以不變應萬變
——淺談解決函數最值(值域)問題的“天龍八式”

趙 杰

(江蘇省海門市三廠中學，江蘇海門，226121)

2013年江蘇省數學高考試卷中的第9題、第14題、第20題，2012年江蘇省數學高考試卷中第8題、第12題、第13題、第17題、第19題，2011年江蘇省數學高考試卷中第8題、第12題、第13題、第14題、第17題都有所涉及函數的最值(值域)問題。它出現在試卷上的題型不一，有的以填空題形式出現，有的以解答題形式出現。它又和其他知識整合在一起，例如與方程、不等式及某些幾何知識緊密聯系在一起。這類題對于學生的分析能力要求特別高，綜合性強，還要懂得變通，令學生非常頭疼，所以函數的最值(值域)問題成了高中數學中的一個重點，也是一個難點。因此，筆者針對高中階段遇見的最值(值域)問題，歸納出常用、有效的八種方法，并把它取名為“天龍八式”。

第一式：圖像法

作為“天龍八式”的起始式，圖像法具有簡潔、明了、直觀、易懂等特性，也是被許多學生所青睞的一種方法，但它只能解決一些簡單函數，學生必須能準確的畫出它的圖像才能施之可行。

例如：求函數f(x)=|x-3|+|x-1|的值域。

第二式：分離常數法

分離常數是我們針對一次分式函數求最值常用的一種方法，但要引起高度重視的是一定要把分子上的變量全部化掉，要不然我們還是不能達到應要的目標。

第三式：換元法

換元法是我們高中階段最常用的方法之一，它最重要的功能是把一個復雜問題通過換元后變簡單化。在這里，我們通過換元法能把一些復合函數簡單化，一些陌生函數熟悉化，從而更容易地解決問題。

第四式：單調性法

第五式：基本不等式法

基本不等式在高考考綱要求中是八個C級要求之一，可見它的重要性是不可忽視的。而在使用基本不等式的過程中除了要掌握它的使用條件“一正，二定，三相等”以外，我們的學生還要能看出如何使用基本不等式。

第六式：參數法

參數法是我們在選修4系列中學到的一種技巧，這也為理科的學生提供了一種解題的方法。這種方法的關鍵是把方程轉換為參數方程，然后再去求最值。

第七式：數形結合法

龐加萊說過：“感覺到數學的美，感覺到數與形的協調，感覺到幾何的優雅，這是所有真正的數學家都清楚的真實的美的感覺。”數形結合作為高中數學四大思想之一，它的用途非常廣泛，它把代數和幾何做了一個完美的融合。所以要能很好地運用數形結合，學生必須要掌握好相關知識的幾何意義。對函數而言，常用的幾何意義有截距、斜率、距離和面積等。

終極式：導數法

作為“天龍八式”的終極式，導數法有著一招定乾坤的威力，凡是函數求最值問題，無論是簡單函數還是復合函數，理論上我們都可以用導數法解決，只不過有些問題我們用前面的方法更方便。

則f(x)的值域為[-4,-3]。

葉圣陶先生說過：“教師之為教，不在全盤授予，而在相機誘導。”當然，解決最值(值域)問題的方法遠遠不止這些，例如，還有判別式法，反函數法等。這里的“天龍八式”只是對常見的求最值問題作一個歸納，而且有時在同一個題目中，解決的方法也可以幾種通用或者幾種并用。總而言之，解決函數的最值(值域)問題，關鍵還是要掌握這幾種方法，然后以不變應萬變，具體問題具體分析，能靈活運用這幾種方法解決問題。

[1] 席美能.最值問題之筆者見[J].中學生數理化：教與學，2011(8).

[2] 張琳琳.形如Y=f(x,y)的二元函數的最值的求法[J].科教新報：教育科研，2011(23).

[3] 江懷起.函數值域的求法分析類析[J].數學教學研究，2008(S2).