金融數學的發展及其在證券投資組合中的應用

林承初

（廣西財經學院信息與統計學院 南寧市 530000）

金融數學最早作為學科出現是在上世紀80年代，Duffie認為金融數學是不確定條件下的不同時期框架證券組合選擇理論和資產定價理論，在金融數學中，套利、最優、均衡是最主要的概念，是金融數學研究思想的基礎。發展到今天，金融數學成為了金融學、數學、統計學和計算機科學的交叉學科，逐漸成為一門應用科學。

一、學科的產生與發展

1900 年，法國數學家Bachelier發表了學位論文《投機理論》，將股市運作視作一種布朗運動，假設其為絕對布朗運動，定義其到期日買方預期價格為：

式中：S-股票價格；X-執行價格；Vc-買方價格；φ-標準正態分布概率密度函數。

之后幾十年金融數學發展相對緩慢，直到20世紀中葉，計算機技術逐漸發展起來，金融數學利用計算機強大的運算能力，獲得了自身的發展，金融學的適用性逐漸被理論界、實務界和計算機數學界重視。

Markowitz在1959年又提出了證券選擇理論，主要研究單個投資者的資產組合行為。Sharpe-Lintner提出了資本資產定價模型，深入探討投資者的總體行為和市場資產定價內在機理。標準CAPM模型依據均值-方差理論以及一些嚴格假設，和實際出入較大。70年代之后，非標準狀態下的CAPM模型逐漸衍生出來，金融神童Ross提出了嶄新思路的套利定價理論：

1992 年，Duffie和Epstein使用隨機微分效用確定環境下的效用函數，獲得特殊情況的BSDE。1993年Antonelli提出了正-倒向隨機微分方程，1994年Ma Protter和Yong獲得了有效位FBSDE的一般形式，標志著有限維倒向隨機微分方程理論研究逐漸完善，在投資決策、期權定價和隨機微分效用等經濟理論實踐中提供了十分有力的分析和近似計算方法。

二、Copula-MCMC方法在證券投資組合中的應用

Copula能夠對金融市場不同資產相關結構復雜性進行良好描述，是一種特殊的多元變量分布，邊緣分布為（0，1）上的均勻分布。

（一）Copula函數、Sklar定理

隨機變量 X、Y邊緣分布函數 F（x）=Pr（X＜x） 和 G（y）=Pr（Y＜y），聯合分布函數為H（x，y）=Pr（X＜x，Y＜y）。Copula函數是一個能夠聯合單個邊緣分布和多元聯合部分的函數，連續多元分布函數中，單變量邊緣分布和多變量相依結構能夠分離開，Copula函數模式適用于描述任意邊緣函數多元分布函數。

（二） 相依性

1.線性相依

通過線性相關系數度量，線性相關系數為：

線性相關可以直接計算相關系數，線性條件下相關系數和協方差的計算比較方便，多元正態分布是一個相依性較強的普通度量，但是金融資產收益并非正態分布，具有明顯的厚尾分布特征，線性相關描述資產之間的相依性不足比較明顯。

2.秩相關

有Kendall秩相關和Spearman秩相關兩種，是連續隨機變量組，對稱并且范圍在-1-1之間。

（三）選取模型

Q-Q圖對樣本數據的鑒別比較直觀，通過觀察Q-Q圖上點是否在同一條直線上來確定樣本數據是否滿足正態相關，所以選擇Q-Q圖能夠比較清晰的反映樣本的擬合度。

（四）投資組合VaR計算

計算投資組合收益。收益和風險未必成正比，高收益不代表高風險。在金融市場中，投資者能夠根據數量化投資選擇風險低并且收益穩定的資產組合，比較符合大多數投資者的心理期望實際。

金融證券是經濟高度發展的必然產物，金融數學對證券投資組合的指導作用是十分顯著的，但是金融市場數據處理量巨大，離散型和連續性變量混雜，所以在研究金融數學模型的同時，研究高效的海量數據處理工具同樣十分必要。

[1]傅榮林.組合證券投資的概率準則模型探討[J].運籌與管理，2012，11（4）：97-105.

[2]侯為波，徐成賢.證券組合投資決策的β模型[J].應用數學，2010，13（3）：25-30.

[3]馬永開，唐小我.允許持有無風險資產的β值證券組合投資決策模型研究[J].系統工程理論與實踐，2010（12）：26-31.

[4]馬永開，唐小我.β值證券組合投資決策模型研究[J].數量經濟技術經濟研究，2013（11）：29-32.