某液壓張緊器阻尼特性的數學建模與有限元驗證*

胡玉梅,韓魯強,劉 進,向以軒

(1.重慶大學，機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044; 2.汽車噪聲振動和安全技術國家重點實驗室，重慶 400039)

前言

目前轎車發動機輪系中最常使用的自動張緊器主要分為干摩擦式和液壓式兩類。與干摩擦式自動張緊器相比，液壓式自動張緊器能產生更大的阻尼，運行更平穩，且無噪聲[1]。此外，選用液壓式自動張緊器可以降低輪系的預張緊力，進而可以提高皮帶和軸承的使用壽命[2]。

文獻[3]中通過實驗分析了液壓張緊器的動態特性，建立了精確的模塊化仿真模型，并在此基礎上研究了溫度和工作頻率對張緊器工作狀態的影響；文獻[4]中利用AVL軟件建立了采用液壓式張緊器的發動機鏈傳動機構的多剛體模型；文獻[5]中利用實驗手段對比研究了干摩擦式自動張緊器和液壓式自動張緊器對前端輪系傳動誤差和皮帶打滑的影響。

上述研究并未針對液壓張緊器的阻尼性能進行深入探討。本文中采用理論分析方法，建立了一種液壓張緊器的數學模型，通過求解液壓張緊器在簡諧位移激勵下的最大阻尼力和每周期所消耗的阻尼能來衡量液壓張緊器阻尼特性；并采用有限元仿真對所建立的數學模型進行了驗證。此液壓張緊器數學模型的推導過程具有普遍意義，可有效指導類似液壓張緊器的結構分析和設計。

1 張緊器結構與阻尼形成原理

圖1為一典型的發動機附件輪系布置圖，張緊裝置總成由張緊輪、搖臂和液壓張緊器3部分組成，布置在皮帶的松邊上。張緊器下端通過鉸鏈連接到發動機機體上，上端與搖臂相連。搖臂的旋轉運動最終轉化為張緊器的上下往復運動。

圖2為液壓張緊器結構和工作原理示意圖。該液壓張緊器由活塞、活塞桿密封、活塞導向座、壓縮彈簧、橡膠波紋密封和單向閥等組成。其中活塞導向座通過卡環隨活塞運動，并將壓縮彈簧的反作用力傳遞到活塞上。活塞桿密封用來防止油腔內油液泄漏到橡膠波紋密封腔內，氣體可在橡膠波紋密封腔和油腔間流動。橡膠波紋密封可防止空氣泄漏，保持油腔內壓力，并排除外界環境對油液的污染。

在張緊器工作過程中，活塞被壓縮至某一平衡位置并在平衡位置附近作微幅往復運動。活塞向下運動時，單向閥將高壓腔與低壓腔隔開，高壓腔壓力升高，液壓油通過泄油間隙(即環形阻尼縫隙)被擠入低壓腔。活塞向上運動時，高壓腔內壓力降低，單向閥打開，低壓腔內的液壓油被吸入到高壓腔。

在此過程中，活塞在張緊器內受到的力主要有兩個：一是壓縮彈簧的反力，二是高壓腔對活塞的壓力。由于彈簧不是耗能元件，因此可以認為高壓腔對活塞的壓力即為阻尼力。在活塞向下運動時，高壓腔壓力方向和活塞運動方向相反，對活塞做負功；在活塞向上運動時，高壓腔壓力方向和活塞運動方向相同，對活塞做正功。由于活塞向下運動時高壓腔壓力遠大于活塞向上運動時的壓力，故活塞在往復運動中會消耗大量的能量。在此定義阻尼力為活塞在高壓腔受到的壓力，阻尼能為活塞一個運動周期所消耗的能量。

2 張緊器阻尼特性數學模型的建立

為準確計算液壓張緊器在一個運動周期中消耗的阻尼能和產生的最大阻尼力，須對進、出高壓腔的油量進行分析，并建立高壓腔油壓的微分方程；為準確表示流經單向閥的流量，須計算出單向閥開度，進而還須建立單向閥小球的運動微分方程。利用數值方法對高壓腔油壓微分方程和單向閥運動微分方程聯立求解，即可得到任意時刻高壓腔內的壓強和阻尼力示功曲線，進而計算出張緊器的阻尼能和最大阻尼力。

2.1 高壓腔油壓微分方程的建立

為分析液壓張緊器阻尼特性，建立如圖2(b)所示的簡化分析模型。圖中：d為活塞直徑；e為泄油間隙，即高壓腔與活塞半徑之差；l為泄油間隙的長度；h為高壓腔的長度。高壓腔壓力為p1，低壓腔壓力為p2。由于活塞在平衡位置附近作微幅往復運動，低壓腔體積變化可以忽略，分析中假設p2為常數。活塞桿受到幅值為A的強制位移激勵。通過泄油間隙流出高壓腔的體積流量為Q1，通過單向閥流入高壓腔的體積流量定義為Q2。為方便起見，規定油液流入高壓腔，流量為正值，油液流出高壓腔，流量為負值。

