《數學》第十章“概率統計”教材分析及教學建議

鄭步春

【摘 要】統計與概率的內容在九年義務教育階段已經成為數學課程的基本組成部分。《中等職業學校數學教學大綱》要求繼續加強隨機性數學教學。通過本章教學，可使學生進一步確立尊重事實、用數據說話的態度，學會用隨機觀點來解釋現象，做出估計和決策，形成正確的世界觀和方法論。在準確把握教學要求基礎上，從認真剖析概念、注意概念的區別與聯系、重視展開探究活動、關注與學生的實際經驗相聯系等方面，做好概率統計章節教學。

【關鍵詞】計數原理 概率 統計

通過本章學習，重在讓學生理解確定事件和不確定事件的基本概念，粗略地感知某一事件發生的可能性，用數量較為精確地刻畫具體某一事件發生的可能性，進一步確立尊重事實、用數據說話的態度，學會用隨機觀點來解釋現象，做出估計和決策，形成正確的世界觀和方法論。

一、概率統計章節教學目標

概率是隨機事件發生的可能性的數量指標，指在獨立隨機事件中，某一事件在全部事件中出現的頻率，在更大的范圍內比較明顯地穩定在某一固定常數附近。對于任何事件的概率值一定介于0和1之間。有一類隨機事件，它具有兩個特點：第一，只有有限個可能的結果；第二，各個結果發生的可能性相同。具有這兩個特點的隨機現象叫做“古典概型”。在客觀世界，存在大量的隨機現象，隨機現象產生的結果構成了隨機事件。如果用變量來描述隨機現象的各個結果，就叫做隨機變量。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量；如果可能的取值充滿了一個區間，無法按次序一一列舉，這種隨機變量就叫做非離散型隨機變量。如果隨機變量是連續的，那么都有一個分布曲線。實踐和理論都證明：有一種特殊而常用的分布，它的分布曲線是有規律的，這就是正態分布。正態分布曲線取決于這個隨機變量的一些表征數，其中最重要的是平均值和差異度。平均值也叫數學期望，差異度也就是標準方差。

數理統計包括抽樣、適線問題、假設檢驗、方差分析、相關分析等內容。

根據大綱要求，本章教學目標為：

1.掌握分類計數原理和分步計數原理，并能運用它們分析和解決一些簡單的應用問題。

2.理解隨機事件發生的不確定性及頻率的穩定性，理解概率的定義，能說出頻率與概率的區別，初步學會用頻率近似代替概率解決簡單的實際問題。

3.理解概率的基本性質，理解互斥事件和對立事件的意義，理解互斥事件和對立事件的概率計算性質及公式。

4.理解等可能事件的意義，理解古典概型與幾何概型的兩個基本特征及其概率計算公式，會用計數原理求解古典概型中概率計算問題，會初步學會將某些實際問題轉化為古典概型或幾何概型解決。

5.理解總體、個體、樣本、樣本容量等概念的意義，了解隨機抽樣的必要性和重要性，會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本，收集樣本數據，了解分層抽樣和系統抽樣方法。

6.在樣本數據整理中，會列頻率分布表，繪頻率分布直方圖，了解用樣本的頻率分布估計總體分布的思想方法。

7.在樣本數據分析中，理解樣本均值、方差及標準差的意義，會根據公式求一個樣本均值、方差及標準差，會用樣本均值、方差及標準差估計總體的均值和標準差，推斷總體數據的集中趨勢和離散程度。

8.了解散點圖，知道變量相關關系的意義，了解最小二乘法的思想方法，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程，會用科學計算器求回歸系數。

二、概率統計章節編寫思路

在初中階段，學生粗略地感知不確定事件發生的可能性有大小，初步認識到用數量能較為精確地刻畫某一事件發生的可能性大小，對于簡單的古典概型涉及的計算，僅限于列舉法或樹狀圖所能進行的計數。本章內容分為三個部分：計數原理、隨機事件的概率及統計推斷。

