一道數學題引發的思考

王恒川

摘要：以學生鞏固案中一道作業引起的思考為明線，分析學生的思維過程，反思作業錯誤生成的原因。經反思，我們發現有學生學習的思維品質和學習習慣的原因，也有教師課堂教學的原因。本文以幾何語言的課堂學習為暗線，揭示幾何語言在學習幾何學中的重要地位，并介紹了筆者在課堂教學中的兩點做法。

關鍵詞：課堂教學；學生作業；幾何語言

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）01-0079

作業是檢驗學生課堂學習效果的有效方式之一，同時學生作業中的得與失也能反映出教師的課堂教學效果。

一、案例呈現

筆者今年擔任九年級數學的教學工作，九上第一章是圖形與證明（二）。在第一節課后學生鞏固案有一道題目：等腰三角形的一個內角為70°，求它一腰上的高與底邊所夾的角的度數。學生的答案大致分為三類：第一類，能夠根據題意準確畫出圖形，得到正確答案為35°、20°；第二類，只得到一個答案的35°或20°的；第三類，不會做，而且人數較多。為何有這么多學生出錯或不會呢？通過了解得知，不會做的同學基本上是不能夠根據題意準確畫出圖形，或者根本沒想到先畫圖再進行解題，渴望通過觀察、思考得到答案。

學生為何想不到通過畫圖，運用數形結合來解決問題呢？

二、問題思考

數形結合是初中數學中重要的數學思想方法之一，我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”數形結合可以把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。此題學生如能準確出畫圖形，運用本節課知識很容易解決，為什么畫圖會成為學生學習的難點呢？

1. 從學生側面來看

學生是學習的主體，學生對問題采取的態度與方法，與其學習的思維品質和學習習慣有關系。

（1）學生在學習過程中，自主探究積極主動，合作交流不足。對于案例中的問題，問題本身難度并不是太高，完全可以通過學生間的合作交流順利解決。所以在課堂教學中，營造民主、科學的合作交流學習環境，不但可以提高學生的學習興趣，而且能助于培養學生尋求解決問題的途徑與方法，增強發現問題、分析問題、解決問題的能力。

（2）學生在解決問題過程中，善于專注思考，缺少動手操作。在談話了解過程中得知，部分同學喜歡做帶有圖形的幾何題，對于沒有圖形的幾何題很少主動去畫，奢望通過觀察、思考來解決問題。也有部分同學想到借助幾何圖形來解決問題，但心有余而力不足不能準確把文字語言轉化幾何圖形語言。學習好幾何要掌握好三種語言之間的互化，即文字語言、幾何語言與圖形語言的互化。在解決問題時不僅要用腦積極思考，而且善于動手操作（如畫圖）、嘗試（如試驗）尋求更寬、更廣的解決問題的途徑。

2. 從教師側面來看

從學生作業得到的反饋信息，可以作為教師課堂教學的一面鏡子。有如此多的學生不能順利解決此題，全是學生的問題嗎？

（1）課堂教學放不開，學生學習主體不能得到充分體現。課堂是學生學習的主要陣地，教師是學生課堂學習的主導，但在實際教學中教師對學生的課堂學習仍不夠放心，時常全全包辦。包辦的課堂教學束縛了學生手腳，學習和積極性、主動性與創造性不能得到有效的發揮。包辦的課堂學生缺少了活動的機會，包辦的課堂學生缺少了合作交流的可能，包辦的課堂束縛了學生的學習思維，因為這樣的課堂模仿多于創新。當學生遇到新的問題，運用模仿而獲得的知識解決不了問題時，往往不會再想其他的辦法。

（2）課堂教學束縛于學案，淡化學生能力培養。目前學案在許多學校廣泛使用，學案特點之一是容量大，教師為了完成學案內容，不愿擠出更多的時間來對學生能力的培養。案例的背景是九年級圖形與證明的第一課時，教學目標要讓學生經歷思考、猜想等數學活動，并能對操作活動的合理性進行證明，感受合情推理和演繹推理的重要性；培養學生靈活轉換幾何三種語言的能力。課堂教學中，淡化了該種能力的培養，所以在遇到案例中問題時，學生沒有意識、沒有能力想到把文字語言轉化成幾何語言來解題。

