數學認知結構的形態及其運作方式

顧志能

現代學習理論表明，學習過程是認知結構形成、變化和完善的過程。在影響學習的諸多因素中，認知結構是決定學習成效的一個關鍵和直接因素。基于這樣的理論，要開展數學教學的研究，就需要對數學認知結構有正確的認識和全面的把握。

李士锜教授對此開展了研究，他提出，數學認知結構在形式上可以看作是由節點和連線組成的復雜的網絡。節點就是結構中的元素或對象，它表示數學對象（如概念、性質等）在心理上的表示形態，即數學對象的心理表象。連線則是元素間存在的穩定的聯系，它是認識理解問題的入口，是回憶知識的線索，又是指明節點“地址”的“指針”。 數學認知結構最基本的形式有三種：線性結構、樹形結構和網絡結構（如圖1）。

圖1

這樣的觀點，較為形象地展現了數學認知結構的組成形式，也在一定程度上刻畫了數學認知結構的運行機制，這為深入研究數學認知結構提供了有益的啟示。

然而，盡管李士锜教授對數學認知結構給出了如此形象的解讀，但他卻又和大多數研究者持有相同的觀點，即“心理結構或認知結構只能看作是心理現象、思維形態的一種假設。這個結構不能被肉眼看到，目前也很少有可能真實地全面地描繪出來”。

這就是對數學認知結構的研究一直以來都面臨的障礙——不能描繪并呈現出數學認知結構。但顯然，這樣的觀點讓人疑惑——倘若我們不知道數學認知結構具體的形態，我們又憑什么去討論數學認知結構這個概念呢？而“學習的過程就是學生原有認知結構改變或完善的過程”的共識，我們又怎樣去認識并研究它呢？

基于上述原因，筆者想在學習相關研究的基礎上，結合自己的教學實踐和思考，嘗試著對數學認知結構的具體形態作一描繪，并簡要分析其運作的基本形式。

一、數學認知結構的形態

首先，筆者也傾向于用網絡圖的形式來表達數學認知結構。之所以如此，是因為筆者覺得，既然“數學認知結構是學習者頭腦中的數學知識結構”，那么，它就應當是以數學知識為基礎“材料”，以學習者個性心理特征為“黏合劑”，從無至有、從簡單到復雜，逐步搭建起來的一個“建筑物”。而我們所教學的數學知識，其結構有鮮明的層次性和邏輯性，具有網絡狀的結構，這就會導致我們在搭建“建筑物”時，不可避免地會以這個網絡狀結構為基本框架，然后去逐步擴展并建構。那么，如此建立出來的數學認知結構，自然也就會具有網絡狀的結構，即可以用網絡圖的形式來表達。

下面，筆者就以“三角形”為例，試著描繪某個學生在學習三角形這個單元后，他頭腦中具有的關于三角形的認知結構。

圖2

圖2中的A、B兩個圓角矩形，分別表示三角形和平行四邊形兩個知識點，這樣的點，我們暫且稱之為基點?；c是認知結構中組成數學結構的主要知識點。在基點的周圍，散布著很多個橢圓，這些橢圓中的內容，我們不妨稱之為附點。附點與基點緊密相關，主要反映的是基點的屬性、特征，或學習者的學習經歷、情感等。如圖2中，三角形的附點有“概念”“畫高”“穩定性”“三邊關系”“擺小棒”等很多個。如把這些附點進一步分類，我們就會發現它們可分為指向于知識、技能、思想、經驗、情感等不同的方面。如“概念”“三邊關系”等就屬于知識范疇，“畫高”“拼組”則體現出技能的特性，“分類”帶有一定的數學思想內涵，“擺小棒”“拼內角”等，較多地反映了學生的活動經驗，“有趣”“很麻煩”則是學生學習情感的展示?；c和附點之間，或附點與附點之間，都有一些連接線，這些連接線，我們姑且稱之為通道。通道反映了點和點之間存在著內在的聯系，這個聯系事實上就是學生頭腦中對數學知識組織方式的體現。

