基于非線性響應的結構損傷識別響應面方法研究

徐亞蘭，薛 敏

(西安電子科技大學 機電工程學院，西安 710071)

結構損傷識別作為結構健康監測技術的重要組成部分，一直是國內外學者研究的熱點問題。結構損傷識別研究具有很強的工程背景，在土木工程、航空航天、機械工程等領域都有廣泛的應用。結構損傷識別的方法很多，如振動診斷法、聲發射法、超聲波診斷法、光學診斷法、紅外診斷法等。近年來，由于計算機技術、信號檢測與處理技術的快速發展，基于振動信息的結構損傷識別方法的研究與應用最為廣泛［1-2］。不過，雖然經過國內外學者的長期研究，基于振動信息的結構損傷識別已經形成很多方法［3-5］，如:動力指紋類方法、信號處理類方法，但是作為結構健康監測的一部分，結構損傷識別往往存在在線實時的要求［6］，而目前現有的損傷識別方法由于存在計算效率低、測量數據多等局限而不易于工程實際應用。

Box等［7］提出的實驗設計與數理統計相結合的響應面方法，由于有高效、實用的特點，近年來在多個領域受到越來越多的重視。響應面方法在結構工程領域的應用主要集中在可靠性分析［8］及模型修正［9-10］等方面，而在結構損傷識別方面，特別是非線性損傷識別的應用研究鮮有報道。由于響應面模型有著較低的試驗數據訓練要求、計算量小、操作性強及非線性建模的優勢，符合結構在線損傷識別的要求，顯示了其在結構損傷識別領域的應用潛力。文獻［11-12］嘗試著將響應面方法應用于結構損傷識別中，建立了結構損傷與模態頻率之間的近似解析表達式。

本文主要利用響應面方法在非線性建模問題上的優勢，基于結構的非響應信號，提出以結構響應信號的功率譜特征量為損傷動力指標，建立結構非線性損傷與動力指標的響應面模型，探索性地研究響應面方法在結構非線性損傷中的應用。

1 非線性損傷的動力指標

結構發生損傷后，某些損傷行為會使結構的響應信號表現為非線性特性。盡管模態頻率由于易測量且測試精度較高經常用來作為結構線性損傷識別的動力指標，但是模態頻率在損傷定位方面有其局限性，而且利用固有頻率很難對線性損傷與非線性損傷進行區分?？紤]到與結構模態頻率相比，響應信號頻譜能量的分布對結構非線性特征更為敏感度，為了更好地描述非線性損傷造成結構響應信號頻率能量特征的變化，本文提出以結構在沖擊激勵下響應信號的功率譜特征值作為損傷動力指標:

式中，S(ω)為結構響應信號的功率譜，ω為角頻率。ID1，ID2，ID3能分別從不同的角度描述響應信號的頻域特征，反映了其功率譜主頻帶位置和頻譜能量分布的分散程度，其中，ID1表示功率譜主頻帶的位置，ID2表示信號功率譜的質心，ID3表示功率譜主頻帶的移動趨勢。

2 響應面方法

響應面方法就是利用試驗設計與回歸分析方法，通過近似構造一個具有明確表達式形式的多項式對試驗樣本的回歸進行擬合來表達隱式功能函數。試驗樣本的選取直接關系到響應面模型的精度與計算成本;樣本選取過少不能完全反應系統的特征，而樣本選取太多雖然能在一定程度上提高擬合精度，但會大幅度提高計算成本。在實際應用中樣本選取主要取決于研究對象、特征量的選擇以及所采用的試驗設計方法。

試驗設計是為了通過合理布置試驗點的位置，達到利用少量試驗點得到較高精度響應面模型的目的。試驗設計的方法主要有全因子設計、部分因子設計、中心復合設計及Plackett-Burman設計等。本文在結構非線性損傷識別中將采用全因子設計方法和如下多項式響應面模型:

