“四基”理念下圖形模型應用策略的實踐探索

王麗兵

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）的課程基本理念之一就是要“使學生理解和掌握基本的數學知識與技能，體會和運用數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗”，這也就是我們所說的“四基”。前東北師范大學校長、著名數學教育研究專家史寧中教授認為 ：“基本的數學思想有三個：分別是抽象、推理和模型?！币虼耍鳛橐豁椫匾乃季S品質，模型思想已經得到了廣泛的認可和尊重。但由于當前部分教師存在以簡潔抽象為追求目標的模型觀，容易導致數學模型被“過早”“過快” 地抽象化，從而造成課堂價值追求的盲目性和數學模型的單一性。本文正是基于上述原因的考慮，開展對圖形模型應用的研究，以期進一步豐富教師對于模型及其思想的認識。

那么，什么是圖形模型呢？筆者認為，圖形模型其實質是以圖形結構的方式描述數量之間的關系及同類事物的共同屬性，它是分析問題、解決問題及其他思維能力培養的重要載體，也是數學模型的重要表現形式之一。因此，圖形模型在兒童數學能力培養方面具有重要的地位。筆者認為，作為落實“四基”的重要手段和途徑，圖形模型的應用需要在以下幾方面著重加以落實。

一、以數學問題為核心，操作體驗為重點

在教學中，教師應該有意識地讓問題成為學生感知和思維的對象，從而在學生心里造成一種懸而未決但又必須解決的求知狀態，進而為圖形模型應用奠定良好的心理需求基礎。同時，由于思維習慣的不同，即使面對相同的問題也會因個體思維差異而形成多元的思維結果，這就使課堂生成了諸多可以利用的模型資源，同時建構模型的過程也會強化學生對問題的分析體驗。

