在數學課堂教學中培養學生的發散思維能力

陳海燕

在深入實施素質教育的今天，我們的教育要培養富有創造力的人才。它的關鍵是培養學生的創造性思維能力，而創造性思維的兩個基本方面是發散思維和集中思維，其中發散思維是創造性思維的主要內容。

在教學中，教師要引導學生的思維由封閉狀態逐步到開放狀態，如果一味地重視分析和解決問題，不注意引導學生發現問題，長此以往，學生必將形成思維定勢，對培養學生的創造性思維產生較大的消極作用。

為了培養學生的發散思維能力，在課堂教學中要著重做到以下四點。

一、由條件到結論再由結論到條件

在數學教學中，要注意引導學生分析定義、定理、公式、法則和性質中的條件與結論——即要考慮什么樣的條件得到什么樣的結論，特別要注意隱含條件，同時還要考慮逆命題是否成立。

例如，講了“正數的絕對值是它本身”和“1的任何次方都等于它本身”后，讓學生思考：

（1）絕對值是它本身的數一定是正數嗎？

（2）平方等于它本身的數只有1嗎？

（3）立方等于它本身的數有幾？

講了“整式的乘除”后，讓學生計算：

講了“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”后，讓學生證明其逆命題。

這樣，在學生學習的過程中，經常引導學生分析條件與結論之間的互推關系，可以培養學生思維的流暢性和逆向思維能力。

二、注意橫向聯想或進行縱向引申

這里的所謂的橫向聯想，即平行變更命題條件，得出類似或相同的命題結論；所謂縱向引申，即不變或逐步放寬命題條件，不斷深化命題結論。

例1.求證：順次連接四邊形各邊中點所成的四邊形是平行四邊形。

學生掌握后，可讓其思考四邊形若變為：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，則結論將怎樣變化？接著可進一步提問：導致變化的關鍵性因素是什么？學生通過分析得到六個聯想發現，導致變化的關鍵性因素是原四邊形的對角線。

通過這一例題的學習，顯然學生的思維由一點擴散到了平面。

例2.求證：等腰三角形兩底角的平分線相等。

教師引導，學生掌握后問：若將等腰三角形的兩底角的平分線變為兩腰上的中線或高，結論將如何變化。又問：若將兩腰上的中線變為連接等腰三角形兩腰對應三等分點與底角頂點的線段結論怎樣；若將兩腰上的高變為向兩方延長等腰三角形底邊相等長度，其兩個外端點到兩腰的距離是否也相等；若將兩腰上的高變為底邊中點到兩腰的距離是否還相等；若改為等邊三角形，以上結果又會怎樣。

在命題教學中，經常引導學生進行發散性橫向聯想或縱向引申，是發展學生創造性思維的最好方法。這種方法可以培養學生思維的廣闊性和深刻性。

三、由特殊到一般與由一般到特殊

對于某些問題可以引導學生由簡到繁，由具體到抽象，由特殊到一般地進行推廣，而有些題目可以從一般結論中挖掘出它所包含的特殊結論。

例：三角形內角和等于180°。

1.提問：

（1）三角形的任意一個外角與它不相鄰的兩個內角之和有著怎樣的關系？與它不相鄰的任意一個內角有著怎樣的關系？

（2）直角三角形的兩銳角有怎樣的關系？

（3）若兩個三角形有兩對角對應相等，則第三對角有怎樣的關系？

（4）為什么說一個三角形中至少有一個角小于或等于60°？

2.填空：

（1）等腰直角三角形的兩個底角都等于？搖？搖 ？搖？搖度。

（2）等邊三角形的每個內角都等于？搖？搖 ？搖？搖度。

（3）三角形中至少有？搖？搖 ？搖？搖個銳角，最多有？搖？搖 ？搖 ？搖個直角或鈍角。

通過對定理所包含內容的挖掘，一方面可培養學生的發散思維能力，另一方面可使學生對定理有更全面的認識。

在教學中，經常引導學生由特殊到一般或由一般到特殊去探索問題，可以培養學生思維的抽象性和獨特性。

四、尋求解題通法總結解題規律

對于一些解法或證法相同的題目，可歸結到一起讓學生練習，使之發現解此類問題的共同方法，并掌握其內在規律。

（一）將有關兩圓相交的題目歸結到一起。

（二）將有關兩圓相切的題目歸結到一起。

（三）將有關三角形中線的題目歸結到一起。

（四）將有關垂線問題歸結到一起。

（五）將有關角平分線的題目歸結到一起。

學生做完以后，再分三步進行。

1.總結解題通法。通過這樣的分組練習，學生發現了解決同類問題的共同方法和規律，可先讓學生自己總結，然后教師補充。

見兩圓相交，可連公共弦；見兩圓相切，可作公切線；見三角形中線，可延長中線至于二倍；若題中出現較多垂線，則利用面積相等往往較簡單；若出現角平分線，則可考慮構造全等三角形。

2.分析內在原因。如果只要求學生把解題通法總結出來，那么學生只能掌握解決此問題的共同方法，而不能像老師這樣把一些題目聯系起來進行分析比較，發現其內在規律，為了培養學生發現問題、總結規律的能力，還需要問個“為什么”，因為公共弦、公切線是聯系兩圓的紐帶；延長中線至于二倍是溝通線段相等、角相等的渠道；利用角平分線得到兩個角相等構造全等三角形是由已知通往未知的橋梁。

在學生總結解題通法的基礎上，教師再引導學生揭示出其內在規律，這時學生已“心中有數”，“深有體會”，然后教師將學生發現的這些問題編成順口溜：“相交圓、公共弦；相切圓，公切線；見中線，等長延；多垂線，看面積；線分角，造形全。”以便學生記憶。

經常進行這樣的練習，可以激發學生的學習興趣，提高解題速度，培養學生發現問題、總結規律的能力。

我們在對學生進行發散思維訓練的同時，往往伴隨著集中思維訓練。這是因為發散思維與集中思維是矛盾的兩個方面，二者既對立又統一，相輔相成。

總之，任務事物不會是一個光滑的球，從每一個角度看都毫無變化，任務事物也總不會是一張白紙，看上去永遠毫無層次。應提倡發散思維，善于從不同角度、不同層次思考和解決問題，這樣才能真正培養學生的發散思維能力，才能構建學生的創造性思維體系。