式中，xi(i=1，2，…，k)，y分別為響應面模型的輸入參數和輸出響應，k表示設計變量個數，α0是常數項待定系數，αj是一次待定系數，αij為二次項待定系數，αijm為三次項待定系數。全因子設計是最基本的試驗設計方法，其將設計變量各分量上、下限之間的區域分成若干子區間，在各個子區間的交界處取值;若設計變量個數為n，每個設計變量分量均取l個值，則全因子設計試驗點的個數為ln。

響應面函數對試驗數據的擬和程度由如下評價指標來檢驗，即修正的負相關系數復相關系數R2adj和均方誤差MSE:

式中，yrs為響應面模型的計算值，y為真值為真值的均值，N為樣本點的個數，n表示試驗運行的次數，p為在輸入量和輸出量個數之和的基礎上加一，為σ真值的標準偏差。值越接近1說明回歸模型越準確，而MSE值越小說明擬合度就越好。

3 基于響應面方法的結構非線性損傷識別

基于響應面的結構損傷識別方法就是通過實驗或數值計算獲得輸入變量及響應變量的樣本點，利用多項式響應面方法對這些采樣點進行擬合或逼近獲得系統損傷與動力指標之間的近似解析表達式，將響應面思想引入結構損傷識別中，降低數據測試要求并提高計算效率，以便應用于在線結構健康監測。主要步驟包括試驗所需要輸入量與輸出量的確定，基于試驗設計的樣本選取，響應面模型的建立以及利用響應面進行損傷識別。

為了驗證本文所提出以功率譜特征量為損傷動力指標，利用響應面方法進行結構非線性損傷識別的有效性。本節對一個五自由度系統(如圖1所示)的線性損傷和非線性損傷識別進行了仿真比較研究。這里，以各個彈簧剛度系數的變化來模擬結構的損傷，故損傷識別的目標就是彈簧的剛度值及其定位。利用全因子設計方法來建立剛度值、剛度定位與損傷動力指標ID1，ID2，ID3之間的擬合關系。因為損傷識別的目標就是彈簧的剛度值及其定位，故在實驗設計時變量個數為2;每個變量均取5個設計水平，即:損傷定位分別為第1個彈簧至第5個彈簧，而五個定位中某一定位的損傷用彈簧剛度系數的降低來模擬，共分為五個等級(2 000 N/m，3 000 N/m，4 000 N/m，5 000 N/m ，6 000 N/m(健康值))。由于使用全因子設計需要25次仿真試驗獲得樣本點，所以本文模擬仿真了25個不同的損傷工況。

仿真分為兩種情況，首先，在非線性損傷發生后，仍將以線性動力學建模的方式產生試驗樣本點，即:分三步進行計算:① 針對各損傷工況，通過振型疊加，計算對應的響應;② 計算響應的功率譜;③ 利用第1至3式計算ID1，ID2，ID3。利用響應面方法分別擬合線性損傷及非線性損傷情況下剛度值及定位與ID1，ID2，ID3之間的解析關系如下:

其中，sti為剛度值，loc代表定位，L表示線性，NL表示非線性，A，B 和 C 分別表示 ID1，ID2，ID3。

圖2與3分別為利用以上響應面模型對兩種損傷情況下的剛度值和定位進行識別。從圖可見，對非線性系損傷剛度值及定位的識別精確度總體上要比線性高，特別是對非線性損傷定位的識別基本上都在理想值(45°斜線)附近，而對線性損傷定位識別則比較分散，可見利用本文方法可以將線性損傷與非線性損傷進行區分。本文所采用功率譜特征值作為損傷動力指紋對線性損傷識別并不理想，線性損傷識別時采用結構的模態頻率作為損傷指標比較準確［11］。

圖2 線性損傷與非線性損傷剛度值的識別結果Fig.2 Stiffness results for linear and nonlinear damage

然后，假設已知系統發生的損傷為非線性，以系統非線性動力學建模的方式來產生試驗樣本點，即:在計算系統響應時，針對各個發生非線性損傷的彈簧，用非線性項kx3替代原線性項kx，利用Newmark數值解法獲得近似的響應。建立非線性損傷情況下剛度值及定位與ID1，ID2，ID3之間的解析關系如下:

