基于APOS理論的指數函數教學設計

陳穎

數學概念是反映現實世界的空間形式和數量關系的本質屬性的思維形式，是對一類數學對象的本質屬性的反映。數學概念是數學知識中最基本的內容，是數學認知結構的重要組成部分，它還是建構數學理論大廈的基石，是導出數學定理和數學法則的邏輯基礎，是數學學科系統的精髓和靈魂。在高中數學教學中具有舉足輕重的地位。APOS理論作為一種建構主義的學習理論，是依據數學學科特點而建立起來的數學理論.強調在學習數學概念中首先處理的數學問題要具有社會現實背景，并要求學生開展各種各樣的數學活動，活動中學生在已有的知識和經驗基礎上通過思維運算和反省抽象，對概念所具有的直觀背景和形式定義進行必要的綜合，從而達到建構數學概念的目的。因此，APOS理論應用于數學概念教學具有重要的意義。

一、APOS理論指導下的教學策略

“操作”階段是學生通過操作來感知事物，感受所學的數學概念的知識的發生、發展過程和背景，加深學生對知識的理解，培養學生的數學探究能力和抽象概括能力，操作階段只是感性認識階段。

在“操作”階段，教師應該提供典型的、適度的感性素材，設計合理的數學活動，為觀察、聯想、歸納、概括等活動提供固著點。指導學生親自參與到活動中去，體驗感受知識產生的過程，同時還要考慮學生的“最近發展區”，找準知識的“生長點”提高學生學習的主動性。

“過程”階段是學生對操作活動進行思考，經歷思維的內化壓縮過程。學生能夠在頭腦中對數學活動進行描述和反思，抽象出概念的特有性質。“過程”階段是學生對感性認識的處理、組織、頓悟，是思維飛躍的關鍵，通常也是概念學習的難點與關鍵。

在“過程”階段，教師的引導很關鍵，需要啟發學生對“操作”階段進行反思。需要教師提出有針對性的，符合學生思維特點的問題驅使學生思考，設計遞進性的問題，使學生的思考不斷深入，并對素材進行歸納和概括。同時，教師要給學生反思“操作”的時間，保證真正意義上的參與，因為“過程”的感悟更為重要，是對素材的升華。

“對象”階段是對“過程”階段的提升，歸納抽象得到了事物的本質屬性，并用恰當嚴謹的語言表述出定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的對象。是概括的結束，也是新的概括的開始。

在“對象”階段，要教師及時總結、提煉、歸納出屬性。學生對概念的掌握只是初步的階段，或許某些特征還不清晰，教學中需要用對“操作”階段和“過程”階段進行反復的實施，達到有意義教學，促使學生的認識從“對象”上升到“概型”階段。

“概型”階段是對概念有關的所有操作、過程和對象以及與這個概念有關的所有知識形成的認知結構或認知框架，其作用和特點就是決定某些刺激是否屬于這個圖式。

在“概型”階段，教師可以利用變式教學把概念的本質屬性和非本質屬性分離。并且用例題的教學、學生自我總結等多種方式豐富學生對“對象”的理解，幫助學生的認識上升到“概型”的層次。同時，不僅要形成本概念的圖式，還要前后知識的連貫，注重概念在整個體系中的位置和重要性，促使學生形成完整的認知結構。

二、基于APOS理論的指數函數的教學設計

指數函數是超越函數，學生第一次遇到，學習面臨著挑戰。其學習過程充滿著觀察、分析、抽象、概括等方法，蘊含著從特殊到一般、數形結合、函數的思想。因此，學習指數函數是學生認識函數的又一次飛躍。《普通高中數學課標》指出“通過具體實例，了解指數函數模型的實際背景”。下面是基于APOS理論指數函數教學過程的設計。

1.“操作”階段——創設問題情境 感知指數函數

問題情境1 折紙問題，讓學生動手折紙，觀察：①對折的次數x與所得的層數y之間的關系；②對折的次數x與折后面積y之間的關系（記折前紙張面積為1）。

問題情境2 一種放射性物質不斷衰變為其他物質，每經過一年剩留的質量約是原來的84%。求出這種物質的剩留量隨時間（單位：年）變化的函數關系。設最初的質量為1，時間變量用x表示，剩留量用y表示。

結合學生已有的知識結構，選取生活中熟悉的場景讓學生通過動手操作，歸納概括兩個變量之間的關系，感悟到生活中指數函數，形成感性認識，認識到指數函數的現實意義，同時激發學習的求知欲。例如通過折紙活動產生2，22，23，…，最后抽象出y=2x，整個過程由學生自主完成。

2.“過程”階段——展示探究過程 內化指數概念

學生活動 學生自主分析問題情境，探究得到兩個變量之間的函數關系式是y=2x，y=（）x，y=0.84x。

觀察前面得到的函數解析式在形式上與函數y=x2有什么區別。引導學生從自變量位置的角度考慮。學生觀察可以發現前面函數的自變量都在指數的位置上，而y=x2的自變量在底上。除此之外，這些個函數還有什么共同特征。發現底數都是常數，自變量都在指數的位置。

