙上，借助直觀，使學生清晰地看到兩條直線之間的“寬度”是兩格，初步體會“平行線之間的距離相等”；平移之后，兩條直線仍然平行，它們之間的距離還是相等；如果旋轉了呢？學生在直線的平移與旋轉中，認識了平行線的特點，并在動態的旋轉過程中認識“不斷地旋轉形成數不清的相交情況”，其中最特殊的相交就是垂直。人教版與北師大版教材的融合使用，學生既能從整體上把握“平行和垂直”的含義，又能在直線“平移與旋轉”的動態變化中認識概念，加深知識間的縱向聯系和橫向聯系，構建知識網絡，體現結構化的教學思想。

三、關注學生自主學習

垂直與平行內容以陳述性的知識為主，在陳述性知識的教學中，我們關注如何引導學生自主學習。如認識平行時，提出明確的任務，引導學生在分類的過程中生生交流，完善分類的標準；認識垂直時則是引導學生自學課本，圍繞問題“在這么多組相交中，哪組最特殊”“相交成直角有哪些知識”，同學們自學課本，在學習任務中明確提出交流要求，為生生的思維碰撞提供時間與空間。

數學教學是數學思維活動的教學，是師生交往、互動與共同發展的過程，教師要根據學生的具體情況，對教材進行再創造，為學生提供充分從事數學活動和交流的機會，促進他們在自主探索的過程中真正理解和掌握數學知識與技能，體驗數學思想方法，使得數學課堂簡約而又充盈著學生的智慧。endprint

師（出示課件■）：我們把互相平行的兩條直線請到方格紙上，你們發現什么了？

生1：這兩條直線之間的寬度一樣。

生2：兩條直線之間的距離都是兩格。

師（課件演示：直線平移■）：一條直線不動，另一條直線向上平移兩格，你們又發現什么了？

生1：兩條直線之間的距離是4格。

生2：平移之后這兩條直線還是互相平行的……

師（課件演示）：如果一條直線旋轉了呢？

生：相交了。

師（課件演示■）：繼續旋轉呢？再旋轉？

生：相交、相交……

師：有多少組相交？

生：無數組。

師（出示動態課件）：在這么多組的相交中，哪一組最特殊？

生：最中間的那組最特殊了。

……

本次教學一改以往在靜態中認識“垂直與平行”的做法，學生通過分類認識“平行”，將平行線請到方格紙上，借助直觀，使學生清晰地看到兩條直線之間的“寬度”是兩格，初步體會“平行線之間的距離相等”；平移之后，兩條直線仍然平行，它們之間的距離還是相等；如果旋轉了呢？學生在直線的平移與旋轉中，認識了平行線的特點，并在動態的旋轉過程中認識“不斷地旋轉形成數不清的相交情況”，其中最特殊的相交就是垂直。人教版與北師大版教材的融合使用，學生既能從整體上把握“平行和垂直”的含義，又能在直線“平移與旋轉”的動態變化中認識概念，加深知識間的縱向聯系和橫向聯系，構建知識網絡，體現結構化的教學思想。

三、關注學生自主學習

垂直與平行內容以陳述性的知識為主，在陳述性知識的教學中，我們關注如何引導學生自主學習。如認識平行時，提出明確的任務，引導學生在分類的過程中生生交流，完善分類的標準；認識垂直時則是引導學生自學課本，圍繞問題“在這么多組相交中，哪組最特殊”“相交成直角有哪些知識”，同學們自學課本，在學習任務中明確提出交流要求，為生生的思維碰撞提供時間與空間。

數學教學是數學思維活動的教學，是師生交往、互動與共同發展的過程，教師要根據學生的具體情況，對教材進行再創造，為學生提供充分從事數學活動和交流的機會，促進他們在自主探索的過程中真正理解和掌握數學知識與技能，體驗數學思想方法，使得數學課堂簡約而又充盈著學生的智慧。endprint