HTPB/IPDI彈性體的粘-超彈性本構模型研究①

胡少青，鞠玉濤，韋 震，周長省

(南京理工大學 機械工程學院，南京 210094)

0 引言

HTPB彈性體是端羥基聚丁二烯與環氧類、有機二元酸或二異氰酸酯等固化劑反應生成的一種聚氨酯，以其良好的力學及工藝性能，廣泛用于復合推進劑的粘合劑，固體推進劑耐燒蝕包覆材料[1]等。此外，還用于隔振材料、密封材料等方面。掌握其力學性能及本構模型是深入研究和應用這類復合材料的基礎。

近年來，一些學者對聚氨酯材料的本構模型有了一定的研究。Shu L H[2]及劉柏峰等[3]在研究聚氨酯隔振器的靜態力學響應時，忽略了聚氨酯材料的粘性特征，將其假設為超彈性材料，用含應變能的超彈性模型來表示材料的力學特性，但該模型不能適應動態狀況下聚氨酯材料的力學性能的描述。Yang L M[4-7]等相繼提出的適應于橡膠材料的粘-超彈本構模型，這類本構模型多用于描述材料在高應變率下的動態力學性能；Pawlikowski M[8]成功地將粘-超彈本構模型成功的應用于聚氨酯納米復合的研究中。HTPB彈性體是較為常用的聚氨酯材料，在低應變率下不僅具有超彈性，而且其粘彈性特征也較顯著。目前，關于HTPB彈性體靜態及準靜態下的粘-超彈本構模型研究較少。因此，本文開展了HTPB彈性體在靜態及準靜態下的粘-超彈性本構模型的研究，以期為這類材料設計及研究提供依據。

1 HTPB彈性體粘-超彈性本構模型建立

HTPB彈性體屬于橡膠類材料，在建立這類材料粘-超彈本構模型時常用超彈性模型與粘彈性模型組合的方法。因此，合理選擇粘彈性和超彈性模型及建立準確的模型參數求解方法，是保證模型準確性的關鍵。

1.1 超彈性本構模型

聚氨酯彈性體同其他橡膠類材料一樣可認為不可壓材料。常用的超彈模型有Neo-Hookean模型、Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型、Ogden模型等。Yeoh模型的剪切模量是隨應變的變化而變化，簡單變形可用于預測其他變形形式的力學性能，模型適應較寬泛的變形范圍，同時模型只考慮不變量I1對應變能函數的影響[9]，形式簡單，有利于有限元的應用。因此，本文的超彈性本構模型選用Yeoh模型。

在單軸加載下，設加載方向上的伸長比為λ，由于材料不可壓，故三向主伸長比為λ1=λ，λ2=λ3=λ-1/2。則變形梯度張量F及左Cauchy應變張量為

(1)

B的第一不變量：

I1=tr(B)=λ2+2λ-1

(2)

因此，在單軸加載條件下，HTPB彈性體超彈性特征本文采用式(3)，基于Yeoh應變能函數的不可壓各向同性彈性固體的超彈性本構模型表達[9]:

(3)

1.2 粘彈性本構模型

粘彈性材料的顯著特點是應力應變的率相關性與加載歷史相關性，對于各向同性不可壓材料的粘彈性本構可表示為[3-4]

(4)

式中σv為Cauchy應力張量；pv為不可壓作為一種約束產生的靜水壓力；C為右Cauchy變形張量C=FT·F；Ω為描述應變歷史對應力影響的張量泛函，是坐標系無關量，可寫為

(5)

(6)

式中θi為松弛時間；N為Prony級數的階數，N越大，模型就越逼近真實的材料特性。

松弛時間與微觀結構相關，一個試驗中的材料松弛時間取決于加載時間與加載速率。Yang L M認為，上述粘彈性模型中的一個松弛時間可準確描述2個數量級的應變率[4]。對于HTPB彈性體，在靜態及準靜態下主要表現為超彈性，粘彈性對其力學性能影響較一般粘彈性材料小。若直接像一般粘彈性本構中取N=6～10，則會造成模型的復雜程度增加，不利于模型的擬合，也不利于工程數值仿真的應用，且對于模型精度的提高并不顯著。為了簡化模型，本文在構建HTPB彈性體粘彈性本構模型時，取N=1。

(7)

