“舉三反一”在數學概念形成過程中的應用——以“指數函數”概念教學為例

張鵬麗

（重慶師范大學 數學學院數學與應用數學專業，重慶 401331）

“舉三反一”在數學概念形成過程中的應用
——以“指數函數”概念教學為例

張鵬麗

（重慶師范大學 數學學院數學與應用數學專業，重慶 401331）

數學概念教學是數學教學的一個重要模塊，有效的概念教學有利于數學的教學。概念的形成過程作為概念教學的開門鎖，起到至關重要的作用。在概念的應用過程中要求學生“舉一反三”，熟練掌握所學知識，那么在教師可以將“舉三反一”的方法應用到概念的形成過程中，更有效地為學生引入概念，促進學生對概念的理解，發展學生的智力。

數學概念；概念形成；舉三反一

現代教學中要求培養學生“舉一反三”的能力，即通過一類事情類推而知道其他的多類事情，然而“舉三反一”是建立在掌握理解某一確定事情的基礎之上的，那么在學習某一類事情過程中，我們可以運用“舉三反一”的方法，即通過多類事情中歸納出一類事情。

一、“舉三反一”在數學概念教學中的含義

數學概念的形成過程是從大量具體的實例出發，根據實際經驗，分化出各種屬性，同化出共同屬性，抽象出本質屬性，再概括到一類事物中，形成概念。[1]在數學概念形成過程中，應用“舉三反一”將賦予其獨特的含義：通過多個實例的講解而歸納出其中蘊含著的不變的本質。其中“三”為多個實例，可以是生活實例，可以是與數學學科相關學科的實例，更可以是數學學科本身的實例；“一”為數學中抽象的概念。

二、“舉三反一”在數學概念教學中的應用緣由

數學中的某些概念是抽象的，難以理解。中小學生對于某些抽象概念的直接經驗較為淺薄，因此在老師將抽象的概念作為間接經驗傳輸給學生的過程中，要結合學生的直接經驗基礎，不能一味地灌輸，不注重方法的選擇。其實，人的認知過程是一個非常復雜的過程，我們要重視學生對概念的認識過程，以生動的講解和形象的比喻對概念作邏輯分析，為學生提供豐富、正確的感性認識途徑，為正確理解、記憶、應用數學概念打下扎實的基礎。[2]

“灌輸式”的教學方法只是把概念的具體內容強加給學生，學生只認識到概念的表面，沒有深刻理解概念的內涵。“舉三反一”聯系生活實際，實現了數學與生活實際相聯系的數學教學思想；“舉三反一”列舉了多種生活實例，豐富了課堂教學活動，便于激發學生的學習興趣；“舉三反一”講究教師與學生之間的互動，體現了探究式教學的理念，鍛煉了學生的探究問題、推理的思維能力。簡而言之，“舉一反三”深刻反映了數學概念形成過程中的實質，更有效地實現了數學概念形成過程的目標，更有利于學生對概念的掌握。

三、“舉三反一”在數學概念教學中的具體應用

（一）“舉三反一”的具體演示

“舉三反一”在指數函數概念教學中的具體演示如下：

1.教師活動：向學生展示有關指數函數的實例。

觀察1：某細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個……依次這樣進行下去，如果細胞分裂了x次，相應的細胞個數為y，如何描述這兩個變量之間的關系？

觀察2：國王在棋牌中放置麥粒，總計整個棋牌中的麥粒總數，擺放方法如下：第一個格子放2個麥粒，第二個格子放4個麥粒，第三個格子放8個麥粒……依次進行下去，則當放到第x個格子時，放置的麥粒個數為y，試寫出y與x的關系式。

觀察3：當生物死亡后，它機體內原有的碳14會按確定的規律衰減，大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”。[3]根據此規律，試寫出生物體內碳14含量y與死亡年數x之間的關系。

當死亡5730年時，y=0.5；

當死亡5730×2年時，y=0.5×0.5=（0.5）2；

當死亡5370×3年時，y=（0.5）2×0.5=（0.5）3；

…

當死亡x年時，y=？

觀察4：《莊子·天下篇》中寫到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”[4]請寫出取x次后，木棰的剩余量y與x的函數關系式。

2.學生活動：對每個實例進行觀察分析，小組進行交流討論，分組闡述觀點。學生可兩三個人為一個小組，對老師給出的實例進行分析，試著寫出各實例的函數關系式，并比較各關系式，找出其異同點，得到一般性結論。各小組將自己的成果總結整合，形成一致觀點，并踴躍地向老師提出自己的觀點。