【案例1】人教版教材四年級下“方陣問題”的教學片段

師（出示上圖）：圍棋盤的最外層每邊能放19枚棋子。（停頓，引導學生觀察）如果現在要你求“最外層一共可以擺多少枚”，你知道怎么求嗎？

生：19×4=76。

師：你是用計算周長的方法計算，這樣的方法對嗎？

生：不對！沒那么簡單！有幾顆是重復算了。

師：那么究竟誰更有道理？大家能不能用自己的方法解決這個問題？（能）

師出示操作要求：

學生操作完成后，反饋交流。

師：你們認為最外層一共有幾枚棋子？

生（眾）：72枚。

師：都是72枚嗎？（是）

師：你們是用什么方法知道一共有72枚的？能用圖形的方式介紹給大家嗎？

教師指名多名學生到黑板上來畫，并整體比較。

師：這么多方法，你看懂了哪一種？它們之間相同或者不同在什么地方？

學生四人小組討論后反饋。

生：我看懂了第一種19×4-4=72，因為每邊19枚，有4枚重復算了，所以要減4。

師：你們能看懂減去的是哪4枚？（生在圖上指）

師：第二種方法中重復的棋子在哪里呢？

生：第二種沒有重復，把每條邊當成19-1=18枚來算，就有4×18=72。

生：第三種列式為19×2+17×2=72。

師：請問17是從哪里來的？

生：每邊19枚，減掉兩端的兩枚，中間剩下來的就是17枚。

生：第四種列式為17×4+4=72。

師：前面算式都要減去4，為什么這種方法最后要加上4？

生：因為這4枚是漏算的，所以最后要再加上。

師：通過圖形想算式，的確是非常好的學習方法！那如果反過來，老師只給你算式，你也能相應地畫出圖形嗎？它們又會是怎樣的一幅圖呢？

師出示： （3-1）×4 3×4-4

生獨立操作后，投影反饋。

（3-1）×4 3×4-4

師小結：看來我們剛才用畫圖的方法不僅解決了問題，而且發現很多類似的問題也能用這樣的方式去解決。

歸納：（每邊個數-1）×4=總個數，每邊個數×4-4=總個數。

從上述教學過程來看，顯然“棋盤最外層一周一共有多少枚棋子”成了課堂研究的核心。也正是這樣一個看似簡單卻又相對易錯的問題，較為成功地激發起了學生解決問題的愿望，為圖形模型的應用引入找到了很好的切入點。隨后，筆者以“用盡可能多的方法來解決問題”引導學生思考方法的多樣性，同時也通過“挑一種最滿意的方法簡單畫一畫”為圖形模型種類的豐富性創造了可能。從效果來看，學生所設計生成的圖形模型種類豐富、形式多樣，且都較為直觀地展示了各邊棋子與總數之間的關系。雖然“每條邊19枚棋子”的條件具有特殊性，但“粗獷”的圖形模型卻在功能上表現出了較大的一般性，進而擴大了圖形模型應用的價值和范圍。因此，一個具有適度挑戰性的問題應該是一類問題的縮影，這也是兒童圖形模型應用能力培養的一個重要先決條件。

另外，除了研究的問題以外，充分的操作體驗活動也是圖形模型應用意識培養必不可或缺的環節，它也是圖形模型信息內化的一個過程。相對于“（每邊個數-1）×4=總個數”、“每邊個數×4-4=總個數”等數學模型來說，經過充分活動體驗而形成的圖形思維模型，憑借其直觀的表象更容易被大腦所存儲和提取。所以，開展有層次的操作體驗活動，不僅能夠使學生進一步積累解決問題的經驗，也能使圖形模型的表象更加凸顯。

二、以圖形表達為方式，展示解讀為方法

圖形模型是以圖形為表達語言的模型形式。從某種角度來說，圖形模型就是以幾何直觀的方式描述數量關系和數學內在規律，其實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，將抽象思維和形象思維結合起來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用，實現數學語言與具體表象間的聯系和轉化。顯然，上述化難為易的理念比較符合小學階段兒童形象思維為主的特點。

另外，圖形模型應用能力的發展有其自身的發展規律，它往往滲透在數學課程的各個領域，并不是某個領域單獨的任務職責。這說明教師需要樹立一個長期培養的意識，并不斷挖掘和創造能夠有利于兒童模型思想形成和發展的學習素材，著重落實模型的建構和解讀，發展學生的模型思想。endprint

【案例2】人教版教材四年級下“植樹問題”教學片段

師：數學學習離不開圖形和符號，老師用這樣一條線段（見下圖）來表示一條長20米的小路，大家覺得可以嗎？（生眾：可以）

20米

師：如果我們要在這條路上種樹，并要求盡可能做到美觀的話，大家覺得至少需要考慮哪些因素呢？

生：間隔。

師：也就是兩棵樹之間的距離。（板書：間隔）

師出示補充信息：“在路的一邊，每隔5米種一棵?！?/p>

師：結合你初步的設計構想，能具體說一說可以在上面種幾棵樹？

師隨機采訪：你認為可以種幾棵？還有其他可能嗎？

生：5棵。

生：4棵。

生：3棵。

師：是不是都有可能呢？能不能把你所想到的方案，在作業紙上畫下來？

學生自主畫方案設計圖，集體展示反饋。

師（指名生畫一畫）：把你的種樹方案用最簡單的線條畫出來。

師：為什么同樣長的路，同樣是間隔5米種一棵，為什么棵數會不一樣呢？

生：種法不一樣，棵數也不一樣。

師：究竟有什么地方不同呢？

師生命名：兩端都種、只種一端、兩端都不種。

師：雖然種法不同，但在哪些方面又是相同的呢？

生：間隔數長度和數量，小路的總長度都是20米。

師：那如果是在長200米、2000米的小路上種樹，棵數又會怎樣變化呢？

在教學中可以發現，教師把教學著力點落在了對于不同種樹方案的圖形描述和解讀上，而并沒有重點關注計算結果本身。一方面通過這樣的思考，幫助學生積累解決問題的經驗；另一方面，也可以通過簡單的圖形描述感受圖形模型在具體解決問題過程中的意義和價值。“” 上述圖形雖然形式簡單，但依托對于兩個端點的準確區分，形象地展示了三種不同的思維模型。同時，通過對于“長20米的小路”思維模型的解讀和強化，使學生對長200米、2000米小路也產生類推聯想，從而感悟這種模型所具有的獨特代表性。因此，通過對整組不同類型圖形模型的觀察和推理，為有效解決植樹類問題找到了很好的突破口。