根據液壓流體力學相關理論，考慮偏心的圓柱圓環縫隙的流量計算公式[6]為

(1)

式中：μ為液壓油動力黏度；ε為偏心率，ε=δ/e，δ為偏心距；v為活塞運動速度。

圖3為單向閥結構示意圖，當單向閥關閉時，Q2=0；當單向閥打開時，油液從低壓腔通過單向閥進入高壓腔，將此流動視為薄壁小孔出流，根據薄壁小孔流量計算公式[7]：

(2)

式中：AQ為單向閥最小流通面積；Cd為出流系數，在此取Cd=0.6[8]。

當單向閥開度不同時，流通面積的大小也在變化，因此AQ是單向閥小球升程xb的函數。根據參考文獻[8]，單向閥流通面積的計算公式為

(3)

其中：

(4)

式中：db為單向閥小球的直徑；ds為單向閥出口的直徑。

液壓傳動中，當壓力較高和進行動態計算時須考慮液體的可壓縮性[9]。根據質量守恒定律，單位時間進出高壓腔的油液體積流量與高壓腔容積變化之差應等于高壓腔油液密度變化所導致的體積變化量，即

(5)

其中高壓腔容積:

(6)

根據液體體積模量的定義：

(7)

單位時間內高壓腔容積變化相當于高壓腔截面積與單位之間內活塞位移之積：

(8)

活塞的運動微分方程可表示為

(9)

綜合式(5)、式(7)～式(9)即可得到高壓腔油壓的微分方程：

(10)

實際工作過程中，由于油液中混有空氣，油液的體積模量E并非常數，會隨著高壓腔壓力的變化而變化[10]，計算公式為

(11)

式中：Φgas0為一個大氣壓下空氣在油液中的體積分數；patm為標準大氣壓；n為氣體多變指數；Eoil為一個大氣壓下純油液體積模量。

2.2 單向閥小球運動微分方程

圖4為單向閥工作狀態。單向閥小球運動過程中，共有3種受力狀態：小球與下限位接觸(圖4(a))，小球不與上下限位接觸(圖4(b))，小球與上限位接觸(圖4(c))。

將上下限位作為大剛度大阻尼彈簧來模擬。大剛度是為阻止小球運動，起到限位的作用；大阻尼是為防止因將限位設置成彈簧而引起振動。忽略小球受到的油液黏滯力，質量為mb的小球受到的力包括單向閥彈簧力Fk1，上限位彈簧力Fk2，下限位彈簧力Fk3，上限位阻尼力Fc2，下限位阻尼力Fc3和壓差力Fp。根據牛頓第二定律，建立單向閥小球運動微分方程為

(12)

其中

Fk1=-k1(xb+x0)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Fp=π(ds/2)2(p2-p1)

(18)

式中：k1為單向閥彈簧剛度；x0為單向閥彈簧預壓縮量；xbmax為單向閥小球最大升程；k2、k3分別為上、下限位彈簧剛度，取值均為10 000N/mm；c2、c3分別為上、下限位阻尼系數，取值均為1N·s/mm。

2.3 數學模型的求解方法

聯立式(9)，式(10)，式(12)，即可得到微分方程組：

(19)

在方程組中，v相當于外界對活塞桿的強制速度激勵。參照我國減振器臺架試驗標準JB3901—85的規定，“測試減振器示功特性時，活塞相對于工作缸應做簡諧運動”。因此張緊器阻尼特性數值計算中施加在活塞桿上的強制速度激勵為

v=2πfAsin(2πft)

(20)

表明活塞運動速度是頻率為f的正弦函數，即活塞受到幅值為A的簡諧位移激勵。

選取合適的初始條件，通過對微分方程組(19)進行數值積分求解，即可得到任意時刻高壓腔內壓強。根據式(21)，即可計算出活塞受到高壓腔的壓力F，即液壓張緊器任意時刻受到的阻尼力為

F=(d/2)2πp1

(21)

3 數學模型的驗證

為了驗證數學模型的正確性，利用ADINA軟件針對液壓張緊器關鍵部分建立了流固耦合有限元模型。有限元仿真和理論計算采用了相同的邊界條件和材料模型假設。不同之處在于：(1)有限元當中建立了上下限位的結構模型，并通過其與小球的接觸來模擬上下限位對小球的作用力，數學模型是利用彈簧來模擬上下限位作用的；(2)有限元仿真根據計算流體力學的理論計算流量壓力關系，而數學模型通過經驗公式并配合流量系數的選擇來進行計算。與理論計算相比，有限元仿真更接近于真實流動情況，可以看做數值實驗。

液壓張緊器高壓腔部分是旋轉軸對稱結構，因此建立其二維旋轉軸對稱模型。

流體部分有限元模型如圖5所示，高壓腔壁使用壁面邊界模擬，活塞用移動壁面邊界模擬，并在其上施加幅值為0.5mm的簡諧位移激勵。對稱軸上施加的是帶有滑動條件的壁面邊界，以模擬旋轉軸對稱邊界。由于低壓腔壓強很小，而高壓腔的壓強最大值可達到20～30MPa，而且當彈性模量取值為常數時，低壓腔的壓強對液壓張緊器消耗的阻尼能沒有影響。為簡化模型，將單向閥補油道的入口和阻尼縫隙的出口設置為自由邊界，等效于低壓腔壓強p2設置為0MPa。

