淺談中考數學復習中的思維訓練

劉雪峰

摘 要： 中考復習關鍵在于精選巧編例題，強化聚合、發散和逆向等思維訓練，把單向輸入的信息變成綜合輸入信息，向外擴散和延展，在復習中培養學生的能力.

關鍵詞： 中考數學復習 聚合思維訓練 發散思維訓練 逆向思維訓練

在中考數學復習中，存在一種看法，認為題型見得越多題目做得越多越好.在這種觀點的支撐下，“題海戰術”成了最佳的選擇.于是，老師廣羅習題，家長緊隨其后.做完了“匯編”做“經典”，做完“經典”還有“精選”.這就苦了學生.要說“題海戰術”無任何價值也是不客觀的，否則，它也流行不起來.問題的關鍵在于，它的價值是以犧牲學生、老師有限的復習時間的巨大代價換來的.如果在時間非常寶貴的中考復習階段，各門功課都采取“題海戰術”，形成“惡性競爭”，那么勢必會干擾正常的復習.這種事倍功半的做法，其最終結果常常事與愿違.

我從事初中數學教學十幾個年頭，根據多年的教學實踐和探索，并大膽進行了一定的嘗試，形成了自己的教學特色.

我認為中考復習，尤其是數學復習，應該引導學生對所學知識進行系統性的歸納和升華，把書本由“厚”變“簿”，并用已有的知識解決新問題，進一步加深對概念、定理、規律等的理解，弄清各部分知識間的內在聯系，熟練掌握數學解題技能，從而達到發展學生思維、開發智力、培養能力的目的.完成這一任務的重要環節，是在引導學生對知識進行歸納的基礎上，精選巧編例題，強化聚合、發散和逆向等思維訓練，把單向輸入的信息變成綜合輸出信息，向外擴散和延展，把培養學生的能力寓于復習之中.具體做法，我分三步走。

一、圍繞知識的系統化，進行聚合思維訓練.

聚合思維是將輸入的多種信息匯成一種信息輸出，也就是把概念、公式、原理等眾多信息重新組合成一個有序的系統，使學生掌握知識的一般規律，學會思維方法，使思維規范化、知識系統化.在這一過程中，引導學生將分散學習的知識、思想方法等基本元素納入體系，使其結構化，從而真正了解它們在整個初中數學中的地位和作用.進行聚合思維訓練的主要方法有：

（一）理清知識的脈絡.例如在復習《特殊的平行四邊形》，這一節課的關鍵就在于理清平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系：

歸納時，特別要讓學生知道矩形的特殊性：四個角是直角和對角線相等；菱形的特殊性：四條邊相等和對角線互相垂直，這樣對這幾種特殊的平行四邊形之間的關系就很清楚了.

（二）歸納解題的思路.初三數學復習時，要經常給學生歸納解題的思路.中考綜合題中，很多類型與面積有關，面積類型可以分為兩大類型——靜態型和動態型.

所謂靜，就是在題設條件下，圖形及其性質已基本確定，只要尋求各已知條件的內在聯系，就能找到解決這類題的線索.例如：

拋物線y=-x+2（m-1）x+m+1與x軸交于A、B兩點，且A在x軸的正半軸上，B在x軸的負半軸上，OA的長為a，OB的長為b.

（1）求m的求值范圍.

（2）設a：b=3：1，求出m的值，并寫出此時的拋物線的解析式.

（3）設（2）中的拋物線與y軸交于點C，拋物線頂點是M，問拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積等于△BCM的面積？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.（1999南京中考題，有改動）

略解：（1）m的取值范圍為m>-1.

（2）m=2，拋物線的解析式為y=-x+2x+3

（3）如圖，易求A（3，0），B（-1，0），C（0，3），頂點（1，4），直線BM的解析式為：y=2x+2.故直線BM與y軸交于N（0，2）.S=S+S=1.設P點坐標（x，y），S=S，可求得P點坐標為：

簡評：面積相等（根據等底同高的性質），x軸上下的拋物線上各有兩個點，由于拋物線已定，故P點有四解.由上例可以看到：假如面積關系是靜止的、固定的，那么我們就能通過面積公式、幾何圖形、同底不同高等關系找出潛在的內在的聯系，得到相應的條件與等式，從而解決此類問題.

