模糊PID控制的原子力顯微鏡仿真平臺

陽 睿, 李英姿, 張立文, 蔣沙汝, 錢建強

(北京航空航天大學 a.儀器科學與光電工程學院； b.物理科學與核能工程學院； c.數學與系統科學學院，北京 100191)

0 引 言

原子力顯微鏡(Atomic Force Microscope，AFM)具有原子級成像能力，是納米技術研究的主要工具，其工作模式分為動態力模式和靜態力模式[1]，幅度調制模式為動態力模式的一種，工作在幅度調制模式下的AFM又叫幅度調制原子力顯微鏡(Amplitude Modulation Atomic Force Microscope，AM-AFM)，其對探針和樣品的損傷較小，還有較高的分辨率和線性工作范圍，已成為AFM應用得較為廣泛的一種工作模式[2-3]。

目前,我校本科實驗用原子力顯微鏡仿真平臺主要采用傳統的PID控制器進行控制[4]，實驗操作者往往需要反復調試才能找出一組控制效果較好的離線PID參數[5-8]，因此，在傳統PID控制器基礎上加入模糊系統的模糊PID控制器，實現了對PID參數的實時在線調整，相較于傳統PID能取得更好的控制效果。本文利用歐拉-伯努利方程對AM-AFM的動態過程進行建模，建立一套AM-AFM的仿真平臺，并以此檢驗模糊PID控制器對AM-AFM的控制效果。

1 仿真平臺的建立

AM-AFM工作時，探針在激勵信號驅動下進行振動，針尖周期性地與樣品接觸，將振幅與設定振幅之差輸入控制器產生控制量，對壓電陶瓷的伸縮量進行調整，使偏差趨于零，進而掃描出樣品表面形貌。

AM-AFM系統結構如圖1所示。探針在其諧振頻率附近以幾十納米的振幅振動，假如樣品高度增大，由于探針跟蹤的遲滯效應，探針-樣品間距離變小，引起探針振幅減小，由激光檢測器測得輸出振幅與設定振幅的偏差，PID控制器根據該偏差減少z方向壓電陶瓷管兩端電壓，提高探針高度，減小偏差，使得探針振幅盡可能保持在設定振幅，從而控制探針跟蹤樣品表面。為使模型簡化，將壓電陶瓷看成比例系數為1的線性環節。

圖1 幅度調制原子力顯微鏡系統結構圖

AM-AFM懸臂梁可看做一個彈性梁，其運動可以用歐拉-伯努利方程來描述[9]：

(1)

式中:w(x,t)為撓度，探針運動即為x=L時懸臂梁的撓度w(L,t);F0cosωt為作用于懸臂梁上的激勵信號;F(zc,z)為探針與樣品之間的相互作用力。

探針在掃描運動過程中會經歷接觸與非接觸兩種情形，由原子間距離a0進行劃分。當距離大于a0時，針尖與樣品之間的相互作用力為范德瓦爾斯力[10]；當距離小于a0時，針尖與樣品之間的斥力用DMT(Derjaguin-Müller-Toporov)[11]計算，則針尖與樣品的相互作用F(zc,z)可以表示為

(2)

式中:A為Hamaker常數;R為探針針尖的曲率半徑;E為樣品的彈性模量;ν為樣品的泊松比;η為黏性系數;h為樣品厚度;zc為懸臂梁的平衡位置;a0為原子間距離;E*為等效剛度。

利用振型分解法可以將歐拉-伯努利方程轉化成形如下式的n個常微分方程的求解[12]：

(3)

最終求解出探針運動函數w(L,t)為

(4)

2 模糊PID控制器設計

目前,AM-AFM一般采用PID控制器，傳統PID控制器的表達式如下：

(5)

式中:e(t)為誤差信號;uPID為控制量，即懸臂梁高度;Kp、Ki、Kd分別是比例、積分、微分系數。模糊PID控制器在傳統PID控制器上加入模糊系統，從而實現更加有效的控制。

2.1 模糊PID控制器的結構

模糊PID控制器在傳統PID控制器的基礎上，加入了一層模糊推理機，對PID控制器的Kp、Ki、Kd參數實現了實時在線調整，結構如圖2所示，克服了傳統PID控制器中存在的參數修改不方便、不能自整定等缺點，進一步完善了控制器性能，更好地適應了控制系統參數和工作條件的變化。

圖2 模糊PID控制器結構

2.2 模糊中心和隸屬度函數的選擇

假定Kp∈[Kpmin，Kpmax]，Kd∈[Kdmin，Kdmax]，并依據Kp0、Ki0、Kd0，將范圍取為：Kpmin=0.004Kp0，Kpmax=1.033Kp0，Kdmin=0.7Kd0，Kdmax=2.35Kd0。

為了方便，本文將參數Kp、Kd歸一化為0～1之間的數，有：

(6)

(7)