由式(5)～(7)，不考慮加載前的效應，可得

(8)

則HTPB彈性體粘彈性特征可用式(9)表達：

(9)

1.3 粘-超彈性本構模型的建立

在建立HTPB彈性體粘-超彈性本構模型時，同樣認為材料由超彈性單元和粘彈性單元并聯組合而成，故其總的應力：

σ=σh+σv

(10)

軸向應力：

(11)

將式(3)、式(9)代入式(11)，得一維狀況下的HTPB粘-超彈本構模型：

σ11=2(λ2-λ-1)[C10+2C20(I1-3)+3C30(I1-3)2]-

(12)

(13)

代入式(12)，可得

σ11= 2(λ2-λ-1)[C10+2C20(I1-3)+3C30(I1-3)2]+

(14)

σ11為Cauchy(真實)應力，單軸加載情況下：

σ11=λP11

(15)

式中P11為工程應力；λ=1+ε11，ε11為加載方向上工程應變。

在單軸拉伸時，本構的兩部分均有響應，理論上可用拉伸曲線擬合全部參數。但本構中參數較多，數學方程復雜，可能會出現多解狀況，而造成參數或模型失去物理意義。由于這一本構模型在松弛試驗應變保持階段，模型中的超彈部分應力不變，松弛特性只與粘彈部分有關。所以，可用松弛實驗結果擬合模型中的與粘彈特性相關的參數A1、A2、θ，再利用單軸等速拉伸實驗結果擬合模型中與超彈特性相關的參數C10、C20、C30。這樣，可保證模型參數獲取的精度及物理意義。

2 材料制備及實驗方法

HTPB的彈性體的配方及工藝過程對材料的力學性能影響較大。本文采用的配方為：工業級HTPB、分析純異弗爾酮二異氰酸酯(IPDI)；固化參數R(—OCH/—OH)=1.05。固化工藝為：準確稱量后，先將IPDI和HTPB加入燒瓶中預混，再放入(40±1)℃的恒溫水浴中真空狀況下攪拌30 min，然后澆注到預先涂硅橡膠及二甲基硅油為脫模劑的模具中，模具尺寸為100 mm×20 mm×8 mm，放入70 ℃干燥保溫箱中，保持真空度0.1 MPa，固化168 h。

HTPB/IPDI彈性體較軟，直接進行夾持實驗，會造成試件兩端產生較大的擠壓變形，影響實驗結果。松弛實驗中，在應變保持階段，試件兩端會發生一定的流動，導致“偽松弛現象”，即實驗測得應力松弛有一部分是由于流動引起的應變減小導致的，同時使松弛時間增大。這種流動在試驗中很難避免，只能改善實驗方法減小流動。增加試件的長度可以有效減小流動的影響。改善夾持方法也可提高實驗的準確性，本文采用木板框架的粘接夾持方法，如圖1所示。

圖1 試件示意圖及膠片實物圖

HTPB彈性體由A、B兩種板材組合粘接夾持，試驗機夾具夾持A面及相對面，B板可起到支撐作用，防止試件在加持力的作用下，產生較大變形。

采用微機控制電子萬能材料試驗機在室溫30 ℃、濕度34%的環境下，以12.5、25、100 mm/min的拉伸速率，分別對試件進行單軸等速拉伸實驗；在拉伸速率為100 mm/min的速率下，拉伸到應變為1時，應變保持600 s，得到材料的松弛特性。實驗結果為5個試件的平均值。

3 試驗結果及分析

3.1 松弛實驗結果分析

理想的松弛實驗要求在t=0時給試件加載階躍應變，但實際試驗中，瞬間達到ε0是不可能的，如圖2所示。

圖2 松弛試驗應變實際加載過程

實際加載過程數學模型：

(16)

對于模量較大粘彈性材料，在松弛試驗中，由于實驗加載上升段的時間t0很小，因而可忽略加載段對松弛試驗結果的影響，而假設t0=0，對于HTPB材料而言，其模量較低，粘彈性特征在低應變率下沒有典型粘彈性材料顯著，減小松弛試驗的ε0，可減小t0的影響，但會使試驗中松弛響應測量結果誤差較大。增大ε0，勢必造成t0的增大，使加載段影響松弛結果，而不能用松弛函數直接擬合。為了解決實際加載過程中加載段對松弛模量引起的誤差。本文利用所提出的本構方程，可求得材料在上述加載條件下的應力響應，進而將這一影響消除。

