雙外場對費米氣體Joule-Thomson效應的調控

孫彥清，龍姝明，黃朝軍，婁本濁

（陜西理工學院物理與電信工程學院，漢中723000）

1 引 言

近年來，囚禁超冷玻色氣體、超冷費米氣體的理論和實驗研究取得了一系列成果，極大地激發了相關學者對超冷量子氣體的研究熱情.有學者對囚禁在諧振勢場中的玻色-愛因斯坦凝聚、微弱電場中理想費米體系的熱容量和化學勢、磁場中非廣延相對論理想費米體系的統計性質、一般勢阱之中（T ≠0K）理想費米氣體的空間囚禁范圍、諧振勢中自旋極化理想費米氣體的熱力學性質等進行了大量的研究［1-6］.關于有弱相互作用的量子體系，有學者對于囚禁在諧振勢中的費米氣體熱力學性質、簡并費米氣體坍塌條件、6Li原子激光的輸出、外勢中費米體系密度、簡并費米氣體的穩定性以及s波和p波作用的影響、諧振勢和冪函數勢中費米氣體的熱力學性質、強磁場中費米氣體的熱力學性質和超冷費米氣體的相對論效應、超流氦（HeⅡ）及弱相互作用費米氣體和玻色氣體的Joule-Thomson 系數等問題開展了的研究，取得了一系列重要的研究成果［7-19］.

關于量子體系的現有研究，主要討論的是量子系統在單外場中的熱力學性質，關于雙外場中量子系統熱力學性質的研究較少.文獻［20］研究均勻電場和諧振場共同約束下的帶電費米系統，發現在雙外場約束下的系統具有高溫弱簡并效應和分數維運動空間效應.為深入研究復雜時空分布的外場對物質體系熱力學性質的影響、實驗上選擇最佳外勢阱的形式及相關物理參數、探索新材料提供思路和理論參考，我們以處于均勻電場和諧振場中的帶電費米粒子系統（忽略粒子間的相互作用后，可視為理想費米氣體系統）為對象，研究雙外場對系統Joule-Thomson 系數的調控作用.在滿足Thomas-Fermi半經典近似的條件下，給出勻強電場和三維諧振場中的帶電費米粒子系統的化學勢、狀態方程和Joule-Thomson系數的解析表達式，分析有限溫度范圍內雙外場對系統Joule-Thomson系數的調控作用.

2 雙外場中費米氣體的化學勢和狀態方程

質量為m、帶電量為q的N 個費米粒子在三維各向同性諧振場（振動頻率為ω）和沿x軸方向的均勻電場E 構建的雙外場中運動.假定粒子數密度低，可以忽略粒子間相互作用，無相互作用的N 個費米粒子與外場組成的系統可以視為理想費米氣體，其體積為V，氣體內能為U.單個費米粒子的能量可表示為

式中p2／（2m）為費米粒子的動能，u（r）為粒子在諧振場和均勻電場中的勢能.

在原子氣體的囚禁實驗中，通常滿足粒子數足夠多，粒子熱運動動能遠大于能級間隔，所以Thomas-Fermi半徑典近似是適用的［21］，用相空間積分代替量子態求和，則受外電場和諧振場約束的費米氣體在等能量曲面ε≥0 內的量子態數Ω（ε）及量子態密度D（ε）分別為

式（2）中?=h／（2π）是約化普朗克常量，g 為系統中粒子的自旋簡并度，與其內部結構有關.自由理想 費 米 粒 子 系 統 的 態 密 度 D（ε）= 2πgV（2m／h2）3／2ε1／2依賴于能量的1／2 次冪，與自由理想費米粒子系統不同，雙外場中的理想費米粒子系統的量子態密度依賴于能量的2次冪，而且與電場強度和諧振場頻率都密切相關.

據統計力學原理，在均勻電場和諧振場中運動的費米粒子的平均占有數為

式中z=eβμ=eμ／kT為理想費米氣體的逸度，β=1／（kT），k 為玻耳茲曼常數，T 為熱力學溫度.為計算費米粒子系統的熱力學量需要定義費米積分

可以證明費米積分有下面的導數性質

z很大時（對應低溫區），l＜5的費米積分近似為

其中［l／2］表示對l／2取整.取l=1～4得到費米積分大z值近似

據式（6）和式（8）并用迭代算法證明，如果費米粒子取為電子，則粒子數不變的帶電費米粒子系統在外場中的費米能量μF和化學勢μ（大z 值近似）分別為（sF=α／μF）

取q=1.602×10-19C，w=2π×107Hz，N=6.02×1023，g=1，分別畫出費米能量μF隨外電場E 變化和隨粒子質量變化的曲線（見圖1）.