3. 從知識內容本身來看

筆者認為案例所帶來最大思考是學生不擅長把文字語言轉化為圖形語言。等腰三角形的一個內角為70°，此處有懸疑，具體是哪個角為呢？要進行分類討論，頂角可以為70°，底角也可以為70°。當頂角為70°或底角為時70°，圖形該如何畫呢？此時需要學生從原有的知識結構中，調用出幾何圖形的畫法這部分知識。畫圖過程中，要關注題設中的兩個關鍵詞，“腰上的高”與“與底邊的夾角”，只有準確理解這兩個關鍵詞，圖形就不難得出了。分析學生不能畫圖原因有二：一是沒有深刻理解題設的中關鍵詞所代表的含義；二是缺少動手操作嘗試的膽量與經驗，所以不敢或不愿動手嘗試。

其實幾何語言間的轉換教材中已有滲透，如教材后面的練習中有幾道證明定理或結論的題目。如“證明：等邊三角形的每個內角都等于60°”、“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”等。解決此類題目要把命題即文字語言運用幾何語言表述出來，并準確畫出圖形，再進行證明。

幾何語言在幾何學學習中有著重要的地位，在教學中采用什么辦法可以鞏固、提高學生的幾何語言應用能力呢？

三、嘗試實踐

幾何語言的學習，教師示范作用是重要的，在例題的講解、習題的思路分析過程中，教師都可以潛移默化地滲透幾何語言的教學。為了有效地激發學生學習的積極性，提高學生對幾何語言的關注程度，發揮其課堂學習的主體地位，筆者大膽采用“以兵教兵”的方法來鞏固、提高幾何語言的學習。

1. 改“講題”為“說題”——運用幾何語言“說思路”

筆者所在學校教學模式是以“建構式生態課堂”為指導，結合本校實際，新授課多以學生展示為主。展示方法大概是小組先抽簽，再安排學生進行講解所抽到的內容。學生講解水平大都仍停留在“讀答案”或“背答案”的層次上。為了促進對幾何語言的學習，改“講題”為“說題”，說一說自己做這一題的過程。

一說，遇到此題后是如何想的？

二說，遇到哪些困難？

三說，如何克服這些困難的？

四說，解決此題的關鍵是什么？

五說，解完此題有何收獲（感受）？

這五個方面不必要面面具到，針對具體問題有選擇地說其中幾個方面。在說的過程中，會用到生活用語，題設中文字語言，幾何語言和圖形語言。每節課，每道題，每個展示的學生，每天都在重復如此的訓練，首先從心理上和熟練程度上，學生都能運用的自如、灑脫，不會出現無話可說的現象。給出一個命題學生可以輕松地寫出條件、結論，能準確在畫出圖形，并可以運用幾何語言進行簡單的分析與講解。

2. 改“板書”為“思維導圖”——運用框圖“規范證明過程”

板書的主要作用示范，給學生直觀、清晰的印象。幾何題的證明與推理重在思路的探尋，為了增強學生證明、推理的方法，明析解題思路，把原來“板書”部分內容變為思維導圖，借助思維框圖規范證明過程。

如，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=DC。你能說明BE與DF相等嗎？

分析：CE⊥AB，CF⊥AD

AC平分∠BAD

∠CFD=∠CEB=90°

BC=DC

思維導圖特點：滿足哪些條件，得到怎樣的結論，證明思路清晰；思維導圖使用方法：學生對照導圖，運用幾何語言表述證明過程。在導圖的指引下學生的敘述更具有條理性，證明過程更加規范、簡明。

從學生的“說題”到“思維導圖”的使用，都是以學生的展示為主體，教師進行必要的指點，這種“以兵教兵”的方法大大提高學生活動的積極性，活躍課堂氛圍，有效培養學生幾何語言的應用能力。

總之，數學作業是課堂學習的延續，是學生獨立完成學習任務的活動形式。細心觀察、謹慎分析學生作業的反饋信息，可以得到許多有用信息，這些信息不僅可以檢測學生的學習效果，而且有利于教師及時反思課堂教學。

參考文獻：

[1] 羅增儒.中學數學解題的理論與實踐[M].南寧：廣西教育出版社，2008.

[2] 李淑文.中學數學教學概論[M]北京.中央廣播電視大學出版社，2008.

（作者單位：江蘇省連云港市東海外國語學校 222300）