圖4和圖5為采用非線性動力學模型進行非線性損傷定位和剛度值的識別結果?？梢钥闯?，響應面模型可以對非線性損傷進行定量與定位識別。與圖2和圖3進行比較可知，試驗樣本點的準確度可以很大程度上提高非線性損傷識別的響應面方法的準確度。

4 結論

圖3 線性損傷與非線性損傷定位的識別結果Fig.3 Location results for linear and nonlinear damage

圖4 非線性損傷剛度值的識別結果Fig.4 Stiffness results for nonlinear damage

圖5 非線性損傷定位的識別結果Fig.5 Location results for nonlinear damage

本文提出了一種以結構響應信號的功率譜特征值為損傷動力指標，探索性地將響應面方法用于對結構的非線性損傷識別的方法，并與結構的線性損傷識別進行了比較研究。結果表明，本文所提出的方法可以將結構的線性損傷與結構的非線性損傷很好的區分開來，對結構的非線性損傷有很好的定位和定量精度。由于響應面方法可以在很少的測試數據情況下，快速準確地建立結構非線性損傷與損傷動力指標之間的關系，顯示了其在結構非線性損傷識別領域的應用潛力。

［1］楊秋偉.基于振動的結構損傷識別方法研究進展［J］.振動與沖擊，2007，26(10):86-89.YANG Qiu-weiA review ofvibration based structural structural damage identification methods［J］.Journal of Vibration and Shock，2007，26(10):86-89.

［2］ Yan Y J，Cheng L，Wu Z Y，et al.Development in vibration-based structural damage detection technique［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21(5):2198-2211.

［3］Shiradhonkar S R，Shrikhande M.Seismic damage detection in a building frame via finite element model updating［J］.Computers and Structures，2011，89:2425-2438.

［4］ Law S S，Li X Y，Zhu X Q，et al.Structural damage detection from wavelet packet sensitivity［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，278:589-610.

［5］嚴平，李胡生，葛繼平，等.基于模態應變能和小波變換的結構損傷識別研究［J］.振動與沖擊，2012，31(1):361-366.

YAN Ping，LI Hu-sheng，GE Ji-ping，et al.Structural damage identification based on modal strain energy and wavelet transformation［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(1):361-366.

［6］楊智春，于哲峰.結構健康監測中的損傷檢測技術研究進展［J］.力學進展，2004，34(2):215-225.

YANG Zhi-chun，YU Zhe-feng.Progress of damage detection for structural health monitoring［J］.Advances In Mechanics，2004，34(2):2155-225.

［7］ Box G P，Wilson K B.On the experimental attainment of optimum conditions［J］.Journal of Royal Statistical Series B，1951，13:1-51.

［8］胡冉，李典慶，周創兵，等.基于隨機響應面法的結構可靠度分析［J］.工程力學，2010，27(9):192-199.

HU Ran， LIDian-qing， ZHOU Chuang-bing， etal.Structural reliability analysis using stochastic response surface method［J］.Engineering Mechanics，2010，27(9):192-199.

［9］Ren Wei-xin，Chen Hua-bing.Finite element model updating in structural dynamics by using the response surface method［J］.Engineering Structures，2010，32:2455-2465.

［10］韓芳，鐘冬望，龔相超.基于信息融合技術的結構模型修正研究［J］.固體力學學報，2011，32:421-426.

HAN Fang， ZHONG Dong-wang， GONGXiang-chao .Research on model updating based on information fusion［J］.Chinese Journal of Solid Mechanics，2011，32:421-426.

［11］ Cundy L A.Use of response surface metamodels in damage identification of dynamic structures［D］. Virginia，Ploytechnic institute and state university，2002.

［12］Fang S E，Perera R.Damage identification by response surface based model updating using D-optimal design［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2011，25:717-733.