電動汽車用感應電機的最小二乘支持向量機逆控制*

陳 龍，孫曉東，江浩斌，徐 興，盤朝奉

(江蘇大學汽車工程研究院，鎮江 212013)

前言

電動汽車由于具有高效率、低污染、低噪聲和電力來源廣等突出優點，被認為是緩解能源危機、改善環境污染的一個重要發展方向，受到了許多國家的高度重視[1-2]。感應電機以其高效方便、體積小、調速范圍廣、調速性能好和控制技術成熟等特點，成為電動汽車主要驅動方案之一。

建立在VC維理論和結構風險最小化原理基礎上的支持向量機(support vector machines, SVM)[3]，有效解決了經典機器學習中的局部極小和維數災難等問題，在眾多領域里獲得了成功應用。文獻[4]中提出了一種最小二乘支持向量機(least squares support vector machines, LSSVM)算法，作為標準SVM的一種擴展，在優化指標中采用平方項，用等式約束取代不等式約束，將二次規劃問題轉化為線性方程組的求解問題，因而簡化了計算，使LSSVM在非線性系統的建模與控制中得到較大進展[5-7]。

本文中選擇電動汽車驅動用感應電機作為被控對象，對其數學模型進行可逆性分析。在此基礎上，建立基于LSSVM的感應電機逆模型，并利用改進的粒子群優化(particle swarm optimization, PSO)算法來優化LSSVM的核函數參數和正則化參數。將LSSVM逆模型與原系統相串聯，構成一個復合偽線性系統，再利用已有的線性系統的設計方法來設計反饋控制器進行復合控制。最后在Matlab/Simulink下進行了仿真，結果表明，與傳統的PI控制相比，LSSVM逆控制可使控制系統具有更好的魯棒性和動、靜態性能。

1 感應電機的數學模型與可逆性分析

在d、q兩相旋轉坐標系下，感應電機的狀態方程可用降維的3階非線性模型[8]描述為

(1)

式中：np為極對數；ω1為電氣同步角速度；ωr為轉子電氣角速度；isd、isq分別為d、q軸的定子電流；ψrd、ψrq分別為d、q軸的轉子磁鏈；TL為負載轉矩；J為轉動慣量；Lm為互感；Tr=Lr/Rr為電機轉子時間常數；Lr、Rr分別為轉子電感和電阻。在轉子磁場定向的條件下，有ψr=ψrd，isq=0，這時有

(2)

(3)

代入式(1)，系統狀態方程變為

(4)

為判斷其可逆性，式(4)可改寫為

(5)

y=h(x)=[y1,y2]T=[x1,x2]T=[ωr,ψr]T

(6)

其中狀態變量為x=[x1,x2]T=[ωr,ψr]T，控制變量為u=[u1,u2]T=[ω1,isd]T。計算輸出對時間的導數，直至方程中顯含輸入變量，由式(5)得

(7)

(8)

則Jacobin矩陣為

(9)

(10)

由隱函數存在定理可知，式(5)的逆系統為

u=ξ(y,y(1))

(11)

2 最小二乘支持向量機簡介

LSSVM問題可描述如下，對于給定的含有l個樣本的訓練集(x1,y1),…,(xi,yi),…,(xl,yl)；其中xi∈Rn為輸入樣本矢量，yi∈R，為輸出樣本矢量i=1，2，…,l；l為樣本個數。則在特征空間中LSSVM模型采用如下函數：

f(x)=wTΦ(x)+b

(12)式中：w∈RH為權向量，b∈R為偏移量，非線性映射函數Φ∶Rn→RH將輸入空間映射至高維Hilbert空間。

LSSVM定義優化問題為

(13)

(14)

其中α=(α1,α2,α3,…,αl)T為Lagrange乘子。

根據KKT最優條件，可得

(15)

計算后消去ξi和w，則優化問題可轉化為求解下列線性方程組問題。

(16)

其中：y=[y1,y2,…,yl]T，1l×1=[1,1,…,1]T，I=diag[1,1,…,1]，Ω={Ωij}l×l，Ωij=ΦT(xi)·Φ(xj)，i=1，2，…,l。

定義核函數K(xi,x)=ΦT(xi)·Φ(x)，K(xi,x)為滿足Mercer條件的對稱函數。本文中核函數選取如下徑向基函數：

K(xi,x)=exp(-|xi-x|2/2σ2)

(17)

式中σ為核寬度。則LSSVM回歸的決策函數為

(18)

為了使LSSVM有最好的性能，須對LSSVM的正則化參數γ和核函數參數σ進行優化。

3 用改進的PSO算法優化LSSVM模型參數

3.1 改進的PSO算法

PSO算法是一種基于群體和適配概念群的優化算法[9]。該算法的最優解包含個體最優解和全局最優解兩部分。其中，個體最優解是指每個粒子本身在迭代過程中所找到的最優解；而全局最優解是指當前粒子群中的最優粒子。粒子群中的每個粒子通過追隨個體最優解和全局最優解進行搜索。

