基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型在高鐵隧道沉降變形分析中的應(yīng)用*

文鴻雁 周 呂 韓亞坤 陳冠宇 胡紀(jì)元

1)桂林理工大學(xué)廣西礦冶與環(huán)境科學(xué)實(shí)驗(yàn)中心，桂林 541004

2)桂林理工大學(xué)測繪地理信息學(xué)院，桂林 541006

3)廣西空間信息與測繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(桂林理工大學(xué))，桂林541006

1 引言

高速鐵路的建設(shè)是一個(gè)龐大且復(fù)雜的系統(tǒng)工程，高鐵建設(shè)中的隧道建設(shè)的難度與精度較其他部分更具挑戰(zhàn)性，在隧道的建設(shè)過程中需要定期對(duì)其進(jìn)行變形監(jiān)測，為建設(shè)過程提供安全保障。同時(shí)，在隧道準(zhǔn)備要鋪軌時(shí)需要評(píng)估隧道的沉降變形。

由于隧道本身比較穩(wěn)定，其沉降變形量小、相對(duì)波動(dòng)較大，加之在對(duì)隧道進(jìn)行沉降變形監(jiān)測時(shí)，受光線、氣溫、儀器誤差等隨機(jī)因素的影響較大，使沉降曲線出現(xiàn)“小沉降、大波動(dòng)”現(xiàn)象。針對(duì)此現(xiàn)象，本文引入卡爾曼濾波算法，對(duì)受噪聲干擾較大的沉降監(jiān)測點(diǎn)進(jìn)行濾波處理，建立基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型。將新建模型應(yīng)用于貴廣高鐵某隧道沉降變形監(jiān)測點(diǎn)的變形分析與預(yù)測中，并與傳統(tǒng)GM(1，1)模型進(jìn)行對(duì)比分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型的綜合精度與可靠性均較傳統(tǒng)GM(1，1)模型高。

2 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波是一種通過對(duì)被提取信號(hào)有關(guān)的觀測量的算法估計(jì)得出所需信號(hào)的濾波方法［1］。離散系統(tǒng)卡爾曼濾波的數(shù)學(xué)模型由狀態(tài)方程和觀測方程構(gòu)成，可表示為［2，3］:

式中，Xk是n×1 階狀態(tài)向量，Lk是m ×1 階觀測向量，F(xiàn)k/k－1是n ×n 階狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Gk－1是n ×r 階動(dòng)態(tài)噪聲矩陣，Wk－1是r×1 階動(dòng)態(tài)噪聲，Vk是m ×1 階觀測噪聲，Hk是m×n 階觀測矩陣。

根據(jù)最小二乘原理，隨機(jī)離散系統(tǒng)的卡爾曼濾波遞推公式為［4－6］:

一步預(yù)測值為

一步預(yù)測值的方差矩陣為

狀態(tài)向量的估計(jì)值為

狀態(tài)向量估計(jì)值的方差矩陣為

式中，Jk是濾波增益矩陣，為

在確定濾波初值后，啟動(dòng)卡爾曼濾波遞推算法，依據(jù)k 時(shí)刻的觀測值Lk，遞推計(jì)算出k 時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值，實(shí)現(xiàn)濾波并有效剔除隨機(jī)干擾噪聲的效果。

3 傳統(tǒng)灰色GM(1，1)模型

GM(1，1)模型的建立過程為［7－9］:

令x(0)為某監(jiān)測點(diǎn)的原始序列:

式中，n 為序列長度，k=1，2，…，n。對(duì)x(0)進(jìn)行一次累加生成處理，得到光滑的新生成數(shù)列(記x(1)=AGOx(0)):

將x(1)進(jìn)行時(shí)間求導(dǎo)，建立GM(1，1)一階線性灰微分方程:

式中，a、b 為待定常數(shù)。由文獻(xiàn)［7］可知GM(1，1)白化方程的時(shí)間響應(yīng)式為:

通過累減生成可得GM(1，1)預(yù)測模型為:

4 模型精度評(píng)定

利用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法［10］評(píng)判模型精度。設(shè)原始監(jiān)測數(shù)據(jù)方差為，殘差數(shù)據(jù)方差為，則計(jì)算公式為:

結(jié)合C 和P 兩項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)所建模型的精度進(jìn)行綜合評(píng)判。各精度等級(jí)如表1 所示。

表1 后驗(yàn)差檢驗(yàn)法精度等級(jí)表Tab.1 Precision grade table of Posterior deviation test

5 實(shí)例分析

5.1 卡爾曼濾波去噪

高鐵隧道沉降變形監(jiān)測按照三等沉降變形測量的技術(shù)指標(biāo)進(jìn)行變形監(jiān)測，故本文取觀測噪聲方差Rk=0.5、動(dòng)態(tài)噪聲方差Qk=2。本文把監(jiān)測點(diǎn)的位置與變化速率作為狀態(tài)參數(shù)，由前2 期監(jiān)測值的平差值可求得濾波初始值:

