三角函數(shù)中的最值問題

許鶴翎++++李俊元

三角函數(shù)式的最值問題是函數(shù)最值的重要組成部分，也是歷屆高考的熱點之一.三角函數(shù)的最值問題不僅與三角自身的所有基礎知識密切相關，而且與代數(shù)中的二次函數(shù)、一元二次方程、不等式及某些幾何知識的聯(lián)系也很密切.因此，三角函數(shù)的最值問題的求解，往往要綜合應用多方面的知識.

三角函數(shù)的最值問題的類型很多，其常見類型有以下幾種.

一、形如y=a+bsinx（或cosx，x∈R）的最值

方法：利用正、余弦函數(shù)的有界性解決.

例1：求y=+cos4x的最值.

解：y=+cos4x

∴當cos4x=1即x=（k∈z）時，有y=1；

當cos4x=-1即x=+（k∈z）時，有y=.

二、形如y=asinx+bcosx（一次齊次）的最值

方法：用輔助角公式y(tǒng)=sin（x+θ）化為形如y=a+bsinx來解決.

例2：求函數(shù)y=sinx+cosx+2的最大值和最小值.

解：∵y=sinx+cosx+2=sin（x+）+2

∴當sin（x+）=1即x=2kπ+（k∈z）時，有y=3；

當sin（x+）=-1即x=2kπ-（k∈z）時，有y=1.

三、形如y=asinx+bsinxcosx+ccosx（二次齊次）的最值

方法：①形式為次數(shù)相同角相同，次數(shù)不同角不同；

②二次的用二倍角公式降冪；

③用輔助角公式化為形如y=a+bsinx來解決；

③若含有常數(shù)項，方法同上.

例3：求函數(shù)y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最小值、最大值.

解：∵y=sinx+2sinxcosx+3cosx

=sin2x+2cosx+1

=sin2x+cos2x+2

=sin（2x+）+2

∴當sin（2x+）=-1時，有y=2-.

當sin（2x+）=1時，有y=2+.

四、形如y=asinx+bsinx+c（x∈z）的最值

方法：①形式為次數(shù)相同角度不同或次數(shù)不同而角度相同.

②借助于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域解決.

例4：如果|x|≤，求函數(shù)f（x）=cosx+sinx的最大值、最小值.

解：f（x）=cosx+sinx=-sinx+sinx+1=-（sinx-）+

設sinx=t得y=-（t-）+

由題設|x|≤，

∴-≤sinx≤，∴-≤t≤.

因為f（x）在[-，]是增函數(shù)，在[，]上是減函數(shù)，

∴當x=-時，f（x）=；

當x=時，f（x）=.

變式1：求函數(shù)y=cos2x-cosx+2的最小值；

變式2：求函數(shù)y=cosx-2acosx-a的最大值；

變式3：sinx+cosx+a=0有實數(shù)解，求a的取值范圍.

五、形如求y=x+或y=sinx-cosx+sinxcosx的最值

方法：用三角代換求某些代數(shù)函數(shù)的最值.

例5：求函數(shù)y=x+的最大值、最小值.

解：∵x∈R

∴可設x=sinθ（-≤θ≤）

則有y=sinθ+|cosθ|

∵-≤θ≤

∴cosθ≥0

∴y=sinθ+cosθ=sin（θ+）

∵-≤θ≤

∴-≤θ≤≤π

∴-1≤sin（θ+）≤

當θ=-，即x=-1，y=-1；

當θ=-，即x=，y=.

例6：求y=sinx-cos+sinx+cosx的最大值和最小值.

解：設t=sinx-cosx=sin（x-），則-≤t≤，且兩邊平方可得sinxcos=.

所以y=t+=-（t-1）+1，

故當t=1時，y=1；

當t=-時，y=--.endprint

三角函數(shù)式的最值問題是函數(shù)最值的重要組成部分，也是歷屆高考的熱點之一.三角函數(shù)的最值問題不僅與三角自身的所有基礎知識密切相關，而且與代數(shù)中的二次函數(shù)、一元二次方程、不等式及某些幾何知識的聯(lián)系也很密切.因此，三角函數(shù)的最值問題的求解，往往要綜合應用多方面的知識.

三角函數(shù)的最值問題的類型很多，其常見類型有以下幾種.

一、形如y=a+bsinx（或cosx，x∈R）的最值

方法：利用正、余弦函數(shù)的有界性解決.

例1：求y=+cos4x的最值.

解：y=+cos4x

∴當cos4x=1即x=（k∈z）時，有y=1；

當cos4x=-1即x=+（k∈z）時，有y=.

二、形如y=asinx+bcosx（一次齊次）的最值

方法：用輔助角公式y(tǒng)=sin（x+θ）化為形如y=a+bsinx來解決.

例2：求函數(shù)y=sinx+cosx+2的最大值和最小值.

解：∵y=sinx+cosx+2=sin（x+）+2

∴當sin（x+）=1即x=2kπ+（k∈z）時，有y=3；

當sin（x+）=-1即x=2kπ-（k∈z）時，有y=1.

三、形如y=asinx+bsinxcosx+ccosx（二次齊次）的最值

方法：①形式為次數(shù)相同角相同，次數(shù)不同角不同；

②二次的用二倍角公式降冪；

③用輔助角公式化為形如y=a+bsinx來解決；

③若含有常數(shù)項，方法同上.

例3：求函數(shù)y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最小值、最大值.

解：∵y=sinx+2sinxcosx+3cosx

=sin2x+2cosx+1

=sin2x+cos2x+2

=sin（2x+）+2

∴當sin（2x+）=-1時，有y=2-.