《標準》指出：“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展?！边@一觀點也就正視了當前教學主體差異性的存在。因此，在對學生進行圖形模型應用能力培養的過程中，教師應該允許學生對圖形模型的分析和信息解讀存在個性化差異，并把這種差異當成有效的課堂生成資源加以應用和分析。

三、以建構模型為導向，能力培養為目標

通過數學建模的過程可以使學生多方面的能力得到培養，因此，在教學中教師要注意落實對模型思想的追求。模型思想蘊含在數學建模過程當中，執教者只有不斷加以引導和挖掘，才有可能幫助學生實現由量的積累到質的飛躍。

【案例3】人教版教材六年級下“正比例的意義”的教學片段

高度/厘米 2 4 6 8 10 12

體積/立方厘米 50 100

師：只知道高度，怎么求出體積呢？請同學們完成表格。

師：體積和高度的變化有什么規律？

師：底面積真的一定嗎？你能否舉例說說？

生：====……=25。

師生小結：看來，圓柱的底面積一定，也就是相對應的水的體積和高度的比值一定，=圓柱的底面積（一定）。

師：如果用下面的圖象表示體積與高度的變化規律，你能發現什么？

生：所描的點在同一條直線上。

師：不計算，根據圖像判斷，如果杯中水的高度是7厘米，那么水的體積是多少？225 立方厘米水有多高？14厘米高的時候，水的體積有多少呢？

在對正比例圖象的觀察中，學生已經強烈地感受到這個圖象變化的規律，并通過對于縱軸和橫軸的觀察與比較以及7厘米、14厘米時水體積的判斷，強化了對圖形模型的解讀和應用，這也是函數思想的初步滲透。因為《標準》也指出：“認識到現實生活中蘊含著大量與數量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數學問題，用數學的方法予以解決。在整個數學教育的過程中都應該培養學生的應用意識。”由于“模型思想本身就滲透于各課程內容領域之中，而突出模型思想則有利于更好地理解、掌握所學習的內容。因此，上述以數學模型建構為指向的課堂教學，必然能夠給學生帶來更多思維發展的空間和可能。

總之，教師要落實《標準》所提出的“四基”基本理念，培養學生的創新意識和實踐能力，就必須樹立長期培養的意識，并通過各種途徑對學生有效滲透數學基本思想的培養，促進學生思維品質的發展。但同時教師也要清醒地認識到，雖然圖形模型以直觀、形象為主要特點，但抽象化仍然是它未來發展的主要趨勢。因此，教師要準確把握各個學段的階段性發展目標，既不能操之過急，也不能停滯不前，只有遵循學生思維發展的規律，有效地選擇應用圖形模型教學，才可能使數學建模過程充滿活力，最終實現課堂教學最大的收益。

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【案例2】人教版教材四年級下“植樹問題”教學片段

師：數學學習離不開圖形和符號，老師用這樣一條線段（見下圖）來表示一條長20米的小路，大家覺得可以嗎？（生眾：可以）

20米

師：如果我們要在這條路上種樹，并要求盡可能做到美觀的話，大家覺得至少需要考慮哪些因素呢？

生：間隔。

師：也就是兩棵樹之間的距離。（板書：間隔）

師出示補充信息：“在路的一邊，每隔5米種一棵。”

