高一階段函數與方程思想的滲透

游娟

摘 要： 數學思想是數學活動的指導思想，數學活動的一般概括.它從整體和思維的更高層次上指導學生有效地認識數學的本質，運用數學知識發現、完善數學知識結構，探尋解題的方向和途徑.函數是高中數學的主線，它用聯系和運動、變化的觀點研究、描述客觀世界中相互關聯的量之間的依存關系.函數思想以函數知識做基石，用運動變化的觀點分析和研究數學對象間的數量關系，豐富并優化數學解題活動.

關鍵詞： 函數思想 方程思想 函數與方程思想 高一數學教學

高中階段的數學用到的基本思想有：函數與方程思想，分類討論思想，轉化與化歸思想，數形結合思想.而其中的函數與方程思想是每年高考的熱點之一，高中階段第一次出現在蘇教版必修一的第三章.所以深入研究函數與方程思想對學好數學起非常大的作用.

函數思想，就是運用運動和變化的觀點，集合與對應的思想，分析和研究數學問題中的等量關系，建立或構造函數關系，再運用函數的圖像和性質分析問題，達到轉化問題的目的，從而使問題獲得解決的思想；方程思想，就是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型——方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決的思想.

函數與方程是密不可分的，函數y=f（x）中的f（x）如果為0，就可以轉化為方程f（x）=0.函數與方程思想就是把函數問題轉化為方程問題，例如求函數的零點可以轉化為求對應方程的根，或者把方程問題轉化為函數問題來解決，例如求方程的根的個數可以轉化為求兩函數交點的個數.蘇教版必修一的第三章引入的函數與方程思想，主要體現在求方程f（x）=0的實數根，就是確定函數y=f（x）的圖像與x軸交點的橫坐標，即函數y=f（x）的零點；求f（x）=g（x）的根或根的個數就是求函數y=f（x）與y=g（x）圖像的交點或交點個數.

一、函數思想

所謂函數思想，就是在根據已知條件構造函數，通過研究函數的單調性、奇偶性等性質，解決問題的思想.

1.構造函數，利用函數的性質答題.

例1：（1）比較大小：lg15；lg6；6■，8■；（2）證明方程x·2■=1至少有一個小于1的正實根.

分析：（1）分別構造函數y=lgx和y=x■，利用其單調性比較大小；（2）構造函數f（x）=x·2■-1，驗證f（0）·f（1）的符號即可.

解：（1）構造函數y=lgx，其在（0，+∞）內是單調增函數，因為15>6，所以lg15>lg6；構造函數y=x■，其在（0，+∞）內是單調增函數，因為6>8，所以6■>8■；（2）令f（x）=x·2■-1，則f（x）的圖像在R上是一條連續不間斷的曲線.所以，f（0）=0×2■-1=-1<0，f（1）=1×2■-1=1>0.所以f（0）·f（1）<0，所以f（x）=x·2■-1在區間（0，1）內至少有一個零點，即方程x·2■=1至少有一個小于1的正實根，得證.

點評：解有關不等式、方程、比大小的問題，可以通過構造函數關系式，借助函數的圖像和性質，使問題更直觀形象，充分利用數形結合、函數方程思想，為以后的學習奠定基礎.

2.利用函數思想解答有關實際應用題.

例2：某省兩相近重要城市之間人員交流頻繁，為了緩解交通壓力，特地修了一條專用鐵路，用一列火車作為交通車，已知該車每次拖4節車廂，一日能來回16次，如果每次拖7節車廂，則每日能來回10次.若每日來回的次數是車頭每次拖掛車廂節數的一次函數，每節車廂能乘載乘客110人.問這列火車每天來回多少次才能使運營人數最多？并求出每天最多運營人數.

分析：建立目標函數，再求函數的最值.

解：設每日來回y次，每次掛x節車廂，由題意，再設y=kx+b（k≠0），

方程組16=4k+b10=7k+b，k=-2b=24，所以y=-2x+24.

由題意知，每日運營車廂節數最多時，運營人數最多，設每日運營S節車廂，則S=xy=x（-2x+24）=-2（x-6）■+72，所以當x=6時，S■=72，此時y=12.

則每日最多運營人數為7920人.

答：這列火車每天來回12次，才能使運營人數最多，每天最多運營人數為7920人.

點評：通過建立函數解決實際問題要注意定義域，根據定義域來求函數的最值.

二、方程思想

通過換元，構成已經學過的方程求解.

例3：關于x的方程9■+a·3■+3=0恒有解，求a的取值范圍.

分析：通過換元將其變為一元二次方程恒有正根的問題，同時利用韋達定理解題.

解：設3■=t，則t>0.由題意得，方程t■+a·t+3=0有正根，

所以Δ≥0x■+x■=-a>0x■x■=3>0即a■-4×3≥0a<0，所以a≤-2■.

點評：對于類似于一元二次方程的復雜方程，可以通過換元將問題轉化為已學過的方程求解.

三、函數方程思想

有的題目需要根據函數與方程之間的相互關系而互相轉換.

例4：（2008天津卷改編）設a>1，若對任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a■]滿足方程log■x+log■y=3，此時a的取值集合為？搖 ？搖.

分析：本題看上去是考查含參數的方程，實際上是以含參數方程為載體，考查函數的定義域、值域及函數思想，所以解這道題目的基本思路：方程問題函數化.由方程，可得xy=a■（x>0，y>0），把x看成自變量，y看成應變量，可以得到函數y=a■/x在區間[a，2a]上單調遞減，所以函數y=a■/x在區間[a，2a]上的值域是[a■/2，a■]，由題意∈[a■/2，a■]？哿[a，2a]，所以a≤a■/2

函數與方程的思想是高考的熱點，也是學生學習的難點，很多學生拿到類似的題目無從下手，不會變通，所以在上必修一函數與方程這一節時，教師要充分利用函數的零點及二分法的有關內容不斷強調，向學生灌輸如果從函數無從下手，就變成方程，如果方程不會解，就通過函數解決的思想，進而深化數形結合的數學思想，通過不斷練習，不同的變式訓練，強化學生的記憶與理解.只有這樣，才能讓學生在高考中能自然地運用函數方程思想，而不是生搬硬套.

學習函數方程的思想不是一兩節就能掌握的，需要通過長時間的努力滲透，包括以后學的三角函數、數列、不等式，都運用到了這一思想，高一的基礎是非常重要的，所以也要求教師一定要在高一讓學生弄懂并會運用這一思想.