3.教師活動：通過學生對上述四個情景的觀察和分析得到的探究成果，歸納出指數函數概念。教師針對各小組總結出的觀點進行客觀的評價，對于錯誤的觀點予以耐心的指導，令學生能夠正確認識到自己的錯誤；對于正確的觀點予以真誠的鼓勵與贊揚。再之，對學生的觀點進行提煉總結，歸納出令學生一致認可的指數函數概念：一般地，函數y=ax2（a＞0且a≠1）叫作指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R。[3]緊接著并對概念再加以詳細解說。

（二）“舉三反一”的過程分析

上述教學演示流程圖如下：

圖1

指數函數對高一學生來說是一個陌生的概念，與初中所學知識無太大聯系，絲毫不加修飾地教授學生指數函數的概念，這種教學方式下學生難以理解指數函數的抽象含義。在以上指數函數概念的形成過程中，運用“舉三反一”的方法，教師創設四個具體的情景：“細胞個數隨著分裂次數的變化的情境”、“棋牌的格子擺麥粒的個數隨著格子的變化的情境”、“生物體內碳14含量隨著死亡年數的變化的情境”“棰的長度隨著截取的次數的變化的情境”，聯系生活實際，易激發學生的學習興趣，接著引導學生通過觀察這四個情境變化的過程，在學生小組討論中找出兩個變量之間的關系，并通過比較兩個變量之間的關系，找出其中不變的特征，總結歸納出“指數函數”的概念。[5]

在上述教學演示中，充分發揮了教師的指導作用，以及肯定了學生的主體地位。教師給出切合教學主體的實例，使學生的探究中心切合主題；教師提出問題后，將課堂交給學生，讓學生學會解決問題的能力；學生在小組討論中，學會與他人合作交流，有利于課堂情感目標的實現；學生在解決問題中“舉三反一”，體會“舉三反一”的真諦，從中獲得學習數學的樂趣。教師評價各小組得出的結論，將課堂上對學生的評價落實到實處。

四、“舉三反一”應用的注意事項

（一）引入情境聯系生活實際，簡潔而切合

不同階段的學生發展狀況不同，引入情境要考慮學生的心理和生理發展特點，避免生僻、難以令學生理解，注重聯系生活實際，不教脫離生活的數學，另外概念教學中概念形成過程所占時間較少，因此引入情境應避免煩瑣、占用過多的時間，但是又在概念教學中起著重要的作用，不可省略過多。同時引入情境要符合學科和所學概念特點，力求一針見血，防止模糊不清、偏離課堂的主題，影響教學的正常進行。例如在上述指數函數教學中使用了生物、文學典故、生活等方面的例子，展現了數學與其他學科以及生活的聯系，易調動學生的學習好奇心和自信心，同時簡短易懂，可以在恰當的時間內完成教學任務。

（二）鼓勵學生主動探究，切勿“注入式”

對于抽象的概念，建議采用發現式教學，那么在“舉三反一”過程中，就要以學生為主體，教師僅起著引導的作用，放開禁錮學生的手，讓學生在積極探索中尋找知識的真諦。老師通過評價學生的發現，對學生的想法進行修正、認可，令學生認識到自身的不足或獲得不斷探索的鼓勵，促進學生身心的不斷發展。在上述指數函數概念教學中，學生在老師的指導下自主探究指數函數的概念，并由老師的評價過程來完善指數函數的概念，以保證指數函數概念的準確性。

“舉三反一”不僅可以在數學概念形成過程中應用，也可以擴展到數學的其他教學過程，并與“舉一反三”的方法相結合，可達到事倍功半的效果。“舉三反一”的方法也不局限于數學學科，在其他學科的教學過程中也可以滲透，促進學生對知識的有效掌握。

[1]李伯春，等.數學教育學[M].合肥：安徽大學出版社，2004：179.

[2]呂小兵.重視概念生成 強化數學能力——例談初中數學概念教學[J].數學教學通訊，2014，（04）：33-34.

[3]劉紹學，等.數學必修1A版[M].北京：人民教育出版社，2007：48，54.

[4]謝祥皓.莊子導讀[M].北京：中國國際廣播出版社，2008：298.

[5]毛大平.從“舉三反一”到“舉一反三”——“一次函數”優質課反思[J].教學月刊（中學版教學參考），2014，（01）：46-48.

G642.4

A

1674-9324（2014）51-0182-02

張鵬麗（1994-），女，山西臨汾人，本科在讀生，研究方向：數學與應用數學。