這樣，一個網絡狀的關于三角形數學認知結構圖就呈現出來了（虛線左側部分）。這個網絡圖與數學知識結構圖的最大區別——它并非僅是三角形知識點的羅列，而是包含著學生對三角形相關內容的理解、感受、經驗、情感等各種成分，并且是經由學生的心理重組后而得到的結構圖。

從這個結構圖中我們還可以看到，三角形的附點“內角和”“拉得動拉不動”“拼組”“沿高剪拼”，都與平行四邊形（虛線右側部分）有一定的聯系，如“由三角形內角和180°”可聯想至“平行四邊形內角和360°”。于是，三角形的數學認知結構就通過這樣的附點以及通道，搭建到了（或者聯系上了）平行四邊形的數學認知結構，數學的認知結構由此可得到擴張。

可以想見，平行四邊形認知結構也是一個像三角形那樣的復雜系統，而與三角形、平行四邊形有關的數學內容還有很多，這些內容都各自會擁有類似這樣的系統。這很多個復雜的系統，最后就與三角形、平行四邊形一起匯成了一個更加龐大、更加錯綜復雜的大網絡。然而，這個大網絡，主要涉及的還僅僅是幾何領域。那么，數學的其他領域的內容呢？也都可組成各種各樣的網絡。最終，這些不同的網絡，卻又通過內在的微妙的聯系，交織在一起，形成了一個更龐大的網絡——關于數學的認知結構網。

這樣的網絡，僅規模而言，就已經復雜到幾乎讓人難以全面地描述了。帶給人更大的挑戰是，在這個網絡中，除卻展現數學知識的基點和部分附點尚可分析外，那些體現學生個體的認知狀況、心理特征的附點及相關通道，我們又怎么可能全部知悉，怎么可能準確地建構它們呢？站在這樣的角度來想象，一個人的數學認知結構的確“很少有可能真實地全面地描繪出來”——實在太復雜了。

二、數學認知結構的運作方式

研究表明，數學學習的過程是新的學習內容與學生原有的數學認知結構相互作用，形成新的數學認知結構的過程。其中的“相互作用”，主要形式就是我們常說的“同化”和“順應”。下面擬結合實例，以這個過程中數學認知結構運作形式的角度對同化和順應作具體詮釋。

（一）連接舊基點，建立新通道，認知結構自然地擴張——同化

學生在學習新的數學內容時，教師往往會以待解決的問題形式刺激他們，此時，學生就會從腦中已有的數學認知結構中去搜尋可用的資源（即結構圖中的有關基點及附點，主要是基點）。倘若，這些基點能對待解決的問題作出解釋或處理，那么，新的數學內容就與原有的基點建立起了有意義的聯系，解決問題的有效通道（可能是多條）就得以形成，問題得以解決。這就是同化的過程，即把新的數學內容納入到了原有認知結構中，原有認知結構得到自然擴張的過程。endprint

以“小數加減法”為例，在學習這個內容前，學生已有的認知結構中，有“小數的初步認識”“小數的意義”“整數加減法”等相關知識，對小數可用元、角、分直觀理解或用計數單位抽象理解，對整數加減法的法則也非常清晰。此時，新的問題呈現：“水費6.54元，電費20.8元，兩項費用一共多少元？”面對6.54+20.8要進行豎式計算，有學生調用了基點1（元、角、分的知識）實現對位并進行解釋，有學生調用了基點2（小數意義中計數單位的知識）實現了更理性的操作，也有學生從基點3（整數加減法的法則）遷移過來，三條通道就此建立。在進一步地探究分析之后，小數加減法又和整數加減法實現了溝通，歸并到了共同的原理上（相同計數單位的數才可相加減），由此，兩個基點又被一個新的內涵串聯在了一起（如圖3）。這個過程，就是新知與舊基點連接，各種通道新建的過程，這事實上就是知識同化的過程。經過這樣的過程，學生原有認知結構自然擴張，認知水平也隨之提升。

