旋轉彈錐形運動發生區間及頻率特性研究①

任天榮， 馬建敏

(1.復旦大學 力學與工程科學系，上海 200433；2.上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引言

旋轉彈(包括旋轉導彈、旋轉火箭彈)的主動段飛行中，在沒有操縱指令的情況下，時常也會產生明顯的錐形運動，此運動又具體有擺幅收斂、擺幅穩定和擺幅發散(即發生"掉彈")3種現象。后2種運動狀態會導致飛行姿態的改變，進而影響增加脫靶量、降低射程。對于錐形運動的發生原因國內外已有一些研究，Thomson指出了旋轉彈體的自旋軸為其最小主慣性軸時，因彈體系統總是存在不可避免的能量耗散，這就使得彈體存在錐形運動的發散趨勢[1]；后來Likins在其NASA 報告[2]中也給出結論：A spacecraft spinning about its minor axis in the presence of energy dissipation is directionally unstable。彈體的錐形運動可看作是彈軸相對速度矢量的章動和進動運動的合成，Platus認為彈體的滾轉運動實際上包含彈體繞自身縱軸的滾轉和彈軸繞速度矢量的進動，進動角速率與彈體的極轉動慣量和赤道轉動慣量之比有關，并且當內部質量存在輕微不對稱時，彈體繞縱軸的滾轉軸將與彈體最小轉動慣量軸不重合，這一現象會導致章動角的產生，也是誘發彈體姿態發散的一個因素[3]。Morote和Liano分析了140 mm火箭的卷弧翼的氣動特性，尤其是展長和弦長對飛行動穩定的影響，發現減小卷弧翼弦長可使面外力和面外力矩加大，使火箭彈動穩定性變差，易導致錐形運動發生，而減小展長不利于彈體的靜穩定性，卻有助于改善飛行器的動穩定性[4]。Murphy針對無控彈體，采取一階線性化方法，得出了系統動態穩定性區域，給出了旋轉彈體動態穩定性必須滿足的條件，說明了面外力矩在引起一個圓運動收斂的同時造成另外一圓運動的發散[5-6]。張涵信等研究了飛船返回艙俯仰振蕩的動態穩定形態隨來流馬赫數的變化，指出當來流馬赫數等于某一臨界馬赫數時，開始發生動態Hopf分叉，產生周期振蕩的極限環[7]。洪金森和洪詩權應用多尺度法獲得了再入飛行器運動方程的極限環振幅和頻率的漸近表達式，并指出系統的穩定性取決于阻尼線性項的符號變化[8]。毛雪瑞基于彈體的短周期運動建立了彈體的章動角運動模型，并得出了錐形運動的漸進穩定性判據和有界穩定性判據，指出了增大靜穩定力矩系數、減小側向力矩系數有利于改善錐形運動穩定性，并指出了彈體處于臨界穩定狀態時彈體將存在穩定的進動角速率[9]。上述相關結果均是基于飛行器質量不變的前提。在文獻[10]中給出了基于變質量運動方程，關于錐形運動(極限環)存在的理論證明，但沒有對其產生的條件加以說明。實際上，正常穩定的飛行相當于彈體軸線關于來流夾角的定常解，錐形運動則為彈體軸線關于來流夾角的周期解，這一現象正對應于數學中的常微分方程的極限環。

本文將從變質量陀螺方程出發，分析關于旋轉導彈姿態運動極限環的發生的區間范圍，對旋轉導彈產生錐形運動的條件進行探討，并基于微分方程定性理論中關于極限環的理論成果[11-12]，研究分析關于旋轉導彈姿態運動的極限環存在發生的區間范圍，對旋轉導彈產生錐形運動的條件進行探討，并基于矩陣代數的理論成果，給出一個分析錐擺頻率的公式。

1 基于變質量陀螺運動方程的旋轉彈姿態方程

因為主動段飛行過程即導彈變質量過程，故下面先給出變質量陀螺的普遍方程，推導見文獻[13-14]：

(1)

