基于子結構的構件逐步逼近拓撲優化方法研究*

丁曉紅，趙新芳，王海華，徐 峰

(1.上海理工大學，上海 200093； 2.上海延鋒江森座椅有限公司，上海 201315)

前言

結構拓撲優化在工程結構設計的初始階段起著重要的作用，可為設計者提供一個結構布局最優方案的概念性設計。在現階段，國內外對裝配體結構的輕量化設計通常僅開展低層次的尺寸優化[1]，設計自由度有限，設計結果的最優性受到限制。從結構優化設計理論出發，對結構進行全面的輕量化設計必須從基于結構拓撲優化的概念設計開始，再通過結構形狀和尺寸優化的詳細設計，得到最優結構。由于目前結構拓撲優化和形狀優化技術對于復雜裝配體結構開展還存在諸如設計變量多、構件之間結合部接觸定義不準確、優化數學模型不易確定等問題而受到限制，因此結構拓撲優化技術基本上在構件層面上進行。這樣雖然難以得到復雜裝配體的全局最優解，但因算法也比較成熟，若能合理準確地確定構件的邊界條件，可得到裝配體的近似最優解；而且由于設計變量少，還能大大節省計算機時。

由于裝配體結構受力復雜，尤其是構件之間接觸的定義和構件邊界條件的準確確定相當困難。對于靜不定結構系統中的構件拓撲優化來說，由于在優化過程中構件的材料分布變化將導致邊界條件的變化，因此在優化過程中須多次提取結構的邊界條件[2]。本文中基于子結構法，根據力的傳遞路徑，確定構件所受的載荷，保證構件邊界條件的準確性，通過逐步逼近優化，最終得到構件材料分布的拓撲形態。以轎車座椅骨架為典型實例，說明提出方法的有效性。

1 邊界條件的確定

所謂子結構法，是將一個大型的復雜結構劃分為若干個子結構，先分別確定各個子結構的剛度特性，然后再將子結構裝配成整體結構，最后確定整體結構的剛度特性[3-4]。采用子結構分析，可將一個大型問題轉化為若干個小問題，將大型的聯立方程組分解為若干組小型的方程組，從而減小對計算機內存的需求。在算法上，子結構法可以把階數很高的線性方程組的求解問題轉化為一些階數低得多的方程組的求解問題，具有降階凝聚、分階段求解的特點，非常適合對大型復雜結構進行有限元分析[5]。

基于子結構法的邊界條件確定有兩種途徑，一種是提取零部件與外界連接處的載荷；另一種是提取零部件所有單元結點處的位移信息[6]。兩種途徑的本質相同，本文中采用第一種方法，確定構件的邊界條件。首先建立裝配體有限元模型，并通過相關試驗驗證模型的正確性。其次在裝配體模型中選擇相關構件作為子模型，并在裝配體分析時提取子模型上的邊界條件。然后建立子結構模型，子模型必須具備同原始模型中相應的部分有相同的節點編號，而且同原始模型有相同的載荷環境[7]。將在裝配體分析時提取的邊界條件施加到子結構上進行分析運算。最后比較子模型分析時與裝配體分析時的響應指標，驗證子結構模型邊界條件的正確性。具體流程如圖1所示。

2 逐步逼近拓撲優化方法

對于最大剛度結構設計問題，其拓撲優化設計數學模型為

(1)

式中：U為結構應變能；V為結構體積；[V]為設定的體積上限。式(1)的含義是，在滿足結構體積減少量要求的同時，使構件剛度最大。

在拓撲優化過程中，雖然整個結構的外部載荷是不變的，但作為優化對象的構件邊界條件會隨優化過程中材料的重新分布而變化。由于材料分布的變化和構件的體積密切相關，可根據優化對象的體積變化來控制邊界條件的提取次數。具體流程見圖2。

