解析導數與函數

劉 佳

（浙江省衢州市第三中學，浙江 衢州 324002）

數學是一門具有獨特魅力的學科。在高中數學里我們會學到很多有趣的數學符號以及復雜的函數，當然還有很多復雜的數學問題。高中數學主干知識包括函數與導數、數列、三角函數、證體幾何、解析幾何、概率與統計，這些主干知識足以支撐高中數學知識體系的主要內容，構成了高考數學試卷的主體。在函數與導數這一重點模塊當中便有許多值得探究的問題，為了認清這一模塊，我們將從導數與函數的思想概念、地位以及它們在數學中的應用著手，仔細分析導數與函數間的關系，為此我們作了研究并從例子中分析導數與函數的融會以及它們的作用。本文主要分成兩部分，第一部分在參考了文獻的基礎上對導數與函數的概念及其關系做出了解答，并且詳細地闡釋了導數的思想及其在高中數學中的工具性地位。第二部分是論文的重點部分，在對導數與函數的運用中，通過導數解決單調性問題，通過導數求最值、證明不等式等展開對導數應用方面的詮釋，包括了通過歷年的高考例題來解析導數與函數在高考中的重大作用。

一、理解導數，掌握導數的思想和概念

1.高中數學中的導數概念。導數（導函數的簡稱）是一個特殊函數，它是由平均變化率到瞬時變化率引出和定義的，導數的幾何意義是曲線的割線逼近曲線的切線，它的引出和定義始終貫穿著函數思想。導數可以說是新課程改革與舊課程的一個區分點，也是新教材的一個亮點。因為導數的應用非常廣泛，它是連接高中數學與大學數學的紐帶，用它可以解決許多數學問題。目前，隨著新課程改革的不斷推進，對導數知識考查的能力要求也逐漸提高，而且對導數的考查已經由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析問題和解決問題時的有力工具。

2.高中數學中導數的思想及工具性地位。函數與導數是高中數學的核心內容，在導數應用過程中，要加強對基礎知識的理解，重視數學思想方法的應用，達到優化解題思維、簡化解題過程的目的。而導數已由解決問題的輔助工具上升為解決問題的必不可少的工具，在解決數學問題時使用非常方便，尤其是可以利用導數來解決函數的單調性、極值、最值以及切線問題。

二、函數解題需要導數

1.函數中運用導數的思想。函數中運用導數的思想主要有四種：等階轉化思想、函數與方程思想、分類討論思想和數形結合思想。等階轉化就是“把要解的題轉化為已經解過的題”就是把未知解的題轉化到在已有知識范圍內可解問題的一種重要思想方法。等階轉化在導數及其應用中主要用來解決有關恒成立、函數的單調性等問題。函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題、解決問題。方程問題是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程或不等式），然后通過解方程或不等式來使問題獲解。而函數與方程的思想在導數及其應用中主要用來解決生活中的優化問題以及構造函數證明不等式問題。在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。它在導數及其應用中主要用來求解單調區間、參數問題、極值、最值及恒成立問題等。數形結合思想包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來。數形結合思想在導數及其應用中主要用來解決方程根的問題。因為函數是貫穿中學數學的一條主線，是數學高考考查的重點。而函數是中學數學研究導數的一個重要載體。通常遇到復雜函數的時候難以利用普通的手段進行求解，所以采用對函數求導的方式可以克服此類問題，從而達到從繁化簡的效果。

2.函數中導數的應用。高中數學中導數有很大的作用，主要表現在三個方面。①導數解決單調性問題，當函數表達形式比較復雜，并且用初等函數不能求解的時候，可以考慮使用導數求解的方法，通常可以求出函數的導數，然后再求解導數的不等式。函數f（x）=-（a+1）ln（x+1）其中a≥-f'（x）=ax-1/x+1，a≥-1，可以求f（x）的單調區間。函數f（x）的定義域是（-1，+∞）且函數的導數是f'（x）=ax-1/x+1.可以分成兩個分進行求解，一部分是-1≤a≤0時，f（x）<0，函數在（-1，+∞）是遞減的。當a>0時，f（x）=0，則無論是導數還是函數，都會隨著x的變化而變化。根據x的取值變化可以化一個表來看函數和導數的變化范圍和區間，由此可見，當a在（-1，+∞）區間變化時，函數是單調遞減的，余下的部分是單調遞增。導數在解題時出現最多的就是分類討論的問題，解決此類問題，需要找到分類點和畫表，根據表格x值得走向來判斷函數是遞增還是遞減。②導數求解函數的最值問題，函數最值的問題也是常考的題型之一，對于閉區間的可導函數求其最值可以先求極值，根據極值與函數進行比較，確定最大值與最小值。函數f（x）=-x3+9x+a，閉區間[-2，2]，最大值為20，給出函數式子求最值。這種問題一般都會有兩個問題：第一個問題，會對函數的單調增減區間進行探討，然后給定一個閉區間求最值，最值包括最大值和最小值。第二個問題，閉區間會給你固定值，并且還會有最大的取值，從計算的過程中看，可以將閉區間兩端的值代入導函數中，求出一個公式，f（x）=-24+a，f（x）=10+a，然后，根據第一問討論的單調遞增與遞減區間的確定，確定其大小值，求解a的值。③導數證明不等式問題，導數證明不等式的問題，最關鍵的步驟要構造函數，利用導數判斷單調性，來證明不等式。利用函數的單調性證明不等式，最關鍵需要構造一個函數，利用相應區間上證明不等式的知識來判斷其單調性。根據以上的分析，可以解決數學的問題，并且也是有效的手段之一，思路很清晰，過程比較簡單，能夠加強導數的教學任務，可以提供一個清晰的思想，一個新的解題方法。