師：結合你初步的設計構想，能具體說一說可以在上面種幾棵樹？

師隨機采訪：你認為可以種幾棵？還有其他可能嗎？

生：5棵。

生：4棵。

生：3棵。

師：是不是都有可能呢？能不能把你所想到的方案，在作業紙上畫下來？

學生自主畫方案設計圖，集體展示反饋。

師（指名生畫一畫）：把你的種樹方案用最簡單的線條畫出來。

師：為什么同樣長的路，同樣是間隔5米種一棵，為什么棵數會不一樣呢？

生：種法不一樣，棵數也不一樣。

師：究竟有什么地方不同呢？

師生命名：兩端都種、只種一端、兩端都不種。

師：雖然種法不同，但在哪些方面又是相同的呢？

生：間隔數長度和數量，小路的總長度都是20米。

師：那如果是在長200米、2000米的小路上種樹，棵數又會怎樣變化呢？

在教學中可以發現，教師把教學著力點落在了對于不同種樹方案的圖形描述和解讀上，而并沒有重點關注計算結果本身。一方面通過這樣的思考，幫助學生積累解決問題的經驗；另一方面，也可以通過簡單的圖形描述感受圖形模型在具體解決問題過程中的意義和價值。“” 上述圖形雖然形式簡單，但依托對于兩個端點的準確區分，形象地展示了三種不同的思維模型。同時，通過對于“長20米的小路”思維模型的解讀和強化，使學生對長200米、2000米小路也產生類推聯想，從而感悟這種模型所具有的獨特代表性。因此，通過對整組不同類型圖形模型的觀察和推理，為有效解決植樹類問題找到了很好的突破口。

《標準》指出：“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展。”這一觀點也就正視了當前教學主體差異性的存在。因此，在對學生進行圖形模型應用能力培養的過程中，教師應該允許學生對圖形模型的分析和信息解讀存在個性化差異，并把這種差異當成有效的課堂生成資源加以應用和分析。

三、以建構模型為導向，能力培養為目標

通過數學建模的過程可以使學生多方面的能力得到培養，因此，在教學中教師要注意落實對模型思想的追求。模型思想蘊含在數學建模過程當中，執教者只有不斷加以引導和挖掘，才有可能幫助學生實現由量的積累到質的飛躍。

【案例3】人教版教材六年級下“正比例的意義”的教學片段

高度/厘米 2 4 6 8 10 12

體積/立方厘米 50 100

師：只知道高度，怎么求出體積呢？請同學們完成表格。

師：體積和高度的變化有什么規律？

師：底面積真的一定嗎？你能否舉例說說？

生：====……=25。

師生小結：看來，圓柱的底面積一定，也就是相對應的水的體積和高度的比值一定，=圓柱的底面積（一定）。

師：如果用下面的圖象表示體積與高度的變化規律，你能發現什么？

生：所描的點在同一條直線上。

師：不計算，根據圖像判斷，如果杯中水的高度是7厘米，那么水的體積是多少？225 立方厘米水有多高？14厘米高的時候，水的體積有多少呢？

在對正比例圖象的觀察中，學生已經強烈地感受到這個圖象變化的規律，并通過對于縱軸和橫軸的觀察與比較以及7厘米、14厘米時水體積的判斷，強化了對圖形模型的解讀和應用，這也是函數思想的初步滲透。因為《標準》也指出：“認識到現實生活中蘊含著大量與數量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數學問題，用數學的方法予以解決。在整個數學教育的過程中都應該培養學生的應用意識。”由于“模型思想本身就滲透于各課程內容領域之中，而突出模型思想則有利于更好地理解、掌握所學習的內容。因此，上述以數學模型建構為指向的課堂教學，必然能夠給學生帶來更多思維發展的空間和可能。

總之，教師要落實《標準》所提出的“四基”基本理念，培養學生的創新意識和實踐能力，就必須樹立長期培養的意識，并通過各種途徑對學生有效滲透數學基本思想的培養，促進學生思維品質的發展。但同時教師也要清醒地認識到，雖然圖形模型以直觀、形象為主要特點，但抽象化仍然是它未來發展的主要趨勢。因此，教師要準確把握各個學段的階段性發展目標，既不能操之過急，也不能停滯不前，只有遵循學生思維發展的規律，有效地選擇應用圖形模型教學，才可能使數學建模過程充滿活力，最終實現課堂教學最大的收益。

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【案例2】人教版教材四年級下“植樹問題”教學片段

師：數學學習離不開圖形和符號，老師用這樣一條線段（見下圖）來表示一條長20米的小路，大家覺得可以嗎？（生眾：可以）

20米

師：如果我們要在這條路上種樹，并要求盡可能做到美觀的話，大家覺得至少需要考慮哪些因素呢？

生：間隔。

師：也就是兩棵樹之間的距離。（板書：間隔）

師出示補充信息：“在路的一邊，每隔5米種一棵。”

