基于有限元方法的薄板超聲Lamb波頻散曲線計(jì)算

陳 亮， 王恩報(bào)， 馬 豪， 董彥磊， 王 瑜

(電子科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，四川 成都 611731)

0 引 言

超聲Lamb波檢測(cè)技術(shù)是薄板結(jié)構(gòu)檢測(cè)一種較為先進(jìn)的無(wú)損檢測(cè)技術(shù)，針對(duì)厚度在6 mm以下的薄板結(jié)構(gòu)，利用換能器激勵(lì)調(diào)制信號(hào)到薄板中，分析調(diào)制信號(hào)在傳播過(guò)程中發(fā)生散射、反射和透射后的回波信號(hào)，對(duì)傳播路徑上的缺陷等信息進(jìn)行檢測(cè)[1-3]。由于Lamb波的頻散特性，對(duì)于探傷參數(shù)選擇，辨識(shí)性較好的模態(tài)選擇以及結(jié)果分析的簡(jiǎn)易性等存在很多難題，在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中的廣泛應(yīng)用產(chǎn)生了很大的阻礙[4]。

通過(guò)觀察超聲Lamb波的頻散曲線不難看出，頻厚積在1 MHz·mm范圍附近，超聲Lamb波主要以S0模態(tài)和A0模態(tài)進(jìn)行傳播；頻厚積大于2 MHz·mm時(shí)，超聲Lamb波將頻散成諸多復(fù)雜的模態(tài)形式進(jìn)行傳播[5-6]。因此選取頻厚積在1 MHz·mm范圍時(shí)對(duì)于檢測(cè)信息的分析的辨識(shí)性較好。通過(guò)分析檢測(cè)信息中S0模態(tài)和A0模態(tài)的信號(hào)，對(duì)傳播路徑上的信息進(jìn)行確定[7-10]。

本文主要采用有限元仿真的方法對(duì)薄鋁板材料中超聲Lamb波的傳播進(jìn)行模擬建模，通過(guò)提取仿真結(jié)果數(shù)據(jù)，計(jì)算群速度和相速度的大小，擬合繪制在2 MHz·mm以下的頻散曲線，并通過(guò)Matlab對(duì)超聲Lamb波的頻率方程進(jìn)行數(shù)值模擬，繪制鋁板材料超聲Lamb波的理論頻散曲線。將兩種方法計(jì)算所得頻散曲線進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證有限元數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性。

1 超聲Lamb波頻散曲線理論求解

超聲Lamb波在板中傳播會(huì)出現(xiàn)頻散現(xiàn)象，即會(huì)出現(xiàn)多模態(tài)現(xiàn)象。自由邊界條件下Raleigh-Lamb頻率特征方程為[11-13]：

對(duì)稱模態(tài)

(1)

反對(duì)稱模態(tài)

(2)

式中：p和q分別表示為：

(3)

波數(shù)k在數(shù)值上等于ω/cp，cp是Lamb波的相速度，ω為圓頻率；cL和cT分別表示材料的縱波和橫波速度；h為薄板的厚度，

其中，

E是材料的彈性模量；ν為泊松比；ρ為材料密度。

群速度cg可以通過(guò)相速度cp來(lái)求解，cg與cp有如下關(guān)系：

cg=dω/dk

(4)

將k=ω/cp代入上式得:

(5)

利用ω=2πf，上面的等式可以寫做：

(6)

利用Matlab對(duì)頻率特征方程以及群速度與相速度的關(guān)系式進(jìn)行求解，繪制群速度和相速度的頻散曲線[14]。

求解對(duì)象材料為鋁板，密度為ρ=2 700 kg/m3，cL=6.27 mm/μs，cT=3.14 mm/μs。通過(guò)數(shù)值求解得到群速度和相速度的頻散曲線分別如圖1和圖2所示。

圖1 群速度理論頻散曲線

圖2 相速度理論頻散曲線

2 超聲Lamb波在板中傳播有限元模擬

2.1 材料參數(shù)確定

采用ABAQUS對(duì)薄鋁板中超聲Lamb波傳播進(jìn)行數(shù)值模擬。所采用鋁板材料密度ρ=2 700 kg/m3，泊松比υ=0.33，彈性模量E=70 GPa。

2.2 激勵(lì)信號(hào)選取

分別采用50，100，150，200，250，300，350，400，450和500 kHz的10種不同中心頻率的5周期漢寧窗調(diào)制正弦信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)。圖3所示為中心頻率為250 kHz的5周期漢寧窗調(diào)制信號(hào)。