所謂動，就是在題設條件下，圖形給我們一種動感，而結論則要求在變化過程中給予確定.例如：已知一三角形紙片ABC，面積為25，BC邊長為10，∠B與∠C為銳角，點M為AB邊上的一個動點（M與點A，B不重合），過點M作MN∥BC，交AC于點N，設MN=x，

（1）用x的代數式表示△AMN的面積S，

（2）將△AMN沿MN折疊，使△AMN緊貼四邊形BCMN（邊AM、AN落在四邊形BCMN所在的平面內），設點A落在平面BCMN內的點A′，△A′MN與四邊形BCMN重疊部分的面積為y，①試求出y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍，②當x為何值時，重疊部分y的面積最大，最大值為多少？

略解：（1）S=x ；

（2）①當0

②當5

簡評：當點、線段、圖形運動時，要分清運動的方向、速度，是否與其他的圖形重疊、重合，時刻分清內在的聯系.

（三）巧設例題，講練結合.通過講練例題，反饋信息，對存在的問題作點撥，由學生提出解題思路并總結、歸納解題技巧，這樣，有利于培養學生聚合思維和思維的條理性、深刻性.如：

解方程：-+2=0（2007蘇州市中考）

方法一：去分母（x+2）-3x（x+2）+2x=0

去括號、整理得x=2

經檢驗x=2是原方程的解.

方法二：用換元法設=y①，則原方程化為：y-3y+2=0，

解這個方程得y1=1，y2=2，分別代入①可得x=2，

經檢驗x=2是原方程的解.

在訓練這道題時，體現了聚合思維的效果.我在引導學生分析解答過程中，常常沖破單一角度思考的框框，用多種方法顯示出發散思維的功能.在聚合與發散的這種矛盾運動中，學生思維的深刻性與靈活性隨之獲得發展，使所學知識系統化.在此基礎上，再進行發散思維的訓練也就水到渠成了.

二、為使知識縱深化，進行發散思維訓練.

發散思維是將輸入的一中信息變成多種信息輸出.即對單一的信息，沿著不同角度和方向思考，并依據規律、概念和梯形等產生多種想法，廣開思路，提出新的假設、新的構思，發現和解決實際問題，培養學生的創造精神，使解題方法更富新意.一題多解，一題多變，一法多用等都是很好的形式，已被教學實踐證明，對溝通和深化知識，引起發散思維，效果顯著.例如：

如圖，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分線交于點D，DE∥AC交BC于點E，DF∥BC交AC于點F.

求證：四邊形DECF為菱形.

方法一：由DE∥AC，DF∥BC易得四邊形DECF是平行四邊形，故只要證一組鄰邊相等，過點D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分別為G、H.再證△DGF≌△DHE即可.這種方法學生容易想到，三角形全等是證一組線段相等最常見的辦法.

方法二：連接CD.由∠CAB、∠ABC的平分線交于點D可知點D是△ABC的內心，所以CD也平分∠ABC，這樣很容易證得EC=ED.

通過這種形式的訓練，在復習中強化發散思維，這樣有利于知識結構的建立和認識上的飛躍，擴展學生的復習時間、學習空間和獨立深化知識的自由度，為提高學生的能力創造了條件.在訓練一題多解、一題多變、一法多用時，會很順利地涉及逆向思維的問題，真正的逆向思維訓練也是不可或缺的.

三、追求知識的靈活化，進行逆向思維訓練.

逆向思維又稱反向思維，是善于從不同的立場、角度、層次、側面思考問題，執果索因，使思維序列方向從反方向開始.當思維過程中出現障礙時，能迅速轉移到另一思路上，從而找到解決問題的方法，并能將輸入的單一信息轉化成一系列綜合信息輻射出來.這樣，就有利于防止學生理解僵化，思維定勢，有利于拓展學生的解題思路，使所學的知識靈活化，提高解題能力.如：若化簡|1-x|-|x-4|的結果為2x-5，求x的取值范圍.