“計數原理”的基本設計思路：本節的開篇就提出生活中到處需要計數，用一個一個數的方法，在稍微復雜情形下很費時甚至數不過來，使學生認識學習計數原理的必要性。然后采取“閱讀問題——再分解問題——引導探究——歸納概括”的方式，安排了具體例證中歸納兩個計數原理的活動，以引導學生經歷原理的概括過程，并使學生學會面對一個復雜的計數問題。

“隨機事件概率”的基本設計思路：本著從認識隨機現象與應用隨機觀念解釋現實世界中各種現象兩個方面，采用“問題情境——引導探究——歸納概括”的方式，幫助學生建立隨機觀念的意圖。首先，通過列舉各種各樣的現象引導學生從結果能否預知的角度出發，幫助學生理解隨機現象和確定性現象的概念；從研究隨機現象的角度出發，引入隨機試驗的概念，使學生理解隨機事件、必然事件和不可能事件的概念，進而能辨別一個事件是否是確定事件。其次，根據概率的定義，在概率基本性質的基礎上，通過同一試驗中不同事件是否同時發生的實際問題探究，理解互斥事件與對立事件的概念。再次，針對一類試驗的所有結果出現具有等可能性，介紹了兩種特殊的概率模型，即古典概型與幾何概型。

“統計推斷”的基本設計思路：本部分內容主要解決如何從總體中抽取樣本，如何通過所抽取的樣本進行計算和分析，對總體的相應情況做出推斷的問題。在抽樣方法方面著重介紹了簡單隨機抽樣、統計抽樣和分層抽樣。

三、概率統計章節教學建議

（一）本章教學建議

1.關于計數原理的教學。一要準確把握教學要求；二要注意認真剖析概念；三要注意從不同角度思考和解決計數問題。

2.關于隨機事件概率的教學。一要充分認識概率教學的困難，重視學生的實踐活動；二要注意概念的區別與聯系的教學；三要避免用排列組合知識計算古典概型的例題和習題，把計數的方法局限于列舉法或計數原理；四要注意滲透數學思想方法，引導學生感受、體會并能初步簡單運用。本章涉及的數學思想方法主要有：抽象概括建立模型的思想方法、分類討論的思想方法、化歸的思想方法、數形結合的思想方法等等。

3.關于統計推斷的教學。一要重視展開探究活動，讓學生在了解探究任務中產生興趣，讓學生在探究活動中進入學習狀態，讓學生在分析真實數據中形成新的思考習慣，讓學生在交流探究結論中加深對新知的理解；二要關注與學生的實際經驗相聯系，讓學生參與統計研究的實際操作過程，體會統計思想，形成運用統計方法解決實際問題的意識，同時使學生認識到統計在日常生活中有著廣泛的應用；三要注意要求學生多運用計算器、計算機等現代工具處理數據。

（二）各節教學建議

1.計數原理

本節教學重點是對兩個計數原理的理解。這兩個原理都涉及完成一件事不同方法的總數，它們的區別在于：分類計數原理與“分類”有關，各種方法互相獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步計數原理與“分步”有關，各個步驟互相依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成。

本節教學難點是兩個計數原理的運用。做一件事，完成它可以有n類辦法，是對完成這件事所有方法的分類。分類時，首先要根據問題的特點確定分類的標準，然后在確定的標準下進行分類。而做一件事完成它需要分成n個步驟，分步時也要先確定分步的標準，完成這件事必須且只需連續完成這n個步驟后這件事才算完成。

2.隨機事件和概率

本節是關于概率的引入部分，對于現實世界中各種各樣的現象，從結果能否預知的角度出發，可以分兩大類，一類現象的結果是無法預知的，即隨機現象，一類現象的結果總是確定的，即確定性現象。為了研究的方便，把條件每實現一次，叫做進行一次試驗，如果試驗結果事先無法確定，并可以重復進行，這種試驗叫做隨機試驗。而每次試驗的結果稱為一個條件，隨機事件是指在一定的條件下新出現的某種結果。

本節教學的重點是了解概率的意義，難點是認識概率與頻率的區別，關鍵是知道一個事件是隨機事件、必然事件還是不可能事件，盡管不可能事件與必然事件是相互對立的，但它們也可以看成是隨機事件的兩個極端，而且統一在隨機事件之中。

