建模思想在“替換”教學(xué)中的形成與應(yīng)用

唐學(xué)敏

數(shù)學(xué)建模思想就是把現(xiàn)實世界中有待解決或未解決的問題，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、理解問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題，并綜合運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與技能求得解決的一種數(shù)學(xué)思想方法。在解決“替換”問題時，我們在教學(xué)中應(yīng)該幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，在模型建立的過程中，讓學(xué)生更好地解決問題。下面我以六年級（上冊）“解決問題的策略”為例，談?wù)勛约旱乃伎寂c體會。

本課教學(xué)中的替換策略，包括倍數(shù)關(guān)系的等量替換和相差關(guān)系的等量替換。教學(xué)重點是讓學(xué)生充分理解替換策略的意義：把兩種量替換成一種量，從而順利地解決問題。難點是學(xué)生不易理解相差關(guān)系的等量替換；解決問題時，不知道該用什么方法來替換。基于以上理解，我認(rèn)為在教學(xué)中應(yīng)建立模型，運用模型幫助學(xué)生解決這類問題。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)建模思想的形成

1.創(chuàng)設(shè)情境，感知數(shù)學(xué)建模思想

在實際教學(xué)中，先讓學(xué)生根據(jù)例題分析數(shù)量關(guān)系，得出：6個小杯和1個大杯一共是720毫升；一個大杯的容量相當(dāng)于3個小杯的容量。然后出示例題圖，引導(dǎo)學(xué)生用畫圖初步感知：解決這個問題就需要根據(jù)大杯容量與小杯容量之間的關(guān)系，進(jìn)行一定的等量替換。如圖：

大杯換成小杯： 小杯換成大杯：

在這個教學(xué)過程中，學(xué)生通過尋找數(shù)量關(guān)系及觀察主題圖，得出：解決這個問題需要把兩種杯子換成一種杯子（即替換）。然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)主題圖畫出示意圖，即把直觀圖形抽象成幾何圖形，在抽象概括的基礎(chǔ)上，學(xué)生逐步理解替換的策略。學(xué)生把直觀圖形抽象成幾何圖形的過程，其實是把生活中的原型上升為數(shù)學(xué)模式的過程，學(xué)生初步感知了數(shù)學(xué)中的建模思想。

2.自主探究，體驗數(shù)學(xué)建模思想

有了對問題的思考，學(xué)生就會主動探究：該畫怎樣的圖形模式才能解決這類問題。這就要求學(xué)生抓住替換策略的本質(zhì)：兩種量替換成一種量。以此引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，如圖：

學(xué)生對問題進(jìn)行思考和探究，其實就是對解決這類問題作了一個模型假設(shè)。模型假設(shè)能幫助學(xué)生梳理思路，提取原有的知識并形成較完整的知識體系。在這個過程中，學(xué)生由最初抽象的幾何圖形到現(xiàn)在的數(shù)學(xué)表達(dá)式，恰恰體驗了數(shù)學(xué)模型的形成過程。這樣不僅培養(yǎng)了學(xué)生的建模意識，更為學(xué)生探究另一種數(shù)學(xué)模型增添了不少樂趣。

現(xiàn)將題中條件換成：1個大杯的容量比小杯多160毫升。引導(dǎo)學(xué)生思考，能不能用剛才建立的數(shù)學(xué)模型來解決？交流明白解決這個問題同樣要把兩種量替換成一種量，只不過替換過程中，總量發(fā)生了變化。如圖：

學(xué)生根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，比較容易理解相差關(guān)系的等量替換。再通過比較圖⑴和圖⑵兩種數(shù)學(xué)模型，學(xué)生都能清楚地認(rèn)識到：倍數(shù)關(guān)系的等量替換和相差關(guān)系的等量替換都是把兩種量變成一種量，不同的是倍數(shù)關(guān)系的等量替換，其總量不變；而相差關(guān)系的等量替換，其總量發(fā)生了變化。且進(jìn)一步引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，總量的變化也有規(guī)律可言。如，1個大杯換1個小杯，容量肯定減少，那么總量就會減少；而1個小杯換1個大杯，容量肯定增加，那么總量也會增加。

在教學(xué)過程中，學(xué)生能根據(jù)倍數(shù)關(guān)系等量替換的數(shù)學(xué)模型，建立相差關(guān)系等量替換的數(shù)學(xué)模型，不僅讓學(xué)生很好地掌握了重點，更突破了教學(xué)的難點。在圖⑵的模型建立過程中，學(xué)生充分體驗了數(shù)學(xué)模型的形成過程。在體驗中，學(xué)生獲得對問題的數(shù)學(xué)思考；在體驗中，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識；在體驗中，學(xué)生意識到利用數(shù)學(xué)模型解決問題的方便。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用

問題解決是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最基本的活動，數(shù)學(xué)教學(xué)最基本的任務(wù)就是學(xué)會解決生活實際中的一些問題。下面就是建模思想在實際問題中的應(yīng)用：（1）2個同樣的大盒和5個同樣的小盒裝滿球，正好是100個。每個大盒比每個小盒多裝8個，每個小盒和每個大盒各裝多少個？（2）小紅買了3支鉛筆和1支鋼筆共10.8元，一支鋼筆的單價是一支鉛筆的6倍，求鋼筆和鉛筆的單價。經(jīng)過短暫討論，同學(xué)們能夠正確解決這兩道題目，說明他們對倍數(shù)關(guān)系的等量替換和相差關(guān)系的等量替換能正確區(qū)分開來。這都?xì)w功于他們建立了這兩種替換的數(shù)學(xué)模型。從上述兩種模型上能清楚地看到，倍數(shù)關(guān)系的等量替換其總量沒有變化，而相差關(guān)系的等量替換其總量已變化，且總量的變化是有規(guī)律的。通過這一點，同學(xué)們很快就能判斷出第1題是相差關(guān)系的等量替換，第2題則是倍數(shù)關(guān)系的等量替換。（各選一種方法如下）

在運用模型解決這類題目時，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)：題目中裝得多的、價格貴的，我們可以把他們看作“大”的；而題目中裝得少的、價格便宜的，我們可以把他們看作“小”的，如此運用這兩個數(shù)學(xué)模型就更得心應(yīng)手了。

小學(xué)數(shù)學(xué)建模思想的形成過程是一個綜合性的過程，是數(shù)學(xué)能力和其他各種能力協(xié)同發(fā)展的過程。在這一過程中，學(xué)生易于形成實事求是的態(tài)度及進(jìn)行質(zhì)疑和獨立思考的習(xí)慣。因此，我們在教學(xué)過程中，應(yīng)注重學(xué)生建模思想的形成與運用，也為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)、可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。