結構部分有限元模型如圖6所示。小球受到的限位作用通過定義與上下限位間的接觸來實現。單向閥的開閉通過在流體模型中設置GAP邊界條件實現。通過對上限位施加位移約束來調節小球的最大升程。

流固耦合邊界是流固耦合計算過程中結構模型與流體模型進行信息交換的界面，在有限元建模過程中，必須分別在結構模型和流體模型中將對應的邊界面定義為流固耦合邊界。結構模型和流體模型中的流固耦合界面在幾何位置上應是重合的，且最好大小一致。分別在流體模型和結構模型中建立了流固耦合邊界(見圖5和圖6)。

為了與有限元計算結果對比，數學模型中所有結構參數和流體材料設置與有限元中一致，如表1和表2所示。

表1 張緊裝置各結構參數

表2 油液材料參數

通常情況下，各類手冊、文獻建議在設計和分析液壓系統時，忽略體積模量隨壓力的變化而采用有效體積模量，有效體積模量取值一般為700～1 400MPa[11]。在數學模型驗證計算中，為了保持材料模型的一致性，忽略式(11)，設E為700MPa。

結合張緊器的實際工作情況，對激勵為20～200Hz、間隔為10Hz的19種工況進行了有限元計算和理論計算。圖7為激勵為50Hz時的示功圖對比。由圖可見，兩條示功曲線的形狀非常接近；從示功圖上可以直接讀出兩個最大阻尼力：數學模型計算為2 002.9N，有限元仿真為2 083.3N，相對誤差3.9%；通過數值方法計算出示功圖曲線圍成的面積，即得到液壓張緊器在一個工作周期內消耗的能量——阻尼能。數學模型計算得到的阻尼能為912.03mJ，有限元仿真模型得到的阻尼能為919.64mJ，相對誤差0.75%。

其它各頻率下最大阻尼力和阻尼能結果的對比如圖8和圖9所示。從圖中可以看出，理論計算結果與有限元計算結果趨勢基本一致，激勵頻率為20Hz時阻尼力出現最大峰值誤差4.5%，激勵頻率為200Hz時阻尼能出現最大誤差3.2%。由此可知，理論計算與有限元仿真結果吻合較好，本文中推導的理論模型正確。

4 阻尼能計算結果分析

由圖8還可進一步看出，隨著激勵頻率升高，最大阻尼力增大，但逐漸趨于平緩。而由圖9則可發現，當激勵頻率在20～40Hz之間時，阻尼能隨頻率的增大而增大；當激勵頻率在40～200Hz之間時，阻尼能隨頻率的增大而減小。對于本文中所設定的參數，其阻尼能的峰值頻率出現在40Hz左右。

為了研究阻尼能峰值頻率和設計參數間的關系，計算了不同阻尼縫隙大小和長度時阻尼能隨激勵頻率變化。

僅改變模型中縫隙的長度，發現隨著縫隙長度的增加，阻尼能峰值頻率降低。縫隙長度分別為5、10和20mm時，阻尼能的峰值頻率出現在140、60和30Hz附近，如圖10所示。

僅改變模型中縫隙的大小，發現隨著縫隙的增大，阻尼能峰值頻率升高。縫隙大小分別為0.03、0.035和0.04mm時，阻尼能的峰值頻率出現在40、60和90Hz附近，如圖11所示。

通過上述對比可以看出，最大峰值頻率與設計參數有關，在設計和匹配張緊器時可以通過改變參數得到所期望的峰值頻率。

干摩擦式張緊器的阻尼能基本不隨激勵頻率變化[1]，因此阻尼能可變性也是液壓張緊器相對于干摩擦張緊器的一大優點，可以通過合理設計和匹配，使液壓張緊器在某階共振頻率附近阻尼能達到最大值，獲得最佳減振效果。

5 結論

(1) 建立了考慮油液可壓縮性情況下液壓張緊器高壓腔油壓微分方程和單向閥小球運動微分方程，通過對微分方程數值求解，可以得到液壓張緊器阻尼力示功曲線、阻尼能和最大阻尼力。

(2) 通過與有限元計算的對比，各頻率下阻尼能和最大阻尼力的誤差均在5%以下，表明本文中推導的理論模型正確。

(3) 隨著激勵頻率的增大，阻尼能先增大后減小，這是液壓張緊器相對于干摩擦式張緊器的一大優點，可以通過合理設計和匹配，使液壓張緊器在某階共振頻率附近阻尼能達到最大值，以達到最佳減振效果。

(4) 本文中采用的液壓張緊器阻尼特性理論模型的推導方法具有普遍意義，適用于其它液壓式自動張緊器阻尼特性的分析計算。

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