3.概率的簡單性質

本節根據概率的定義，推出了隨機事件概率的取值范圍的基本性質、如何計算復合事件的概率。本節確定了互斥事件這一最簡單的情況，即兩個事件至多一個發生，它們可能都不發生，但不可能都發生，并給出了兩個事件A與B的和的意義。通過實例得出概率的加法公式。如果A、B是互斥事件，那么A與B和的概率等于事件A與事件B的概率之和。這個性質僅適用于兩個事件是互斥的，然而與互斥事件的概率相近的概念是對立事件，相應地得出對立事件的概率之和等于1的結論。

本節教學的重點是了解互斥事件的概念，以及互斥事件的概率加法公式，教學的難點是互斥事件與對立事件的聯系與區別的理解。兩個事件對立是這兩個事件互斥的充分條件，但不是必要條件。

4.等可能事件的概率

本節是在概率的統計定義的基礎上進一步研究等可能事件的概率。由于進行大量重復試驗的工作量大，結果有一定的擺動性，有些試驗還具有破壞性，因此通過大量重復試驗用頻率來表示概率有局限性，而確認研究的事件是等可能事件，可較好解決這個局限性。等可能模型根據事件的個數是有限還是無限，分為古典概型及幾何概型兩類。然而古典概型的特點是：在每次試驗中，不同的試驗結果只有有限個。幾何概型的特點是：基本事件發生是等可能的，且基本事件有無數個。

本節教學重點是理解等可能事件的意義，會把事件分解成等可能基本事件。理解古典概型和幾何概型的基本特點以及兩個概型的區別和聯系。教學難點是將實際問題抽象為數學模型。教學的關鍵是分清古典概型基本事件總數與事件包含的基本事件個數。

5.總體樣本和抽樣方法

本節首先通過獲取信息是采用普查還是抽樣的探究，認識抽樣的必要性，進而認識總體、個體、樣本、樣本容量等概念。

本節教學重點是簡單隨機抽樣的理解。教學難點是在三種隨機抽樣中，每個個體被抽到的可能性相等的理解。教學的關鍵在于對本節中幾個探究問題所指向的概念本質特征的引導。

6.總體分布的估計

本節主要是用樣本的頻率分布區估計總體分布。本節首先從具體問題的探究，說明用樣本的頻率分布統計總體的頻率分布的重要性；然后結合具體案例介紹頻率分布表的制作步驟，以及作分布直方圖的方法。

本節教學的重點是通過頻率分布圖、頻率分布直方圖對總體進行估計。教學難點是作頻率分布直方圖中以頻率÷組距為縱軸的理解。教學關鍵要體現合理分組的重要性，應針對具體問題進行具體分析。

7.總體特征值的估計

統計里有兩類特征值，一類顯示數據的集中趨勢，常見的有平均數、中位數、眾數等；一類是顯示數據的離散程度（波動大小），常見的有極差、方差、標準差等。之所以介紹這兩類特征值，是因為有時很難知道數據的分布規律，而這兩類特征值能對數據的情況做出簡要的描述，而且有些實際問題并不需要知道考察對象的整體情況，只需要了解它的某些數據特征就行了。

本節教學難點是讓學生理解平均數是刻畫數據集中趨勢的特征值，方差是刻畫數據離散程度特征值的理由；教學重點是讓學生能用樣本平均數去描述總體水平，能用樣本方差、標準差比較數據穩定性水平。

8.一元線性回歸。

散點圖在分析兩個變量之間的關系中起著非常重要的作用。對于散點圖，可以做出如下判斷：一是如果所有樣本點都落在某一函數曲線上，就用該函數來描述變量之間的關系，即變量之間具有函數關系；二是如果所有樣本點都落在某一函數曲線附近，變量之間就有相關關系；三是如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關關系。借助用平均值估計物體重量的方法，探求最佳估計，建立線性回歸方程，結合例題學習用科學計算器求回歸系數，可減少運算量。

本節教學重點是利用散點圖直觀體會兩個變量之間的線性相關關系，教學難點是利用最小二乘法的思想，得到線性回歸方程的系數公式，當然具體的線性回歸公式可不講推導過程，也不要記憶。■

（作者單位：江蘇省鹽城市教育科學研究院）