假設在D維空間中有m個粒子組成了一個群體，第i個粒子的初始位置和速度可表示為：ui=[ui1,ui2,…,uid]和vi=[vi1,vi2,…,vid]，個體最優解和全局最優解分別為：pi=[pi1,pi2,…,pid]和pg=[pg1,pg2,…,pgd]，i=1,2,…,m，d=1,2,…,D。粒子群中的所有粒子根據式(19)和式(20)來更新速度和位置。

vi(k+1)=wvi(k)+c1r1(pi(k)-ui(k))+

c2r2(pg(k)-ui(k))

(19)

ui(k+1)=ui(k)+vi(k)

(20)

式中：c1和c2為學習因子；r1和r2為(0,1)間隨機數；w為慣性權重，在進化初期，取w為一個較大的值wmax，以提高算法的全局搜索能力，然后在進化過程中逐步減少，直至最大迭代次數nmax時，w為最小值wmin，w的數學迭代公式為

(21)

式中n為當前迭代次數。

為了解決學習因子和最大速度等參數過大而導致算法的不收斂問題，文獻[10]中引入了收斂因子η，該方法能保證搜索過程收斂，因此本文中采用該改進的PSO算法，則式(19)變為

vi(k+1)=η[wvi(k)+c1r1(pi(k)-ui(k))+

c2r2(pg(k)-ui(k))]

(22)

其中：

(23)

3.2 LSSVM模型評估指標

針對LSSVM需要優化的正則化參數γ和核函數參數σ，建立樣本的均方差eRMSE作為LSSVM的性能評估指標，并將eRMSE作為改進的PSO算法的目標函數：

(24)

當LSSVM的eRMSE較小時，對應的正則化參數γ和核函數參數σ即為優化的參數。

3.3 優化步驟

(1) 獲取訓練樣本和測試樣本，并將樣本進行歸一化處理。

(2) 設置粒子群初始化參數：m=60，d=2，nmax=500，c1=c2=2.05，wmax=0.9，wmin=0.4。

(3) 在定義的D維空間隨機產生m個粒子，設置每個粒子的個體最優解為pi=ui(i=1,2,…,m)，隨機產生的初始速度為vi(i=1,2,…,m)。

(4) 評價各個粒子的適應度，將式(24)所表示的LSSVM性能評估指標(即樣本均方差)定義為粒子的適應度函數，即

f(u)=f(γ,σ)=eRMSE

(25)

(5) 對于每個粒子，比較當前的適應度函數f(ui)和歷史最好位置的適應度函數f(pi)，若f(ui)

(6) 根據式(20)和式(22)更新粒子的位置和速度，產生新的種群，注意速度按如下規則調整：

(26)

(7) 判斷結束條件。判斷nmax≥500或者f(u)=f(γ,σ)=eRMSE<10-3是否成立，若滿足條件，則尋優結束，否則n=n+1，并跳轉至步驟(4)。

4 LSSVM逆控制方法的實現

由于LSSVM可逼近任意的一類非線性函數，只要原系統是可逆的，便可用LSSVM來辨識其逆模型。根據LSSVM辨識原理和逆系統控制方法[11]，可得到LSSVM逆控制方法完整的實現步驟。

首先，確定激勵信號為常數迭加隨機信號作為系統的速度輸入給定，使原系統充分激勵，以獲得原系統的動靜態特性。LSSVM學習原系統的逆模型時，不但要取得原系統動態時的數據，而且要取得系統靜態時的數據，這樣才能得到完整的逆模型。因此輸入給定的選擇應覆蓋感應電機的整個工作區域，保證系統獲得足夠豐富的訓練數據。此外采樣的準確度直接影響系統辨識的結果，從而影響控制的效果，在測量過程中，由于現場存在各種隨機的噪聲干擾，以及測量器件本身的誤差，測量值與真實值存在一定誤差，因此對采樣數據進行了二階濾波。應特別指出的是，須對速度給定信號的變化周期進行適當的選擇，以避免出現實際系統來不及跟蹤給定信號，而始終處于動態過程的情況。各種給定信號的變化周期取10s，保證了采樣的響應數據包含了系統的動靜態信息，速度的采樣周期為0.1s，得到約4 000個采樣數據。

其次，采用高階數值微分方法離線求出速度輸出響應的一階導數，然后等間隔地抽取出d=1 000組構成訓練樣本集{xi，ui}(i=1，2，…，d)，其中，x=[y(1)，y]=[ωr(1)，ωr]為LSSVM學習的輸入數據，u=ω1為LSSVM學習逆系統的期望輸出。

再次，由獲取的訓練樣本，根據3.3節所述方法優化LSSVM的正歸化參數γ和核寬度σ，優化后的參數為γ=950，σ=2.6，并且LSSVM的性能評估指標eRMSE為3.421×10-3。通過LSSVM的學習，獲得相應的輸入向量系數αi和閾值b，根據當前的輸入x，可以辨識出逆模型的輸出為

(27)

將求得的基于LSSVM的逆系統串聯在原系統之前，就構成了一階偽線性復合系統，該復合系統實現了原系統的輸入輸出線性化，如圖1所示。

(28)