2.3 有限元仿真計(jì)算群速度大小

建立厚度h=4 mm，長(zhǎng)度x=300mm的鋁板模型，激勵(lì)信號(hào)采用上述中心頻率250 kHz的5周期漢寧窗調(diào)制信號(hào)呈45°加載在模型左上角的集中力，接收點(diǎn)在激發(fā)點(diǎn)位置，采用四方形網(wǎng)格劃分，模型圖見(jiàn)圖4。

圖3 250 kHz的5周期漢寧窗調(diào)制正弦信號(hào)

仿真結(jié)果接收到的時(shí)域波形圖如圖5所示。從激勵(lì)信號(hào)到接收點(diǎn)收到回波信號(hào)的距離為600 mm。

圖5 仿真時(shí)域波形圖(群速度計(jì)算)

采用10種激勵(lì)信號(hào)，求出分別對(duì)應(yīng)的S0、A0模態(tài)的群速度，同時(shí)與前面利用數(shù)值求解此材料參數(shù)鋁板的理論群速度曲線相比較，對(duì)比結(jié)果如表1所示。

表1 有限元仿真計(jì)算群速度及其與理論數(shù)值求解誤差

從表1可知，有限元仿真計(jì)算S0和A0模態(tài)群速度的相對(duì)誤差均小于5%，因此可以驗(yàn)證對(duì)板中Lamb波傳播頻散現(xiàn)象有限元仿真群速度模擬的有效性。

通過(guò)表1中的數(shù)據(jù)可以繪制出通過(guò)有限元計(jì)算得出的頻厚積在0.2～2 MHz·mm內(nèi)A0模態(tài)和S0模態(tài)的群速度頻散曲線，如圖6所示。

圖6 有限元計(jì)算群速度頻散曲線

2.4 有限元仿真計(jì)算相速度大小

建模厚度h=4 mm，長(zhǎng)度=800 mm的鋁板模型，激勵(lì)信號(hào)采用上述中心頻率250 kHz的5周期漢寧窗調(diào)制信號(hào)呈45°加載在模型左上角的集中力，信號(hào)接收點(diǎn)選取在距離激勵(lì)觸發(fā)位置400、410 mm的點(diǎn)位置，網(wǎng)格劃分采用四方形網(wǎng)格劃分，模型圖見(jiàn)圖7。

仿真結(jié)果距離激勵(lì)信號(hào)400、410 mm距離的接收點(diǎn)接收的信號(hào)時(shí)域波形圖如圖8所示。

圖8 仿真時(shí)域波形圖(相速度計(jì)算)

計(jì)算A0和S0模態(tài)單一頻率在經(jīng)過(guò)400～410 mm這10 mm距離時(shí)所用的時(shí)間差。

與群速度有限元仿真計(jì)算相同，采用10種激勵(lì)信號(hào)，求出分別對(duì)應(yīng)的S0模態(tài)和A0模態(tài)的相速度，同時(shí)與前面利用數(shù)值求解此材料參數(shù)鋁板的理論相速度曲線相比較，對(duì)比結(jié)果如表2所示。

從表2可知，有限元仿真計(jì)算所得S0和A0模態(tài)相速度的相對(duì)誤差均小于5%，因此可以驗(yàn)證對(duì)板中Lamb波傳播頻散有限元仿真相速度模擬的有效性。

通過(guò)表2中的數(shù)據(jù)可以繪制出通過(guò)有限元計(jì)算得出的頻厚積在0.2～2 MHz·mm范圍內(nèi)A0模態(tài)和S0模態(tài)的相速度頻散曲線，如圖9所示。

表2 有限元仿真計(jì)算相速度及其與理論數(shù)值求解誤差

圖9 有限元計(jì)算相速度頻散曲線

3 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)有限元方法對(duì)薄板結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真，對(duì)超聲Lamb的傳播模式進(jìn)行研究，得到以下結(jié)論：

(1) 對(duì)10組不同的頻率對(duì)應(yīng)的頻厚積進(jìn)行有限元仿真，對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行計(jì)算，繪制了頻厚積在0.2～2 MHz·mm范圍內(nèi)A0模態(tài)和S0模態(tài)的群速度和相速度的頻散曲線。

(2) 求解超聲Lamb波的頻率方程，繪制超聲Lamb波的理論頻散曲線，將有限元方法繪制的頻散曲線與其進(jìn)行對(duì)比，證實(shí)了有限元方法的有效性。

同時(shí)，對(duì)于復(fù)合結(jié)構(gòu)和非平面結(jié)構(gòu)，很難建立相應(yīng)的頻散曲線數(shù)學(xué)描述方程，采用有限元方法可以得到相應(yīng)的頻散曲線，對(duì)此類結(jié)構(gòu)的檢測(cè)提供理論指導(dǎo)。

[1] 閻 石, 張海鳳, 蒙彥宇. 利用Lamb波的薄板結(jié)構(gòu)多點(diǎn)損傷識(shí)別試驗(yàn)[J]. 沈陽(yáng)建筑大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2010, 26(4):777-782.