其中：

Mi=(Mix,Miy,Miz)

這里將附加質量的結合過程看作是絕對的非彈性碰撞。隨后，采用文獻[10]中使用的端面燃燒旋轉導彈變質量陀螺運動方程。即設一圓柱體旋轉導彈做靜穩定水平飛行，則其速度坐標系近似為慣性坐標系，設原點即為彈體質心；而取彈體的半彈體坐標系為相對轉動的動坐標系。將慣性坐標系中動量矩定理的微分過程改在動坐標系內進行，則有

(2)

其中，帶“～”的微分符號表示動坐標系的局部導數；ω為相對動坐標系的瞬時角速度。則有

(3)

(4)

考慮到在半彈體坐標系中，全彈體轉動慣量是由彈體和將要離去的燃氣質量組成的，則式(4)為

ω×(J·ω)=M

(5)

式中R為燃燒室半徑；l為彈體長度。

為方便計算，下面令Jx=J1。再與方程(1)綜合之，得端面燃燒旋轉導彈變質量陀螺運動姿態方程：

(6a)

(6b)

(6c)

2 彈體運動動態判據分析

(7a)

(7b)

化方程(7a)、(7b)為

(8a)

(8b)

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

顯然，方程組(9)是一線性系統，原點為其平衡點。由一次近似穩定理論知，當系統(9)的Jacobi矩陣所有特征值的實部均為負時，該系統是零解漸近穩定的[15]。其Jacobi矩陣為

(10)

其Jacobi矩陣行列式為

λ4+2Bλ3+(A2+B2-(my+Δ′+mz))λ2-

B(my+Δ′+mz)λ+(my+Δ′)mz=0

(11)

下面再引用2個定理[12,16]:

定理1實系數代數方程

λn+a1(μ)λn-1+…+an-1(μ)λ+an(μ)=0

(12)

所有根均具有負實部的充分必要條件是所有的Hurwitz行列式均大于零，即

Δi>0(i=1,2,…,n)

定理2若實系數代數方程(12)具有一對純虛根±ωi，其余n-2個根均具有負實部，則

(13)

于是對于系統(9)可得

Δ1=a1=2B>0

a2=A2+B2-(my+Δ′+mz)>0

a3=-B(my+Δ′+mz)>0

a4=(my+Δ′)mz>0

=B(2(A2+B2)-(my+Δ′+mz))

=B2((my+Δ′-mz)2-2(A2+B2)(my+Δ′+mz))

=a4Δ3=B2((my+Δ′-mz)2-2(A2+B2)(my+Δ′+mz))(my+Δ′)mz

由前面靜穩定假設可知，my<0，mz<0，而干擾力矩系數Δ′>0，當my+Δ′<0時，可確保Δ1>0，Δ2>0，Δ3>0，Δ4>0，此時系統是漸近穩定的。由此知，靜穩定設計的旋轉導彈，微小擾動Δ′<-my，所造成的彈體姿態擺動會迅速收斂，但當擾動較大，使得系統(9)關于零點不穩定。其實，由上面看出，對系統(9)總有Δ1>0；又因對于通常的旋轉導彈，有A2+B2?|my+mz|，故而系統也總有Δ2>0；又由Δ4=a4Δ3，知當mt+Δ′<0時，均有Δ3>0，Δ4>0；而當my+Δ′+mz>0時，因一般對旋轉彈箭A2+B2?my+Δ′+mz，故此時Δ3<0，a4<0，從而Δ4>0，根據定理1所述，知此時系統必有一特征根實部大于零，即系統發散。因此，當Δ′<-my時，系統(9)肯定關于零點漸近穩定；當Δ′>-my-mz時，系統(9)肯定發散，即彈體姿態會不可回復到原有的飛行方向，若將操縱力也視為干擾力，則此時也可視彈體處于操縱機動狀態；由此分析知，僅當-my≤Δ′≤-my-mz時，系統(9)才有可能發生錐形振蕩運動，即干擾力矩導致系統分叉發生的臨界點必在區間[-my,-my,-mz]上。實際飛行中，彈體可能遇到的干擾有“3秒跳”、舵翼分離流動的干擾、發動機熄火、發動機內流場激擾、推力偏心及氣動力偏差等。