圖3

這個例子，還給我們帶來了啟示——復習鋪墊、自主探究都是有利于同化進行的有效策略。新課前的復習鋪墊，能使得原有認知結構中的基點、附點進一步清晰和穩定，成為新知學習、構建通道時強有力的固著點，如上例中對原結構中三個基點的復習就可起到這樣的作用。而學生的自主探究，則是學生充分運用自己的能力，對已有結構進行分析和辨別，找尋新舊知識間的通道并提升認知水平的過程，如上例中各個通道的建立。所以，這兩種方式都是學生自主建構知識的有效方式。

（二）斷開原通道，改組舊網絡，認知結構主動地調整——順應

當新知不能被原有認知結構同化時，我們就需要重新審視原有認知結構，剖析結構中的瑕疵乃至錯誤，并對它進行調整，以適應新的學習內容的需要。從理論上分析，這種瑕疵或者錯誤，主要是因為原結構中點與點之間的連接通道存在問題，導致新的數學信息進入時，與原有結構發生矛盾，即產生認知沖突。

以“平行四邊形面積”的學習為例，之前，學生受“長方形面積等于長乘寬”和“平行四邊形易拉動可變形為長方形”等已有認知的影響，頭腦中已建立了如下的結構圖（圖4虛線以下部分），并誤以為平行四邊形也可像長方形那樣，相鄰的兩條邊相乘就可得到面積。

圖4

剖析這個認知結構，我們不難發現，問題產生的根源就是通道①和②的建立。假設沒有這兩個通道，平行四邊形通過拉動化歸為長方形進而求面積的錯誤思路就不會產生（即通道③和通道④的形成）。

但是，也正是基于這個錯誤的結構，學生才產生了“平行四邊形拉動不斷變形而面積怎么會不變”的認知沖突，于是，學習進入了反思分析階段。在這個階段，學生依托觀察、討論、交流、比較、動手等豐富的學習方式，找到了問題的癥結：拉動平行四邊形，周長不變，但面積要變化。進一步地，就會發現要實現面積不變的化歸，應該斷開通道②，然后重新建立附點“可割補成長方形”，以基點“平行四邊形”連接它，并再連接“長方形面積等于長乘寬”（虛線以上部分）。如此，一輪對認知結構的調整和改造就完成了，新的結構建立，問題得以解決，這個過程就可看作是順應的過程。

這種現象，體現在學生的學習中，那就是他們遇到了學習的難點。這也給我們的教學帶來啟示——遇到教學難點，我們可有意地制造并放大認知沖突，然后將問題拋還給學生。學生應對的過程，就是他們發現問題、分析問題、解決問題的過程，就是他們調動經驗、深刻內省、激揚思維的過程。而正是在這樣的過程中，學生的認知結構進一步完善，認知能力進一步發展。

當然，數學的學習并非只有同化和順應兩種形式，同化和順應也不是機械地獨立存在于學習的過程中，因此，認知結構的運作也絕不可能如上文所述的兩種情況那樣簡單。人的思維是復雜的，對人的思維的分析永遠跟不上人的思維的實際狀況，但是，就在這樣的分析中，我們卻有可能得到進步，教學卻有可能得到發展。這，也許就是教學研究的意義！

（浙江省海鹽縣實驗小學教育集團 314300）endprint

以“小數加減法”為例，在學習這個內容前，學生已有的認知結構中，有“小數的初步認識”“小數的意義”“整數加減法”等相關知識，對小數可用元、角、分直觀理解或用計數單位抽象理解，對整數加減法的法則也非常清晰。此時，新的問題呈現：“水費6.54元，電費20.8元，兩項費用一共多少元？”面對6.54+20.8要進行豎式計算，有學生調用了基點1（元、角、分的知識）實現對位并進行解釋，有學生調用了基點2（小數意義中計數單位的知識）實現了更理性的操作，也有學生從基點3（整數加減法的法則）遷移過來，三條通道就此建立。在進一步地探究分析之后，小數加減法又和整數加減法實現了溝通，歸并到了共同的原理上（相同計數單位的數才可相加減），由此，兩個基點又被一個新的內涵串聯在了一起（如圖3）。這個過程，就是新知與舊基點連接，各種通道新建的過程，這事實上就是知識同化的過程。經過這樣的過程，學生原有認知結構自然擴張，認知水平也隨之提升。