5 仿真研究

5.1 所建逆模型的預測效果比較

仿真研究中的感應電機參數為：額定功率Pe=5kW，定子電阻Rs=5.35Ω，轉子電阻Rr=4.85Ω，定子電感Ls=0.41H，轉子電感Lr=0.46H，互感Lm=0.47H，轉動慣量J=0.018kg·m2，額定負載為16N·m，額定角速度ωN=160rad/s。

從樣本數據另外集中選取1 000組數據作為測試數據，用作對所建系統的逆模型的預測性能分析。為了衡量預測模型的性能，定義以下幾個性能指標：

預測均方根誤差(εRMSE)

(29)

最大絕對誤差(εMAXE)

(30)

為了比較所建逆模型的有效性，分別采用BP神經網絡、經典SVM和經過改進PSO算法優化的LSSVM建立電動汽車用感應電機系統的逆模型，對所選的1 000組測試數據的預測均方根誤差(εRMSE)、最大絕對誤差(εMAXE)和CPU運行時間進行了對比，結果如表1所示。

表1 所建逆模型的預測效果比較

BP神經網絡模型采用2-7-1的3層網絡結構，隱含層和輸出層神經元均采用如下Tansig函數：

(31)

經典SVM的核函數采用徑向基函數。

由表1可見，用改進PSO算法優化的LSSVM方法建立的逆模型，其預測精度優于BP神經網絡和經典SVM所建的逆模型，不僅有效避免了BP神經網絡建模過程中存在的過學習、局部極小與維數災難等問題，而且很好地解決了經典SVM對于大容量樣本的計算復雜和計算速度緩慢等問題。

5.2 LSSVM逆控制結果分析

為驗證本文所提控制策略的有效性，與傳統單純PI控制方法進行了比較。圖3為系統跟蹤方波給定信號的速度跟蹤響應曲線；圖4為系統跟蹤三角波給定信號的速度響應曲線。從圖3和圖4中可看出，采用本文中的控制策略時，系統的動靜態特性好，跟蹤效果理想，跟蹤精度高。

為進一步驗證本文中所提控制策略的抗干擾能力，在100s時對系統突然變載，負載由12N·m突變到16N·m。傳統PI控制和LSSVM逆控制下系統的轉矩和角速度響應曲線見圖5和圖6。由圖5和圖6可知，采用傳統PI控制方法，當負載轉矩變化時，電磁轉矩雖能在較短時間達到汽車行駛時所要求的穩定狀態，但是轉矩波動較大，且負載突變對角速度有明顯的下降；而采用LSSVM逆控制方法時，轉矩波動較小，特別是負載突變對角速度幾乎沒有影響，說明LSSVM逆控制具有更好的魯棒性。

6 結論

針對傳統逆控制方法中逆模型難以建立的問題，提出了使用LSSVM求取逆模型的方法，并采用改進的PSO算法優化LSSVM的性能參數，對電動汽車驅動用感應電機這一非線性、快速多變的復雜對象，運用LSSVM逆方法進行了控制研究，并取得了滿意的控制效果。仿真結果表明，系統具有優良的動、靜態控制性能，并具有良好的魯棒性。

參考文獻

[1]ChanCC.TheStateoftheArtofElectric,Hybrid,andFuelCellVehicles[J].ProceedingsoftheIEEE,2007,95(4):704-718.

[2] 莊幸,姜克雋.我國純電動汽車發展路線圖的研究[J].汽車工程,2012,34(2):91-97.

[3]VapnikV.StatisticalLearningTheory[M].NewYork:WileySpringer,1998.

[4]SuykensJAK,VandewalleJ.LeastSquaresSupportVectorMachineClassifiers[J].NeuralProcessingLetter,1999,9(3):293-300.

[5]MiranianA,AbdollahzadeM.DevelopingaLocalLeast-squaresSupportVectorMachines-basedNeuro-fuzzyModelforNonlinearandChaoticTimeSeriesPrediction[J].IEEETransactionsonNeuralNetworksandLearningSystems,2013,24(2):207-218.

[6]HacibT,LeBihanY,SmailMK,etal.MicrowaveCharacterizationUsingRidgePolynomialNeuralNetworksandLeast-SquareSupportVectorMachines[J].IEEETransactionsonMagnetics,2011,47(5):990-993.

[7]YuLA,ChenHH,WangSY,etal.EvolvingLeastSquaresSupportVectorMachinesforStockMarketTrendMining[J].IEEETransactionsonEvolutionaryComputation,2009,13(1):87-102.

[8] 陳伯時.電力拖動自動控制系統[M].北京:機械工業出版社,2006.

[9]KennedyJ,EberhartRC.ParticleSwarmOptimization[C].ProceedingsofInternationalConferenceonNeuralNetworks.NewYork:IEEE,1995:1942-1948.

[10]ClercM.TheSwarmandtheQueen:TowardsDeterministicandAdaptiveParticleSwarmOptimization[C].ProceedingsoftheCongressonEvolutionaryComputation,Washington,USA,1999:1951-1957.

[11] 李春文,馮元琨.多變量非線性控制的逆系統方法[M].北京:清華大學出版社,1991.