師：結合你初步的設計構想，能具體說一說可以在上面種幾棵樹？

師隨機采訪：你認為可以種幾棵？還有其他可能嗎？

生：5棵。

生：4棵。

生：3棵。

師：是不是都有可能呢？能不能把你所想到的方案，在作業紙上畫下來？

學生自主畫方案設計圖，集體展示反饋。

師（指名生畫一畫）：把你的種樹方案用最簡單的線條畫出來。

師：為什么同樣長的路，同樣是間隔5米種一棵，為什么棵數會不一樣呢？

生：種法不一樣，棵數也不一樣。

師：究竟有什么地方不同呢？

師生命名：兩端都種、只種一端、兩端都不種。

師：雖然種法不同，但在哪些方面又是相同的呢？

生：間隔數長度和數量，小路的總長度都是20米。

師：那如果是在長200米、2000米的小路上種樹，棵數又會怎樣變化呢？

在教學中可以發現，教師把教學著力點落在了對于不同種樹方案的圖形描述和解讀上，而并沒有重點關注計算結果本身。一方面通過這樣的思考，幫助學生積累解決問題的經驗；另一方面，也可以通過簡單的圖形描述感受圖形模型在具體解決問題過程中的意義和價值?！啊?上述圖形雖然形式簡單，但依托對于兩個端點的準確區分，形象地展示了三種不同的思維模型。同時，通過對于“長20米的小路”思維模型的解讀和強化，使學生對長200米、2000米小路也產生類推聯想，從而感悟這種模型所具有的獨特代表性。因此，通過對整組不同類型圖形模型的觀察和推理，為有效解決植樹類問題找到了很好的突破口。

《標準》指出：“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展。”這一觀點也就正視了當前教學主體差異性的存在。因此，在對學生進行圖形模型應用能力培養的過程中，教師應該允許學生對圖形模型的分析和信息解讀存在個性化差異，并把這種差異當成有效的課堂生成資源加以應用和分析。

三、以建構模型為導向，能力培養為目標

通過數學建模的過程可以使學生多方面的能力得到培養，因此，在教學中教師要注意落實對模型思想的追求。模型思想蘊含在數學建模過程當中，執教者只有不斷加以引導和挖掘，才有可能幫助學生實現由量的積累到質的飛躍。

【案例3】人教版教材六年級下“正比例的意義”的教學片段

高度/厘米 2 4 6 8 10 12

體積/立方厘米 50 100

師：只知道高度，怎么求出體積呢？請同學們完成表格。

師：體積和高度的變化有什么規律？

師：底面積真的一定嗎？你能否舉例說說？

生：====……=25。

師生小結：看來，圓柱的底面積一定，也就是相對應的水的體積和高度的比值一定，=圓柱的底面積（一定）。

師：如果用下面的圖象表示體積與高度的變化規律，你能發現什么？

生：所描的點在同一條直線上。

師：不計算，根據圖像判斷，如果杯中水的高度是7厘米，那么水的體積是多少？225 立方厘米水有多高？14厘米高的時候，水的體積有多少呢？

在對正比例圖象的觀察中，學生已經強烈地感受到這個圖象變化的規律，并通過對于縱軸和橫軸的觀察與比較以及7厘米、14厘米時水體積的判斷，強化了對圖形模型的解讀和應用，這也是函數思想的初步滲透。因為《標準》也指出：“認識到現實生活中蘊含著大量與數量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數學問題，用數學的方法予以解決。在整個數學教育的過程中都應該培養學生的應用意識。”由于“模型思想本身就滲透于各課程內容領域之中，而突出模型思想則有利于更好地理解、掌握所學習的內容。因此，上述以數學模型建構為指向的課堂教學，必然能夠給學生帶來更多思維發展的空間和可能。

總之，教師要落實《標準》所提出的“四基”基本理念，培養學生的創新意識和實踐能力，就必須樹立長期培養的意識，并通過各種途徑對學生有效滲透數學基本思想的培養，促進學生思維品質的發展。但同時教師也要清醒地認識到，雖然圖形模型以直觀、形象為主要特點，但抽象化仍然是它未來發展的主要趨勢。因此，教師要準確把握各個學段的階段性發展目標，既不能操之過急，也不能停滯不前，只有遵循學生思維發展的規律，有效地選擇應用圖形模型教學，才可能使數學建模過程充滿活力，最終實現課堂教學最大的收益。

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