圖3

這個例子，還給我們帶來了啟示——復習鋪墊、自主探究都是有利于同化進行的有效策略。新課前的復習鋪墊，能使得原有認知結構中的基點、附點進一步清晰和穩定，成為新知學習、構建通道時強有力的固著點，如上例中對原結構中三個基點的復習就可起到這樣的作用。而學生的自主探究，則是學生充分運用自己的能力，對已有結構進行分析和辨別，找尋新舊知識間的通道并提升認知水平的過程，如上例中各個通道的建立。所以，這兩種方式都是學生自主建構知識的有效方式。

（二）斷開原通道，改組舊網絡，認知結構主動地調整——順應

當新知不能被原有認知結構同化時，我們就需要重新審視原有認知結構，剖析結構中的瑕疵乃至錯誤，并對它進行調整，以適應新的學習內容的需要。從理論上分析，這種瑕疵或者錯誤，主要是因為原結構中點與點之間的連接通道存在問題，導致新的數學信息進入時，與原有結構發生矛盾，即產生認知沖突。

以“平行四邊形面積”的學習為例，之前，學生受“長方形面積等于長乘寬”和“平行四邊形易拉動可變形為長方形”等已有認知的影響，頭腦中已建立了如下的結構圖（圖4虛線以下部分），并誤以為平行四邊形也可像長方形那樣，相鄰的兩條邊相乘就可得到面積。

圖4

剖析這個認知結構，我們不難發現，問題產生的根源就是通道①和②的建立。假設沒有這兩個通道，平行四邊形通過拉動化歸為長方形進而求面積的錯誤思路就不會產生（即通道③和通道④的形成）。

但是，也正是基于這個錯誤的結構，學生才產生了“平行四邊形拉動不斷變形而面積怎么會不變”的認知沖突，于是，學習進入了反思分析階段。在這個階段，學生依托觀察、討論、交流、比較、動手等豐富的學習方式，找到了問題的癥結：拉動平行四邊形，周長不變，但面積要變化。進一步地，就會發現要實現面積不變的化歸，應該斷開通道②，然后重新建立附點“可割補成長方形”，以基點“平行四邊形”連接它，并再連接“長方形面積等于長乘寬”（虛線以上部分）。如此，一輪對認知結構的調整和改造就完成了，新的結構建立，問題得以解決，這個過程就可看作是順應的過程。

這種現象，體現在學生的學習中，那就是他們遇到了學習的難點。這也給我們的教學帶來啟示——遇到教學難點，我們可有意地制造并放大認知沖突，然后將問題拋還給學生。學生應對的過程，就是他們發現問題、分析問題、解決問題的過程，就是他們調動經驗、深刻內省、激揚思維的過程。而正是在這樣的過程中，學生的認知結構進一步完善，認知能力進一步發展。

當然，數學的學習并非只有同化和順應兩種形式，同化和順應也不是機械地獨立存在于學習的過程中，因此，認知結構的運作也絕不可能如上文所述的兩種情況那樣簡單。人的思維是復雜的，對人的思維的分析永遠跟不上人的思維的實際狀況，但是，就在這樣的分析中，我們卻有可能得到進步，教學卻有可能得到發展。這，也許就是教學研究的意義！