在加載段，t

σ11= 2(λ2-λ-1)[C10I1+2C20(I1-3)+3C30(I1-3)2]+

(17)

當t≥t0時，可得松弛階段應力響應函數為

(18)

式中σ∞為材料在單軸等速拉伸到ε0的超彈響應，λ0=1+ε0。

利用式(18)可對松弛試驗結果進行擬合，進而獲取本構模型參數A1、A2、θ及σ∞，參數擬合結果見表1，擬合結果與實驗結果如圖3所示。

圖3 松弛曲線試驗及理論結果

由圖3可看出，HTPB/IPDI彈性體在應變保持階段初期松弛較快，但隨著時間的增加，松弛速度逐漸降低，到600 s時應力已趨于平穩。本構模型擬合結果基本反映了材料的松弛特性，實驗曲線的偏差主要表現在松弛曲線由快速松弛向趨于穩定的過渡階段。這是由于松弛函數階數較少導致的，但其擬合精度較文獻[4]所用本構模型擬合精度有了大幅提高，同時并未增加模型的復雜程度。總之，通過對上述松弛模型和擬合方法的改進，保證了在靜態和準靜態條件下材料粘彈性特征的描述精度，確保了本構模型中參數的物理意義。

3.2 拉伸試驗結果分析

本構中的參數C10、C20、C30可用單軸拉伸曲線擬合，擬合方程為式(17)，參數A1、A2、θ用松弛試驗擬合的結果，對拉伸速率為12.5 mm/min的實驗結果進行擬合，參數擬合結果見表1。

將表1中參數代入式(17)，可預測不同拉伸速率下HTPB/IPDI彈性體的應力應變關系。圖4為拉伸速率為12.5、25、100 mm/min時的實驗結果與本構模型所得結果的對比。由圖4可看出，HTPB/IPDI彈性體的力學性能具有一定的率相關性，這與松弛特性所反應的粘彈特性是一致的；在初始階段應力上升較快，隨應變增加材料開始軟化，模量減低。試驗后發現，試驗試件可完全恢復形貌，且完全恢復后，其幾何尺寸沒有顯著變化，且粘彈性特征在小變形下不及大變形下明顯。這也說明在小變形和短時間加載條件下HTPB/IPDI彈性體可直接用超彈性本構模型而忽略其粘彈性特征，但在大變形及長時間加載下其粘彈性特征是不能忽略的。所以，本文對HTPB/IPDI所做的粘-超彈性假設是合理的，預測結果與試驗數據吻合較好,說明所建的本構模型能準確反映HTPB/IPDI彈性體在單軸加載下的粘-超彈性力學性能。

表1 本構中各參數擬合結果

圖4 應力-工程應變曲線實驗與預測結果

盡管如此，模型與實驗數據存在著一定偏差，主要是由于2個原因造成的。一方面，在超彈本構模型中，應變能函數選用Yeoh模型，而Yeoh模型忽略了I2對應變能的影響，盡管有部分影響折算到I1中，但這種假設仍會造成模型的誤差[9]。另一方面，如上所述，是松弛函數導致的。

4 結論

(1)實驗結果顯示，在靜態及準靜態加載下，HTPB/IPDI彈性體材料的率相關性及松弛特性明顯，材料具有顯著的粘彈性特征，加之材料的變形量較大，說明具有典型的粘-超彈性材料的特征。

(2)所建立的HTPB彈性體粘超彈性本構模型，由超彈與粘彈兩部分組成；用松弛試驗對粘彈部分的參數進行擬合，其他參數用速率為12.5 mm/min的拉伸曲線進行擬合，擬合結果與實驗結果吻合較好。

(3)用擬合所得的參數，預測25 mm/min及100 mm/min下的單軸拉伸的實驗結果，預測結果與實驗結果吻合較好，說明本文所建立的模型能夠較好地用于HTPB彈性體在有限變形下的力學性能描述中。

(4)所建立的本構模型較現有文獻中應用的模型簡單，用不同的實驗結果擬合不同的參數，求解過程物理意義明確，適用于在該類材料研究及設計中的工程數值仿真應用。

參考文獻：

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