YAN Shi, ZHANG Hai-feng, MENG Yan-yu, Experimental Research on Multi-Damage Detection of Metal Plate Structure Using Lamb Wave[J]. Journal of Shenyang Jianzhu University (Natural Science), 2010, 26(4):777-782.

[2] 陸 希, 孟 光, 李富才. 基于Lamb波的薄壁槽狀結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2012, 31(12): 63-67.

LU Xi, MENG Guang, LI Fu-cai, Lamb wave-based damage detection for a channel-like thin-wall structure[J].Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(12): 63-67.

[3] Nayfeh A H, Chimenti D E. Free wave propagation in plates of general anisotropic media[J]. Journal of Applied Mechanics, 1989, 56(4):881-886.

[4] 陳 軍, 李志浩, 林 莉,等. 鋁板中Lamb波檢測(cè)的實(shí)驗(yàn)研究[J]. 應(yīng)用聲學(xué), 2011, 30(2):98-104.

CHEN Jun, LI Zhi-hao, LIN Li,etal. Experiment investigations of Lamb waves in an aluminum plate[J]. Applied Acoustics, 2011, 30(2):98-104.

[5] 李鴻源, 徐 鴻, 田振華. Lamb波損傷散射及損傷成像的模擬[J]. 無(wú)損檢測(cè), 2012, 34(9):12-15，26.

LI Hong-yuan, XU Hong, TIAN Zhen-hua. Detection of damages in plates based on symmetric lamb wave [J]. Nondestructive Testing, 2012, 34(9):12-15，26.

[6] 魏云飛，盧 超.薄板腐蝕缺陷Lamb成像檢測(cè)的傳播模式的有限元模擬[J].測(cè)試技術(shù)學(xué)報(bào),2010,24(3):259-264.

WEI Yun-fei, LU Chao, Finite Element Modeling of Corrosion Image Detection Using Lamb Wave in Thin Plate[J]. Journal of Test and Measurement Technology, 2010,24(3):259-264.

[7] 艾春安, 王學(xué)勇, 劉 瑜. 薄板鋼結(jié)構(gòu)超聲檢測(cè)Lamb波激勵(lì)與模態(tài)分析[J]. 噪聲與振動(dòng)控制, 2012, 32(1):137-140.

AI Chun-an, WANG Xue-yong, LIU Yu. Ultrasonic Detection of Lamb Wave Stimulation and Modal Analysis of Thin Steel Plate Structure[J]. Noise and Vibration Control, 2012, 32(1):137-140.

[8] 吳 斌, 周 偉, 鄭 陽(yáng),等. 基于波結(jié)構(gòu)的Lamb波單一模態(tài)激勵(lì)仿真[J]. 無(wú)損檢測(cè), 2011,33(7):1-4，10.

WU Bin, ZHOU Wei, ZHENG Yang,etal. Excitation of single mode lamb wave simulation based on wave structure[J]. Nondestructive Testing, 2011,33(7):1-4，10.

[9] Mace B R, Manconi E. Modeling wave propagation in two-dimensional structures using finite element analysis[J]. Journal of Sound and Vibration, 2008, 318(4-5):884-902.

[10] Moser F, Jacobs L J, Qu J. Modeling elastic wave propagation in waveguides with the finite element method[J]. NDT & E International, 1999, 32(4): 225-234.

[11] 吳 斌, 周 偉, 何存富. Lamb波在搭接板中傳播規(guī)律的數(shù)值仿真研究[J]. 壓力容器, 2011, 28(6):24-30.

WU Bin, ZHOU Wei, HE Cun-fu. Experimental and Numerical Study of the Lamb Waves Propagation in Overlapping Plates[J]. Pressure Vessel Technology, 2011, 28(6):24-30.

[12] Terrien N, Osmont D, Royer D,etal. A combined finite element and modal decomposition method to study the interaction of Lamb modes with micro-defects [J]. Ultrasonic, 2007, 46(1):74-88.

[13] Diligent O, Grahn T, Bostr?m A,etal. The low-frequency reflection and scattering of the S0 Lamb mode from a circular through-thickness hole in a plate: Finite Element, analytical and experimental studies[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2002, 112(6):2589-2601

[14] 艾春安, 李 劍. Lamb波頻率方程的數(shù)值解法[J]. 無(wú)損檢測(cè), 2005, 27(6):294-296.

AI Chun-an, LI Jian. Numerical Calculation for Lamb Wave Frequency Equation[J]. Nondestructive Testing, 2005, 27(6):294-296.