分析：原式=|1-x|-|x-4|

根據題意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5

從絕對值概念的反方向考慮，推出其條件是：

1-x≤0，且x-4≤0.

∴x的取值范圍是：1≤x≤4

由此可見，強化逆向思維訓練，有利于培養學生思維的靈活性、廣闊性和深刻性等，有利于克服由定向思維所造成的解題方法刻板和僵化.

在中考數學復習中進行思維訓練，不可能一朝一夕就取得顯著的效果.在進入復習階段前，我都要制訂較詳細的計劃，有系統、有重點地進行思維訓練.經過努力，我所教的班級在重點中學實驗班招生中和中考中取得了令人滿意的成績.2005屆我所任教的兩個班級有15人考取了重點中學的實驗班（全昆山市共招200人），2008屆我所任教的兩個班級有20人考取了重點中學的實驗班.難能可貴的是，學生普遍反映，我布置的作業量相對不多，沒有“題海戰”的煩惱，而知識、能力卻不比其他平行的班級弱.這些成績，應該歸功于我在思維訓練方面所做的探討和嘗試.endprint

在訓練這道題時，體現了聚合思維的效果.我在引導學生分析解答過程中，常常沖破單一角度思考的框框，用多種方法顯示出發散思維的功能.在聚合與發散的這種矛盾運動中，學生思維的深刻性與靈活性隨之獲得發展，使所學知識系統化.在此基礎上，再進行發散思維的訓練也就水到渠成了.

二、為使知識縱深化，進行發散思維訓練.

發散思維是將輸入的一中信息變成多種信息輸出.即對單一的信息，沿著不同角度和方向思考，并依據規律、概念和梯形等產生多種想法，廣開思路，提出新的假設、新的構思，發現和解決實際問題，培養學生的創造精神，使解題方法更富新意.一題多解，一題多變，一法多用等都是很好的形式，已被教學實踐證明，對溝通和深化知識，引起發散思維，效果顯著.例如：

如圖，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分線交于點D，DE∥AC交BC于點E，DF∥BC交AC于點F.

求證：四邊形DECF為菱形.

方法一：由DE∥AC，DF∥BC易得四邊形DECF是平行四邊形，故只要證一組鄰邊相等，過點D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分別為G、H.再證△DGF≌△DHE即可.這種方法學生容易想到，三角形全等是證一組線段相等最常見的辦法.

方法二：連接CD.由∠CAB、∠ABC的平分線交于點D可知點D是△ABC的內心，所以CD也平分∠ABC，這樣很容易證得EC=ED.

通過這種形式的訓練，在復習中強化發散思維，這樣有利于知識結構的建立和認識上的飛躍，擴展學生的復習時間、學習空間和獨立深化知識的自由度，為提高學生的能力創造了條件.在訓練一題多解、一題多變、一法多用時，會很順利地涉及逆向思維的問題，真正的逆向思維訓練也是不可或缺的.

三、追求知識的靈活化，進行逆向思維訓練.

逆向思維又稱反向思維，是善于從不同的立場、角度、層次、側面思考問題，執果索因，使思維序列方向從反方向開始.當思維過程中出現障礙時，能迅速轉移到另一思路上，從而找到解決問題的方法，并能將輸入的單一信息轉化成一系列綜合信息輻射出來.這樣，就有利于防止學生理解僵化，思維定勢，有利于拓展學生的解題思路，使所學的知識靈活化，提高解題能力.如：若化簡|1-x|-|x-4|的結果為2x-5，求x的取值范圍.

分析：原式=|1-x|-|x-4|

根據題意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5

從絕對值概念的反方向考慮，推出其條件是：

1-x≤0，且x-4≤0.

∴x的取值范圍是：1≤x≤4

由此可見，強化逆向思維訓練，有利于培養學生思維的靈活性、廣闊性和深刻性等，有利于克服由定向思維所造成的解題方法刻板和僵化.