3 旋轉彈體振蕩頻率的分析

(14)

圖1 旋轉彈體錐形運動發生區域示意圖

(1)當系統沒有受到干擾，且不計其陀螺穩定項與尾噴流章動阻尼項，即Δ′=0，A=0，B=0，則其振蕩頻率為

(2)當系統沒有受到干擾，但考慮其陀螺穩定項與尾噴流章動阻尼項，即Δ′=0，A≠0，B≠0，則彈體有阻尼振蕩頻率表示為

為方便計算，仍令mz=my，則有

(3)當彈體系統處于小舵偏控制的機動狀態(即將舵面偏打當成干擾力，且干擾力矩系數滿足-my≤Δ′≤-my-mz)，又考慮其陀螺穩定項與尾噴流章動阻尼項，即Δ′≠0，A≠0，B≠0，則此時彈體錐形運動的振蕩頻率，可稱為小舵偏機動頻率，其頻率可表示為

4 關于錐形運動的進一步討論

這里的分析是建立在線性系統之上的，由于實際飛行中系統應是非線性狀態的，故而上面的分析是有局限性的，也就難以對彈體發生振蕩運動的臨界點，給出準確的結果，而僅能給出一個區間。旋轉彈箭穩定的錐形運動，可視為一種在氣動力非線性條件下的極限環運動，在文獻[9]中，基于微分方程定性理論中的Bendixson-Dulac定理[18]，從理論上說明了彈體穩定錐形運動存在性，但那是在阻尼力矩線性條件下得出的結論，相對于真正飛行環境差異較大，也就沒有多少對實際飛行現象的指導意義。下面討論一下，當阻尼力矩非線性時的情形。

Bendixson-Dulac定理,給定微分方程組：

(15a)

(15b)

其中，Y、Z∈C1(D)；D是環域，D中無奇點。若存在函數B(y,z) 、M(y,z)∈C1(D)，B(y,z)>0且在環域D上有

(16)

而等號不能在整條軌線上成立，則在D上至多有一個極限環。若此極限環存在，則是穩定的。

=Y(y,z)-c1y3=Y1(y,z)

(17a)

=Z(y,z)-c4z3=Z1(y,z)

(17b)

再分別計算易得

(18)

(19)

(20)

(21)

則由

3z2(c1y2+c4z2)≤0

則當極限環存在判別式：

(22)

成立時，Bendixson-Dulac定理中的條件成立，可以確保此時的動力學系統，如果不收斂到零點，則系統必存在一個穩定的極限環。由以前的分析有

又由于c1、c4可以為負值，且故僅當彈體振蕩角度非常小或阻尼力矩的非線性系數很小時，才能確保系統極限環存在判別式(22)的成立。

5 結論

(1)在外力條件穩定彈體自旋轉速不變時，主動段飛行的旋轉導彈，當干擾力矩系數小于氣動靜穩定力矩系數時，系統關于原點漸近穩定；當干擾力矩系數大于氣動靜穩定力矩系數的2倍時，系統發散；當干擾力矩系數介于氣動靜穩定力矩系數的1～2倍之間時，系統才會有錐形運動現象發生。

(2)旋轉導彈采用氣動靜穩定設計，較小的振蕩幅度和較低阻尼非線性，使得旋轉彈體一旦進入錐形運動狀態，就一定是穩定的錐形運動狀態的充分條件。

(3)旋轉火箭彈較大的氣動靜穩定度設計，是促使 “掉彈”現象發生的原因之一。

(4)主動段飛行的旋轉導彈，其阻尼與干擾力矩對系統的運動周期是有影響的；彈體無阻尼振蕩頻率高于其主動段振蕩頻率；彈體主動段自由飛行振蕩頻率高于其小舵偏機動飛行的振蕩頻率。

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