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以“小數加減法”為例，在學習這個內容前，學生已有的認知結構中，有“小數的初步認識”“小數的意義”“整數加減法”等相關知識，對小數可用元、角、分直觀理解或用計數單位抽象理解，對整數加減法的法則也非常清晰。此時，新的問題呈現：“水費6.54元，電費20.8元，兩項費用一共多少元？”面對6.54+20.8要進行豎式計算，有學生調用了基點1（元、角、分的知識）實現對位并進行解釋，有學生調用了基點2（小數意義中計數單位的知識）實現了更理性的操作，也有學生從基點3（整數加減法的法則）遷移過來，三條通道就此建立。在進一步地探究分析之后，小數加減法又和整數加減法實現了溝通，歸并到了共同的原理上（相同計數單位的數才可相加減），由此，兩個基點又被一個新的內涵串聯在了一起（如圖3）。這個過程，就是新知與舊基點連接，各種通道新建的過程，這事實上就是知識同化的過程。經過這樣的過程，學生原有認知結構自然擴張，認知水平也隨之提升。

圖3

這個例子，還給我們帶來了啟示——復習鋪墊、自主探究都是有利于同化進行的有效策略。新課前的復習鋪墊，能使得原有認知結構中的基點、附點進一步清晰和穩定，成為新知學習、構建通道時強有力的固著點，如上例中對原結構中三個基點的復習就可起到這樣的作用。而學生的自主探究，則是學生充分運用自己的能力，對已有結構進行分析和辨別，找尋新舊知識間的通道并提升認知水平的過程，如上例中各個通道的建立。所以，這兩種方式都是學生自主建構知識的有效方式。

（二）斷開原通道，改組舊網絡，認知結構主動地調整——順應

當新知不能被原有認知結構同化時，我們就需要重新審視原有認知結構，剖析結構中的瑕疵乃至錯誤，并對它進行調整，以適應新的學習內容的需要。從理論上分析，這種瑕疵或者錯誤，主要是因為原結構中點與點之間的連接通道存在問題，導致新的數學信息進入時，與原有結構發生矛盾，即產生認知沖突。

以“平行四邊形面積”的學習為例，之前，學生受“長方形面積等于長乘寬”和“平行四邊形易拉動可變形為長方形”等已有認知的影響，頭腦中已建立了如下的結構圖（圖4虛線以下部分），并誤以為平行四邊形也可像長方形那樣，相鄰的兩條邊相乘就可得到面積。

圖4

剖析這個認知結構，我們不難發現，問題產生的根源就是通道①和②的建立。假設沒有這兩個通道，平行四邊形通過拉動化歸為長方形進而求面積的錯誤思路就不會產生（即通道③和通道④的形成）。

但是，也正是基于這個錯誤的結構，學生才產生了“平行四邊形拉動不斷變形而面積怎么會不變”的認知沖突，于是，學習進入了反思分析階段。在這個階段，學生依托觀察、討論、交流、比較、動手等豐富的學習方式，找到了問題的癥結：拉動平行四邊形，周長不變，但面積要變化。進一步地，就會發現要實現面積不變的化歸，應該斷開通道②，然后重新建立附點“可割補成長方形”，以基點“平行四邊形”連接它，并再連接“長方形面積等于長乘寬”（虛線以上部分）。如此，一輪對認知結構的調整和改造就完成了，新的結構建立，問題得以解決，這個過程就可看作是順應的過程。

這種現象，體現在學生的學習中，那就是他們遇到了學習的難點。這也給我們的教學帶來啟示——遇到教學難點，我們可有意地制造并放大認知沖突，然后將問題拋還給學生。學生應對的過程，就是他們發現問題、分析問題、解決問題的過程，就是他們調動經驗、深刻內省、激揚思維的過程。而正是在這樣的過程中，學生的認知結構進一步完善，認知能力進一步發展。

當然，數學的學習并非只有同化和順應兩種形式，同化和順應也不是機械地獨立存在于學習的過程中，因此，認知結構的運作也絕不可能如上文所述的兩種情況那樣簡單。人的思維是復雜的，對人的思維的分析永遠跟不上人的思維的實際狀況，但是，就在這樣的分析中，我們卻有可能得到進步，教學卻有可能得到發展。這，也許就是教學研究的意義！

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