首先建立含有優化對象的子結構裝配體模型，進行有限元分析。將優化對象的子結構分為設計區域和非設計區域，子結構設計區域，是指可進行拓撲優化設計的區域。為了保證優化對象在優化后能重新裝入裝配體中，優化對象與其他構件之間的連接部分應保持不變，因此優化對象的設計區域是除去該構件與其他構件的連接處和施加載荷處的單元區域。設定優化迭代參數εvs、εc和εv。εvs為優化對象設計區域在每一次提取其邊界條件后進行拓撲優化時構件的體積變化限值。εc和εv用于判斷整個優化過程終止與否的參數，當前后兩次迭代的裝配體應變能變化小于εc時，認為裝配體剛度不再變化，優化迭代終止；當構件減少的體積分數達到要求值εv時，也結束優化。其次，提取優化對象子結構的邊界條件。然后，建立優化對象的子結構模型并對優化對象進行拓撲優化，當優化對象的設計區域的體積變化達到要求值時，終止在本次邊界條件下的優化迭代，得到新的構件材料分布。最后，將得到的優化構件代入裝配體，替換原構件進行裝配體結構分析，判斷是否終止優化。如果不滿足迭代終止條件，則重新在裝配體分析模型中提取構件的邊界條件，繼續對優化對象進行拓撲優化；反之，終止整個優化迭代進程，得到最終的優化結構。

3 應用實例

以某型汽車前排座椅骨架的右側板為例，采用HyperWorksOptistruct軟件，進行逐步逼近拓撲優化。

3.1 建立座椅有限元模型

建立座椅有限元模型如圖3所示，在座椅仿真分析時將其簡化為由空間梁單元、殼單元和剛性單元組成的有限元模型。在此座椅模型中，梁單元共14個，殼單元共34 234個，剛性單元共338個。座椅骨架中主要有兩種連接方式：焊接和螺栓連接。用剛性單元將被連接件處于焊縫區域的結點對應相連，用梁單元模擬螺栓連接，在梁單元與孔結點處進行剛性連接。

假設在座椅靠背上橫梁中點沿圖中所示X方向，施加1 000N的集中載荷，座椅下面4個支腳固定。座椅在承受以上載荷作用時，有限元分析結果如圖4所示，應力較大的部位主要集中在調角器與左右側板連接部位、調角器與座盆總成中的左右B板連接部位和調角器總成中。最大應力出現在調角器與左側板連接處，最大值為480.3MPa，而且在加載時座椅最大的位移點為座椅靠背上橫梁上的一點，最大位移量為9.133mm。

3.2 優化迭代

設定優化迭代參數εc、εv和εvs。選擇右側板作為子結構，要求右側板體積減少10%。故εv取10%，經驗算，當設計區體積減少量為5%時，右側板的邊界條件改變不明顯，εvs取5%。

提取子結構的邊界條件后建立右側板子結構模型，將載荷加載到右側板上，對右側板施加慣性釋放并按照式(1)進行拓撲優化。

以右側板設計區域的單元密度作為設計變量，采用最小尺寸約束，以右側板應變能最小作為優化目標。優化方法采用變密度法[8-10]，優化結束后對側板設計區域采用拉普拉斯算法進行柔順和網格重新劃分，重新劃分后的網格由三角形網格組成，如圖5所示，然后將模型導出，用以替換原側板，組裝成整椅并重新分析。

同時，優化后的側板重新進行網格劃分后，可進行快速的有限元分析，驗證重劃分網格后結構的正確性。如圖6所示，第1次優化后的右側板重新劃分網格后再分析的應力云圖與原側板的應力云圖比較。最大應力由466.1MPa減少到463.8MPa，減少了0.5%。

3.3 判斷優化終止與否

經過6次提取邊界條件并對構件拓撲優化后，整椅應變能收斂，迭代終止并退出，優化結束。圖7為整椅應變能和構件體積的變化歷程。由圖可知，在優化迭代過程中，構件的整體應變能變化不大，但體積逐步下降。

優化后的右側板體積減少8.63%，整椅應變能減少0.185%。優化前后右側板的結構變化如圖8所示，優化后，右側板的右邊材料去除，右側板上的孔尺寸變大。

優化前后座椅整體應力情況比較如圖9所示，最大應力由480.3MPa減小到476.7MPa，減少了0.75%，且最大應力位置相同，均在調角器與左側板連接處。圖10為優化前后座椅整體位移情況比較，最大位移由9.133mm減小到9.113mm，減少了0.22%，且最大位移位置相同，均在上橫梁某點處。

4 結論

本文中提出了基于子結構法的構件逐步逼近拓撲優化方法，解決了復雜機械系統中構件邊界條件難以確定和拓撲優化過程中邊界條件隨材料重新分布而變化的問題。以某汽車前排座椅骨架的右側板為例，說明了方法的實施過程，驗證了方法的有效性。該方法對復雜機械系統進行全面優化設計具有一定的指導意義。

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