圖1 費米能量隨外電場和粒子質量的變化曲線（a）m=me=9.11×10-28 g，外電場E 對費米能量的調控；（b）E=500V／m，費米能量隨粒子質量的變化Fig.1 The curves of the Fermi energy with the external electric field and particle mass changes

式（10）和圖1表明雙外場對費米能量有明顯的調控作用.外電場越強，系統費米能量越低.因α 隨質量增加而減小，圖1（b）表明，外場中費米粒子氣體的費米能量μF隨粒子質量的增加而快速增加.

若取m=9.11×10-28g，N=6.02×1023，ω=2π×107Hz，α=5.569eV，μF=1.969eV，畫出帶電費米子系統化學勢隨溫度變化的曲線（見圖2）.由圖2顯見，外場對帶電費米子系統的化學勢有調控作用.外電場越強，帶電費米子系統的化學勢和費米能量值越小，并且系統的化學勢由正變負的臨界溫度越低.

圖2 雙外場中的帶電費米粒子系統化學勢隨溫度變化曲線（a）E=500V／m，μF=1.969eV，化學勢由正變負的臨界溫度Tμ=24800K；（b）E=1000V／m，μF=0.1704eV，化學勢由正變負的臨界溫度Tμ=12200KFig.2 The curves of the chemical potential with the temperature changes

外電場E=500V／m 時，由圖2（a）結合計算可知，T＜600K 時，外場中的帶電費米子系統的化學勢μ／（kT）≈μF／（kT）＞38，即化學勢μ 在很大溫度范圍內能近似等于系統的費米能量μF=1.969eV，考慮這一結果，我們可以導出外場中的帶電費米子系統內能隨溫度變化的顯函數關系是（其中，α／μF是由外場決定的常數）

據熱力學理論PV=2U／3，結合式（11）得到雙外場中費米氣體的狀態方程（即氣體的壓強P 與體積V 之積）為

3 雙外場中費米氣體的Joule-Thomson系數

由式（12）得到

保持P 不變對式（13）關于T 求導可得

根據H =U+PV，得費米氣體的焓

保持P 不變對式（15）關于T 求導，可得

對式（8）保持氣體系統粒子數N 和壓強P 不變關于T 求導，得到

引用費米積分大z值近似，上式簡化為

由統計力學理論可知費米子氣體的Joule-Thomson系數為

式中，μJT、CP、H 分別是費米氣體系統的焦耳-湯姆遜系數、定壓熱容量、狀態函數焓.聯立式（13）～（18）得到均勻電場和諧振場中帶電費米粒子系統的Joule-Thomson系數

4 雙外場對焦湯系數的調控作用

引用式（7）、（17）、（19）得到帶電費米粒子系統的焦湯系數μJT（大z值近似）為

若取P=20dn／cm2，m=9.11×10-28g，N=6.02×1023，ω=2π×107Hz，α=5.569eV，μF=1.969eV，依據式（20），可以畫出如圖3所示的帶電費米粒子系統的焦湯系數隨溫度變化的曲線.注意式（20）有效的溫度范圍由μ／（kT）＞＞1 決定.T=8000K 時，μ／（kT）=2.56已經不能滿足遠大于一的條件了.

圖3 外場中的帶電費米粒子系統的焦湯系數隨溫度變化曲線（a）E=500V／m，臨界溫度TC=8000K；（b）E=1000V／m，臨界溫度TC=1200KFig.3 The curves of the Joule-Thomson coefficient with the temperature changes

圖3表明，低溫情況下均勻電場和諧振場中帶電費米粒子系統的Joule-Thomson效應為負效應.隨著溫度的升高，系統的焦湯效應將由負變正，其臨界溫度受外加電場調控，外電場越強，臨界溫度越低.計算表明，粒子質量增加時，系統的費米能量增加，系統的焦湯系數臨界溫度也將增加.

5 結 語

（1）勻強電場和諧振場構成的雙外場對帶電費米粒子系統的焦耳-湯姆遜系數及所有熱力學量有十分明顯的調控作用.這表明，可以用加雙外場的方法改變帶電費米粒子系統的溫度、壓強、體積等.

（2）外電場的存在會使帶電費米粒子系統產生焦耳-湯姆遜正效應.隨著溫度的升高，帶電費米粒子系統的焦耳-湯姆遜系數的值逐漸由負變正，而且臨界溫度TC隨外電場增強而降低.

（3）費米粒子系統的焦耳-湯姆遜系數由負變正的臨界溫度TC隨粒子質量μ 增加而明顯增加，這說明，大質量帶電費米粒子系統要取得正焦耳-湯姆遜效應很困難.（4）費米粒子系統的化學勢μ 隨溫度的升高，由正變負的臨界溫度Tμ隨外電場的增加而明顯降低.

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