當sin（2x+）=1時，有y=2+.

四、形如y=asinx+bsinx+c（x∈z）的最值

方法：①形式為次數(shù)相同角度不同或次數(shù)不同而角度相同.

②借助于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域解決.

例4：如果|x|≤，求函數(shù)f（x）=cosx+sinx的最大值、最小值.

解：f（x）=cosx+sinx=-sinx+sinx+1=-（sinx-）+

設sinx=t得y=-（t-）+

由題設|x|≤，

∴-≤sinx≤，∴-≤t≤.

因為f（x）在[-，]是增函數(shù)，在[，]上是減函數(shù)，

∴當x=-時，f（x）=；

當x=時，f（x）=.

變式1：求函數(shù)y=cos2x-cosx+2的最小值；

變式2：求函數(shù)y=cosx-2acosx-a的最大值；

變式3：sinx+cosx+a=0有實數(shù)解，求a的取值范圍.

五、形如求y=x+或y=sinx-cosx+sinxcosx的最值

方法：用三角代換求某些代數(shù)函數(shù)的最值.

例5：求函數(shù)y=x+的最大值、最小值.

解：∵x∈R

∴可設x=sinθ（-≤θ≤）

則有y=sinθ+|cosθ|

∵-≤θ≤

∴cosθ≥0

∴y=sinθ+cosθ=sin（θ+）

∵-≤θ≤

∴-≤θ≤≤π

∴-1≤sin（θ+）≤

當θ=-，即x=-1，y=-1；

當θ=-，即x=，y=.

例6：求y=sinx-cos+sinx+cosx的最大值和最小值.

解：設t=sinx-cosx=sin（x-），則-≤t≤，且兩邊平方可得sinxcos=.

所以y=t+=-（t-1）+1，

故當t=1時，y=1；

當t=-時，y=--.endprint

三角函數(shù)式的最值問題是函數(shù)最值的重要組成部分，也是歷屆高考的熱點之一.三角函數(shù)的最值問題不僅與三角自身的所有基礎知識密切相關，而且與代數(shù)中的二次函數(shù)、一元二次方程、不等式及某些幾何知識的聯(lián)系也很密切.因此，三角函數(shù)的最值問題的求解，往往要綜合應用多方面的知識.

三角函數(shù)的最值問題的類型很多，其常見類型有以下幾種.

一、形如y=a+bsinx（或cosx，x∈R）的最值

方法：利用正、余弦函數(shù)的有界性解決.

例1：求y=+cos4x的最值.

解：y=+cos4x

∴當cos4x=1即x=（k∈z）時，有y=1；

當cos4x=-1即x=+（k∈z）時，有y=.

二、形如y=asinx+bcosx（一次齊次）的最值

方法：用輔助角公式y(tǒng)=sin（x+θ）化為形如y=a+bsinx來解決.

例2：求函數(shù)y=sinx+cosx+2的最大值和最小值.

解：∵y=sinx+cosx+2=sin（x+）+2

∴當sin（x+）=1即x=2kπ+（k∈z）時，有y=3；

當sin（x+）=-1即x=2kπ-（k∈z）時，有y=1.

三、形如y=asinx+bsinxcosx+ccosx（二次齊次）的最值

方法：①形式為次數(shù)相同角相同，次數(shù)不同角不同；

②二次的用二倍角公式降冪；

③用輔助角公式化為形如y=a+bsinx來解決；

③若含有常數(shù)項，方法同上.

例3：求函數(shù)y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最小值、最大值.

解：∵y=sinx+2sinxcosx+3cosx

=sin2x+2cosx+1

=sin2x+cos2x+2

=sin（2x+）+2

∴當sin（2x+）=-1時，有y=2-.

當sin（2x+）=1時，有y=2+.

四、形如y=asinx+bsinx+c（x∈z）的最值

方法：①形式為次數(shù)相同角度不同或次數(shù)不同而角度相同.

②借助于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域解決.

例4：如果|x|≤，求函數(shù)f（x）=cosx+sinx的最大值、最小值.

解：f（x）=cosx+sinx=-sinx+sinx+1=-（sinx-）+

設sinx=t得y=-（t-）+

由題設|x|≤，

∴-≤sinx≤，∴-≤t≤.

因為f（x）在[-，]是增函數(shù)，在[，]上是減函數(shù)，

∴當x=-時，f（x）=；

當x=時，f（x）=.

變式1：求函數(shù)y=cos2x-cosx+2的最小值；

變式2：求函數(shù)y=cosx-2acosx-a的最大值；

變式3：sinx+cosx+a=0有實數(shù)解，求a的取值范圍.

五、形如求y=x+或y=sinx-cosx+sinxcosx的最值

方法：用三角代換求某些代數(shù)函數(shù)的最值.

例5：求函數(shù)y=x+的最大值、最小值.

解：∵x∈R

∴可設x=sinθ（-≤θ≤）

則有y=sinθ+|cosθ|

∵-≤θ≤

∴cosθ≥0

∴y=sinθ+cosθ=sin（θ+）

∵-≤θ≤

∴-≤θ≤≤π

∴-1≤sin（θ+）≤

當θ=-，即x=-1，y=-1；

當θ=-，即x=，y=.

例6：求y=sinx-cos+sinx+cosx的最大值和最小值.

解：設t=sinx-cosx=sin（x-），則-≤t≤，且兩邊平方可得sinxcos=.

所以y=t+=-（t-1）+1，

故當t=1時，y=1；

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