三、從高考命題來解析導數

1.導數在高考上的運用趨勢。近幾年來利用導數與函數、數列、三角函數、向量、不等式、解析幾何等其他知識的交匯進行命題考查學生應用數學知識解決綜合問題的能力已成為高考的一大亮點。因此，在命題上導數充分突顯出其“工具性”的作用，在處理各類交匯性問題上，在處理曲線的切線、函數的最值（極值）及單調性、參數的范圍、實際生活中的優化等問題方面，導數發揮著重大作用，所以導數是高考解答題命題的熱點內容。例1：（重慶·理·16）f（x）=a ln x+1/（2x）+3/2 x+1，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸.（1）求a的值；（2）求函數f（x）的極值。解：（1）對f（x）求導，故f'（x）=a/x-1/（2x2）+3/2；由于曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸，所以該切線的斜率為0，即f'（1）=0，所以a-1/2+3/2=0，解得a=-1。（2）由（1）知f（x）=ln x+1/（2x）+3/2 x+1，（x>0），則f'（x）=1/x-1/（2x2）+3/2=（3x2-2x-1）/（2x2）=（3x+1）（x-1）/（2x2），x>0，令f'（x）=0，得x1=1，（x2=-1/3，不在定義域，舍去），當x∈（0，1）時，f'（x）<0，故f（x）在（0，1）上為減函數；當x∈（1，+∞）時，f'（x）>0，故f（x）在（1，+∞）上為增函數，故函數f（x）在x=1處取得極小值f（1）=3.點評：此題的解題思路就在于理解導數的定義，即處于該點切線的斜率就是該點的導數值，第二問就是運用導數求極值的變換，所以關鍵是理解和運用導數。

2.運用導數的解題技巧。①求導后導數的幾個固定形式：a.含分母的導數形式f（x）=（mx2+nx+p）/x，此類導數由含lnx的函數求導得到，所以定義域為（0，+∞），此時導數的正負與分母無關，只要研究g（x）=mx2+nx+p，分m=0及m≠0時Δ與0的關系即可；b.含ex的導數形式，此類導數的正負與ex無關；c.含三角函數的導數形式，利用三角函數的有界性。②二次求導的使用：當遇到含ex的復雜形式函數時可以采用二次求導的方法，例如設函數f（x）=ex-1-x-ax2。若當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍。一階求導f'（x）=ex-1-2ax，二階求導f''（x）=ex-2a，由于x≥0，所以ex≥1，即2a與1的大小與二階導數與0的關系，而二階導數與0的關系決定一階導數的單調性，若一階導數單調則必有f'（x）≥f'（0）=0成立，從而獲得原函數的單調性。③恒成立的應用：恒成立是導數問題中永恒的話題，歸結為一句話就是恒成立即為求最大值與最小值問題，所以是導數應用的一個最重要的體現。在導數問題中，幾乎所有的最后一問都要涉及到這類恒成立問題。

四、結論

1.重視導數方面的學習，弄清導數的概念。

2.有必要強調導數的工具作用。

3.進一步加深對函數的理解和直觀認識。總之，導數引入中學數學教材后，使傳統中學教學內容注入了新的生機與活力，如何更好地利用導數這一工具來重新認識原中學課程中的有關問題并為解題提供新的途徑和方法已經成為當今中學數學教學要面對的嶄新課題。

隨著時代的發展，特別是適應課程改革和考試改革的需要，數學教學應“與時俱進”，重新審視基礎知識、基本技能和能力的內涵導數作為新增內容，在研究函數的性質中發揮了重要的作用。函數是高中數學的主線，因此導數與高中數學的融會關系將會更近一步。高中數學是高中課堂極為重要的一門功課，在高考中占據很大的分量。導數作為高中數學的重要知識，不僅蘊含著豐富的數學思想，也是一種簡捷而有效的解題工具，對于解決數學問題有極大的幫助，因此本文希望通過導數與函數間解題研究能夠幫助廣大同學更好地學數學。

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