通過反思比較，歸納出對象的共同特征，通過同化和順應納入原有的認知結構中。這個過程需要學生積極主動探究，因此要激發學生學習的主動性。在學生無從下手的時候可以借助函數y=x2來提示學生。通過有意義的接受學習和“操作”“過程”反復的實行，形成新的認知結構，這是對象操作內化的過程，也是思維壓縮與提取的過程。

3.“對象”階段——建構對象實體 把握運算性質

若用a來表示常數，可以抽象出一個數學模型y=ax。板書指數函數的概念，一般地，函數y=ax（a>0且a≠1）叫做指數函數，它的定義域是R。

思考：為什么要限制a>0且a≠1？當時a<0時，不妨取a=-3，這時y=（-3）x，當x=，…時，函數沒意義；當a=0時，這時y=0x，當x≤0時，函數沒意義；當a=1時，這時y=1x=1是常量，沒有研究的價值。

指數函數是形式定義，指研究滿足這樣形式的定義ax的系數為1；指數上只有唯一的自變量x；底是一個常數且必須滿足a>0且a≠1。

提問：當我們知道對數函數的定義之后，緊接著需要探討什么問題？

讓學生選擇討論的內容，提高課堂的參與程度，體現學生是學習的主體。根據學生的回答，先研究圖像再研究性質。通過描點法展現函數的圖像，并探討函數的性質。

探究活動 選取函數y=2x，首先畫出函數的圖像，類比第二章函數，數形結合研究函數的定義域，值域，圖像以及性質。借助幾何畫板歸納a>1的函數特征。這里函數的嚴格的證明過程不做統一要求。

類比y=2x，選取y=（）x，學生獨立探究0

最終教師和學生共同總結兩種情況。

本階段的設計注重引導學生用從特殊到一般的方法探究指數函數圖象及性質，加深學生的理性認識。同時，幫助學生確定探究的問題、步驟，確保探究的有效性。這個環節，還要借助計算機輔助教學作用，增強學生的直觀感受。

4.“概型”階段——建立深層圖式 形成概念體系

在形成對象基礎上，我們通過例題，練習達到對知識進一步深化認識，形成指數函數的整體認識，構建心理圖式。

例1判斷下列函數是否為指數函數

（1）y=（0.2）x，（2）y=（-2）x，（3）y=1x，（4）y=2.3x，（5）y=2。

例2 比較下列各組數的大小：

（1）1.52.5，1.53.2 （2）0.5-1.2，0.5-1.5 （3）a，a（a>0，且a≠1） （4）1.50.3，0.81.2。

小結指數函數，作出總結表格。

一方面鞏固指數函數的定義，另一方面再與單調性等知識相結合，通過應用建立聯系，在反復比較基礎上形成了一個新的認識，建構一個新的圖式。

三、教學反思

本節課基于APOS理論設計了四個具體的教學流程對指數函數作出了分析。APOS理論強調學習是需要學生主動構建的，所以首先考慮學生的“最近發展區”設計合理的問題情境，一方面引導學生進入指數函數的情景中，感受學習指數函數的重要性，另一方面激發學生的探索欲，調動原有的認知結構。當然，概念學習不能停留在“操作”階段，也要重視“過程”階段，學生得到特殊的指數函數，抽象得到一般的指數函數，層層遞進，由感性認識上升到理性認識。對象的建立要注意簡練的文字形式和符號表示，使學生在頭腦中建立起數學知識的直觀結構形象。從“過程”到“對象”是反復，螺旋上升的，階段之間沒有清晰的界限。最后通過辨析，幫助學生理解本質和非本質屬性，并在此基礎上靈活運用概念，優化知識結構，形成完整的圖式。

基于APOS理論的教學設計把數學問題與實際生活緊密聯系起來，讓學生感受到數學就在身邊，培養學生在現實中發現問題的能力。同時調動學生的積極性，讓學生自主探索，增強了課堂開放性，真正成為知識的發現者、探索者。可見APOS理論可以為數學教學提供一個有效的范式參照。

（作者單位：南京師范大學教師教育學院）

提問：當我們知道對數函數的定義之后，緊接著需要探討什么問題？

讓學生選擇討論的內容，提高課堂的參與程度，體現學生是學習的主體。根據學生的回答，先研究圖像再研究性質。通過描點法展現函數的圖像，并探討函數的性質。

探究活動 選取函數y=2x，首先畫出函數的圖像，類比第二章函數，數形結合研究函數的定義域，值域，圖像以及性質。借助幾何畫板歸納a>1的函數特征。這里函數的嚴格的證明過程不做統一要求。

類比y=2x，選取y=（）x，學生獨立探究0

最終教師和學生共同總結兩種情況。

本階段的設計注重引導學生用從特殊到一般的方法探究指數函數圖象及性質，加深學生的理性認識。同時，幫助學生確定探究的問題、步驟，確保探究的有效性。這個環節，還要借助計算機輔助教學作用，增強學生的直觀感受。