在中考數學復習中進行思維訓練，不可能一朝一夕就取得顯著的效果.在進入復習階段前，我都要制訂較詳細的計劃，有系統、有重點地進行思維訓練.經過努力，我所教的班級在重點中學實驗班招生中和中考中取得了令人滿意的成績.2005屆我所任教的兩個班級有15人考取了重點中學的實驗班（全昆山市共招200人），2008屆我所任教的兩個班級有20人考取了重點中學的實驗班.難能可貴的是，學生普遍反映，我布置的作業量相對不多，沒有“題海戰”的煩惱，而知識、能力卻不比其他平行的班級弱.這些成績，應該歸功于我在思維訓練方面所做的探討和嘗試.endprint

在訓練這道題時，體現了聚合思維的效果.我在引導學生分析解答過程中，常常沖破單一角度思考的框框，用多種方法顯示出發散思維的功能.在聚合與發散的這種矛盾運動中，學生思維的深刻性與靈活性隨之獲得發展，使所學知識系統化.在此基礎上，再進行發散思維的訓練也就水到渠成了.

二、為使知識縱深化，進行發散思維訓練.

發散思維是將輸入的一中信息變成多種信息輸出.即對單一的信息，沿著不同角度和方向思考，并依據規律、概念和梯形等產生多種想法，廣開思路，提出新的假設、新的構思，發現和解決實際問題，培養學生的創造精神，使解題方法更富新意.一題多解，一題多變，一法多用等都是很好的形式，已被教學實踐證明，對溝通和深化知識，引起發散思維，效果顯著.例如：

如圖，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分線交于點D，DE∥AC交BC于點E，DF∥BC交AC于點F.

求證：四邊形DECF為菱形.

方法一：由DE∥AC，DF∥BC易得四邊形DECF是平行四邊形，故只要證一組鄰邊相等，過點D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分別為G、H.再證△DGF≌△DHE即可.這種方法學生容易想到，三角形全等是證一組線段相等最常見的辦法.

方法二：連接CD.由∠CAB、∠ABC的平分線交于點D可知點D是△ABC的內心，所以CD也平分∠ABC，這樣很容易證得EC=ED.

通過這種形式的訓練，在復習中強化發散思維，這樣有利于知識結構的建立和認識上的飛躍，擴展學生的復習時間、學習空間和獨立深化知識的自由度，為提高學生的能力創造了條件.在訓練一題多解、一題多變、一法多用時，會很順利地涉及逆向思維的問題，真正的逆向思維訓練也是不可或缺的.

三、追求知識的靈活化，進行逆向思維訓練.

逆向思維又稱反向思維，是善于從不同的立場、角度、層次、側面思考問題，執果索因，使思維序列方向從反方向開始.當思維過程中出現障礙時，能迅速轉移到另一思路上，從而找到解決問題的方法，并能將輸入的單一信息轉化成一系列綜合信息輻射出來.這樣，就有利于防止學生理解僵化，思維定勢，有利于拓展學生的解題思路，使所學的知識靈活化，提高解題能力.如：若化簡|1-x|-|x-4|的結果為2x-5，求x的取值范圍.

分析：原式=|1-x|-|x-4|

根據題意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5

從絕對值概念的反方向考慮，推出其條件是：

1-x≤0，且x-4≤0.

∴x的取值范圍是：1≤x≤4

由此可見，強化逆向思維訓練，有利于培養學生思維的靈活性、廣闊性和深刻性等，有利于克服由定向思維所造成的解題方法刻板和僵化.

在中考數學復習中進行思維訓練，不可能一朝一夕就取得顯著的效果.在進入復習階段前，我都要制訂較詳細的計劃，有系統、有重點地進行思維訓練.經過努力，我所教的班級在重點中學實驗班招生中和中考中取得了令人滿意的成績.2005屆我所任教的兩個班級有15人考取了重點中學的實驗班（全昆山市共招200人），2008屆我所任教的兩個班級有20人考取了重點中學的實驗班.難能可貴的是，學生普遍反映，我布置的作業量相對不多，沒有“題海戰”的煩惱，而知識、能力卻不比其他平行的班級弱.這些成績，應該歸功于我在思維訓練方面所做的探討和嘗試.endprint