假定積分時間常數與微分時間存在如下倍數關系：

Ti=αTd

(8)

則積分增益可以通過下面的式子算出來：

(9)

圖3 PID參數換算圖

假定模糊系統的輸入偏差e和偏差變化率de的論域為連續區間[emin,emax]和[demin, demax]，將其分為7個模糊子集，分別用負大(NB)、負中(NM)、負小(NS)、零(ZO)、正小(PS)、正中(PM)、正大(PB)來描述，皆選用三角形隸屬度函數，如圖4所示。

圖4e和de的隸屬度函數

圖5 K′p和K′d的隸屬度函數圖6 α的隸屬度函數

2.3 模糊規則的建立

模糊規則的建立要從系統的穩定性、響應速度、超調量和穩態精度等方面考慮：比例系數Kp的作用是加快系統的響應速度，Kp過大，易產生超調，過小，則會使相應速度變慢，從而延長調節時間；積分系數Ki的作用是消除系統的靜態誤差，Ki越大，系統的靜態誤差消除越快，但Ki過大，在響應過程的初期會產生積分飽和現象，引起較大超調，Ki過小，將使系統靜態誤差難以消除；微分系數Kd的作用是改善系統的動態特性，在響應過程中對偏差變化進行提前預報，但Kd過大，會使響應過程提前制動，延長調節時間。

由此根據專家經驗總結出以下規律：

表1 的模糊規則表

3 仿真結果

基于上述仿真平臺，分別用PID控制器和模糊PID控制器對兩個典型樣品信號進行仿真，通過掃描圖像的對比，檢驗模糊PID對AM-AFM掃描過程的控制效果，仿真結果如下：

表2 的模糊規則表

表3 α的模糊規則表

(1) 樣品為高20 nm的一維臺階信號，仿真圖像如圖7所示，其參數設置如下：

PID控制器參數初值：Kp0=0.052，Ki0=618，Kd0=2.109×10-6。激勵頻率f=44.8 kHz，自由振幅Afree=50 nm，工作振幅Aset=30 nm，掃描速度v=2 μm/s，采樣周期與振蕩周期之比n=5。Hamaker常數10-19J，探針針尖半徑Rtip=20 nm，樣品楊氏模量Esample=50 GPa，探針楊氏模量Etip=130 GPa，樣品及探針泊松比υsample=υtip=0.3。

圖7顯示了樣品用傳統PID掃描和模糊PID掃描的圖像。傳統PID的參數取為Kp0、Ki0、Kd0，也就是模糊PID控制器的初始值。x坐標是采樣周期數，y坐標是垂直高度，掃描圖顯示為探針平衡位置高度。由圖可見，傳統PID掃描圖像上升沿的調節時間約為50個采樣周期，而模糊PID掃描圖像約為20個采樣周期，

圖7 臺階信號掃描對比圖

且超調量約為1.85%，由此可知采用模糊PID控制，系統在保持著極高的穩定性的同時，快速性也得到了很大的提高。

(2) 樣品為最大起伏至25 nm的三維復雜信號，仿真圖像如圖8所示，參數設置只需將上例中的掃描速度改為v=6.6 μm/s，采樣周期與振蕩周期之比改為n=10，其余設置相同。

圖8中，深灰色曲面的是樣品，淺灰色曲面是掃描圖像。圖8(a)為傳統PID掃描圖，圖8(b)為模糊PID掃描圖。x，y軸表示采樣周期數，z軸表示垂直高度，掃描圖顯示為探針平衡位置高度。三維復雜樣品的仿真結果直觀地體現了模糊PID對探針掃描過程的控制效果，可以看出(a)中圖像較樣品圖像有較大的滯后，相比之下，(b)中圖像更好地跟蹤了樣品表面，尤其是對于傳統PID難于跟蹤的凹坑，模糊PID控制的掃描圖像滯后明顯小于傳統PID，更顯示出前者控制品質的優越性。

(a) 傳統PID

(b) 模糊PID

4 結 語

基于歐拉-伯努利模型對AM-AFM探針動態過程進行建模，建立了一套AM-AFM仿真平臺。對AM-AFM掃描樣品表面過程進行有效的仿真，不僅為AM-AFM本科生實驗操作者提供了一定的指導，也為檢驗

模糊PID對AM-AFM的控制效果提供了有效的手段；結合Ziegler-Nichols法調出一組初始PID參數，將此初值運用于模糊系統參量范圍的確定及模糊中心和隸屬度函數的選擇上，并通過模糊系統適當地對PID參數進行實時調整，使得模糊PID控制取得了良好的控制效果；通過平臺進行掃描仿真直觀地反映出模糊PID對表面起伏較大的樣品掃描跟蹤具有較高的準確性和快速性， 明顯地體現出模糊PID相比于傳統PID控制的優越性，并為今后將模糊PID等智能控制運用于AFM實際操作等更深一步的工作提供了一定的依據。

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