4.“概型”階段——建立深層圖式 形成概念體系

在形成對象基礎上，我們通過例題，練習達到對知識進一步深化認識，形成指數函數的整體認識，構建心理圖式。

例1判斷下列函數是否為指數函數

（1）y=（0.2）x，（2）y=（-2）x，（3）y=1x，（4）y=2.3x，（5）y=2。

例2 比較下列各組數的大小：

（1）1.52.5，1.53.2 （2）0.5-1.2，0.5-1.5 （3）a，a（a>0，且a≠1） （4）1.50.3，0.81.2。

小結指數函數，作出總結表格。

一方面鞏固指數函數的定義，另一方面再與單調性等知識相結合，通過應用建立聯系，在反復比較基礎上形成了一個新的認識，建構一個新的圖式。

三、教學反思

本節課基于APOS理論設計了四個具體的教學流程對指數函數作出了分析。APOS理論強調學習是需要學生主動構建的，所以首先考慮學生的“最近發展區”設計合理的問題情境，一方面引導學生進入指數函數的情景中，感受學習指數函數的重要性，另一方面激發學生的探索欲，調動原有的認知結構。當然，概念學習不能停留在“操作”階段，也要重視“過程”階段，學生得到特殊的指數函數，抽象得到一般的指數函數，層層遞進，由感性認識上升到理性認識。對象的建立要注意簡練的文字形式和符號表示，使學生在頭腦中建立起數學知識的直觀結構形象。從“過程”到“對象”是反復，螺旋上升的，階段之間沒有清晰的界限。最后通過辨析，幫助學生理解本質和非本質屬性，并在此基礎上靈活運用概念，優化知識結構，形成完整的圖式。

基于APOS理論的教學設計把數學問題與實際生活緊密聯系起來，讓學生感受到數學就在身邊，培養學生在現實中發現問題的能力。同時調動學生的積極性，讓學生自主探索，增強了課堂開放性，真正成為知識的發現者、探索者。可見APOS理論可以為數學教學提供一個有效的范式參照。

（作者單位：南京師范大學教師教育學院）

提問：當我們知道對數函數的定義之后，緊接著需要探討什么問題？

讓學生選擇討論的內容，提高課堂的參與程度，體現學生是學習的主體。根據學生的回答，先研究圖像再研究性質。通過描點法展現函數的圖像，并探討函數的性質。

探究活動 選取函數y=2x，首先畫出函數的圖像，類比第二章函數，數形結合研究函數的定義域，值域，圖像以及性質。借助幾何畫板歸納a>1的函數特征。這里函數的嚴格的證明過程不做統一要求。

類比y=2x，選取y=（）x，學生獨立探究0

最終教師和學生共同總結兩種情況。

本階段的設計注重引導學生用從特殊到一般的方法探究指數函數圖象及性質，加深學生的理性認識。同時，幫助學生確定探究的問題、步驟，確保探究的有效性。這個環節，還要借助計算機輔助教學作用，增強學生的直觀感受。

4.“概型”階段——建立深層圖式 形成概念體系

在形成對象基礎上，我們通過例題，練習達到對知識進一步深化認識，形成指數函數的整體認識，構建心理圖式。

例1判斷下列函數是否為指數函數

（1）y=（0.2）x，（2）y=（-2）x，（3）y=1x，（4）y=2.3x，（5）y=2。

例2 比較下列各組數的大小：

（1）1.52.5，1.53.2 （2）0.5-1.2，0.5-1.5 （3）a，a（a>0，且a≠1） （4）1.50.3，0.81.2。

小結指數函數，作出總結表格。

一方面鞏固指數函數的定義，另一方面再與單調性等知識相結合，通過應用建立聯系，在反復比較基礎上形成了一個新的認識，建構一個新的圖式。

三、教學反思

本節課基于APOS理論設計了四個具體的教學流程對指數函數作出了分析。APOS理論強調學習是需要學生主動構建的，所以首先考慮學生的“最近發展區”設計合理的問題情境，一方面引導學生進入指數函數的情景中，感受學習指數函數的重要性，另一方面激發學生的探索欲，調動原有的認知結構。當然，概念學習不能停留在“操作”階段，也要重視“過程”階段，學生得到特殊的指數函數，抽象得到一般的指數函數，層層遞進，由感性認識上升到理性認識。對象的建立要注意簡練的文字形式和符號表示，使學生在頭腦中建立起數學知識的直觀結構形象。從“過程”到“對象”是反復，螺旋上升的，階段之間沒有清晰的界限。最后通過辨析，幫助學生理解本質和非本質屬性，并在此基礎上靈活運用概念，優化知識結構，形成完整的圖式。

基于APOS理論的教學設計把數學問題與實際生活緊密聯系起來，讓學生感受到數學就在身邊，培養學生在現實中發現問題的能力。同時調動學生的積極性，讓學生自主探索，增強了課堂開放性，真正成為知識的發現者、探索者。可見APOS理論可以為數學教學提供一個有效的范式參照。

（作者單位：南京師范大學教師教育學院）