該監(jiān)測數(shù)據(jù)序列是隧道沉降變形監(jiān)測初期的監(jiān)測值，由于前9 期監(jiān)測數(shù)據(jù)在測量時(shí)受照明光線影響較大，且監(jiān)測條件較惡劣，監(jiān)測數(shù)據(jù)受隨機(jī)噪聲影響較大，加之該路段隧道地質(zhì)條件較好，隧道沉降較小，這使隧道沉降變形曲線出現(xiàn)“小沉降、大波動(dòng)”現(xiàn)象。本文利用上述所得的濾波初始值通過卡爾曼濾波設(shè)計(jì)程序?qū)υ摂?shù)據(jù)進(jìn)行濾波，對(duì)比分析濾波前后數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖1。

圖1 濾波去噪結(jié)果與原始數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.1 Comparison of denoising results by the Filter

分別計(jì)算原始數(shù)據(jù)與濾波后數(shù)據(jù)的信噪比得:原始數(shù)據(jù)的信噪比為6.967，濾波后數(shù)據(jù)的信噪比為19.633。經(jīng)過濾波后，數(shù)據(jù)的信噪比有了較大的提高，說明此次濾波效果較好。

由圖1 可知，經(jīng)過濾波處理之后，原始沉降曲線的波動(dòng)已減小，經(jīng)過濾波處理后原始監(jiān)測數(shù)據(jù)中的隨機(jī)噪聲的影響得以有效地減弱，沉降曲線更加平滑，更加逼近真實(shí)情況。

5.2 建立基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型

以前9 期數(shù)據(jù)建立基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型，并運(yùn)用該模型預(yù)測第10 期與第11 期的變形量，同時(shí)對(duì)比分析用原始數(shù)據(jù)建立的傳統(tǒng)GM(1，1)模型的預(yù)測結(jié)果，對(duì)比結(jié)果如圖2 ～4 所示。

對(duì)比分析圖2 與圖3 可知，經(jīng)過卡爾曼濾波去噪處理之后，消除了原始沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)誤差的噪聲干擾，相對(duì)于傳統(tǒng)的GM(1，1)模型，基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型的預(yù)測值及預(yù)測曲線更加逼近真實(shí)情況。由圖4 可知，基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型的殘差曲線波動(dòng)小于傳統(tǒng)的GM(1，1)模型。

圖2 濾波前沉降值與預(yù)測值Fig.2 Settlement values before and after filtering with original data

圖3 濾波后沉降值與預(yù)測值Fig.3 Settlement and predictor after filtering

圖4 兩模型殘差曲線對(duì)比Fig.4 Comparison of the error curve of the two models

運(yùn)用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法評(píng)判新建模型與傳統(tǒng)GM(1，1)模型的精度，各模型的后驗(yàn)差比值C、小誤差概率P 以及模型的綜合精度等級(jí)，如表2 所示。

利用均方誤差、平均絕對(duì)誤差以及平均絕對(duì)相對(duì)誤差對(duì)新建模型與傳統(tǒng)GM(1，1)模型進(jìn)行誤差分析得表3。

由表2、3 可知，兩個(gè)模型均達(dá)到了較好的預(yù)測精度，但基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型的預(yù)測精度更高。

表2 兩種模型的精度對(duì)比表Tab.2 Comparison of the precision by two models

表3 兩種模型誤差對(duì)比表(單位:mm)Tab.3 Comparison of errors by two models(unit:mm)

對(duì)各模型的預(yù)測曲線進(jìn)行相關(guān)分析，基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型的預(yù)測曲線與沉降曲線的相關(guān)系數(shù)達(dá)97%，而傳統(tǒng)GM(1，1)模型的預(yù)測曲線與沉降曲線的相關(guān)系數(shù)達(dá)94%。對(duì)比兩個(gè)相關(guān)系數(shù)可知，基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型的線性相關(guān)有所提高，因?yàn)闉V波處理之后，在建模時(shí)噪聲干擾小，所建模型精度相對(duì)于傳統(tǒng)GM(1，1)模型更高。

6 結(jié)論

針對(duì)高鐵隧道沉降變形中出現(xiàn)的“小沉降、大波動(dòng)”現(xiàn)象，在對(duì)其進(jìn)行變形分析時(shí)，首先用卡爾曼濾波進(jìn)行去噪，然后建立基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型進(jìn)行變形分析。通過工程實(shí)例對(duì)比分析得出:經(jīng)過卡爾曼濾波去噪后，可以有效地消除沉降曲線中波動(dòng)較大的尖端點(diǎn)，使得去噪后的沉降曲線更為合理;濾波后可以有效剔除原始監(jiān)測數(shù)據(jù)中的隨機(jī)誤差，在一定程度上提高了GM(1，1)模型的綜合精度。

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