考慮初始形狀影響的耐壓球殼臨界載荷簡化計算公式

王 丹，萬正權

（中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082）

考慮初始形狀影響的耐壓球殼臨界載荷簡化計算公式

王 丹，萬正權

（中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082）

文章研究了在載人深潛器結構中承受高壓、保障潛員安全的耐壓球殼。文中通過對經典理論公式的分析和合理假設，引入幾何修正系數k細化了球殼臨界載荷計算表達式，該幾何修正系數體現了球殼本身的初始形狀，如初撓度、局部不圓度及板厚減薄等因素對其的影響。并通過回歸分析得到計算數據與試驗值吻合較好。同時，運用該公式對鈦合金球殼臨界載荷進行預報，同樣有較高精度。

耐壓球殼；臨界載荷；載人潛水器；初撓度

1 引 言

球殼是深潛裝備、航天航空、壓力容器及核工業等領域常用的一種結構形式。這與球殼自身具備的物理特性有著密切的關系。與相同質量的其他復雜結構相比較，球殼具有容重比高的特點，只要布置合理就能夠最大可能利用空間來承載；理想球殼的外表面受力均勻，在周向和徑向的應力值相同，計算時只需關注膜應力數值即可控制設計參數；因其結構簡單，在理論計算或數值模擬過程中選擇的參數較少，變量僅剩厚度與半徑。無論是深潛還是航天航空領域，選擇球形結構作為載人艙都是比較適當。

球形載人艙肩負保障水下潛員安全、提供生命保障及作業條件方面的重任，球殼一旦發生失穩、破壞，后果將不堪設想。一直以來，球殼的安全性受到科研人員的廣泛關注，各國科研人員對各種材料制成的球殼結構進行了大量的理論與試驗研究，取得了豐碩的科研成果。而大多數科研是針對球殼的安全性進行的，如將球殼的安全性參數化，可用極限承載能力來衡量，而承載能力一般可以用強度和穩定性這兩個特征來表示。隨著科學技術的發展，材料學、晶像學在微觀和宏觀領域的研究，用于加工球殼的材料其本身強度均已達到深潛要求。然而，球殼成形的過程與許多不利因素有著緊密的關聯，如材料的非線性變形、殼體與理想形狀之間的初始偏差（初撓度）、板材滾軋減薄、焊接殘余應力及其他工藝內應力等。這些因素在一定程度上都會影響到球殼的穩定性，它們的存在會使球殼損失一定的承載能力。

到目前為止，我國科研人員對球殼問題進行了長期不懈的研究，如羅培林[1]從實際工程使用中球殼的歐拉應力一般高于材料的屈服極限出發，應用兩個經驗常數來反映生產工藝過程對球殼承載能力的影響；在文獻[2]中，作者根據梁柱失效原理，用極限應力函數來分析球殼的穩定性，獲得較好的計算結果；劉濤[3]通過對材料非彈性模量的數據擬合分析，用直線擬合切線彈性模量，獲得高精度耐壓球殼失穩臨界壓力計算公式；陸蓓、劉濤、崔維成[4]通過有限元分析方法，提出合理的有限元分析模型并研究了初撓度的影響，給出了完善的耐壓球殼極限強度與經典值的比值曲線以及初撓度效應曲線；俞銘華，王自力等[5]對潛水器耐壓球殼結構研究進展進行了綜述，并利用有限元對不同深度潛水器進行分析[6]，獲得初始缺陷對耐壓球殼承載能力的影響曲線；潘彬彬，崔維成[7]對深潛器載人球殼各國船級社規范設計公式進行了比較，指出公式計算的球殼厚度大多偏厚，需要制定統一的球殼設計公式；王丹，邱昌賢等[8]通過球殼模型試驗及有限元數值模擬與泰勒水池公式、俄羅斯公式計算結果進行比較，分析初撓度對球殼的影響，提出這兩種公式計算結果較為保守，有必要對其修正系數進行調整。

由前述研究可以看出穩定性問題求解大多通過理論計算和有限元分析來研究，而最有效的檢驗方法是進行模型試驗，通過模型試驗可以獲得球殼實際失穩壓力、失穩形態以及臨界應力，有助于對修正系數進行調整，得到更精準的計算公式。本文從球殼的經典理論公式與經驗公式著手分析，簡化了球殼臨界載荷計算公式，并利用模型試驗結果進行回歸分析，驗證幾何修正系數的臨界載荷計算公式。

2 球殼的臨界載荷計算

2.1 理想球殼理論臨界載荷

在進行球殼極限承載能力的理論分析時一般會做基本假定，假設球殼材料無強化，具有基本的拉伸曲線圖；初撓度形狀為圓形，失穩形狀與初撓度形狀相同，可以通過求解軸對稱問題來解決初撓度對結構承載能力的影響問題。

在實際分析方法中，由理想材料制成的具有正確形狀的球殼理論臨界載荷一般采用著名的崔林（Zoelly）關系式表示，即

其中：v為泊松比；E為彈性模量，MPa；R為球殼中面半徑，mm；t為殼板平均板厚，mm；對于鋼制球殼，其泊松比v=0.3，公式（1）可以表示為：

2.2 非理想球殼理論臨界載荷

對非理想球殼進行分析時，需要考慮球殼的加工工藝、殼板真實厚度與額定厚度之間的偏差、球殼局部半徑變化、真實球殼與理想球殼之間的偏差、材料性能、焊接殘余應力等因素。厚度、半徑等參數均可通過測量工具獲得較為精確的數值，一般選擇初撓度進行理論分析。球殼表面產生的初撓度對球殼本身產生附加彎曲作用，隨著壓力的不斷增加，附加彎曲的作用也逐漸增強，引起塑性變形的力與彎矩也會隨之增大。當球殼殼板不能抵抗初撓度引起的附加力和力矩時，就會發生失穩。因此，要獲得真實的非理想球殼理論臨界載荷就需要對理想球殼理論臨界載荷進行修正。

Paliy教授在1991年就發表了關于殼體承載能力的文章[9]，其中帶有修正系數的公式如下：

將（2）式代入（3）式中得到相應的理論臨界應力關系式為

該公式已經應用在俄羅斯載人潛水器及深潛裝備的分類和建造規范之中[10]。其中，α取值為：柱殼取0.95，球殼取1.2。β系數與很多不利影響有關，主要考慮了材料的機械性能、初撓度、焊接內應力及其他工藝內應力等。

這里，β1=1/（1+（2.8+f ′）f2/3），f′為相對初撓度，f′=f/t，f為球殼偏離理想形狀的最大初撓度；σ′為相對應力，σ′=σ/σs，σ 為臨界載荷情況下對應的臨界應力。

將α取值代入（5）式中并結合（2）式得到

2.3 帶幾何修正系數k的臨界載荷計算公式

由（4）式和（7）式可以看出，兩種情況下的理論臨界應力比值中隱藏了修正系數β，則實際情況下的非理想球殼的承載能力關系式（6）可以變換為：

此時，利用（6）式，實際臨界載荷情況下的臨界應力可以寫作：

如何能將球殼承載能力計算公式繼續細化，不僅能直觀地看出球殼半徑與殼板厚度之間的關系，還能更加準確地計算出球殼的承載能力，這需要進行合理假設。引入材料屈服極限σs，假設其與σ之間的關系為

將（3）式和（9）式代入（8）式可以得到：

其中：k為幾何修正系數，與球殼的厚度和半徑變化量以及初撓度值有著密切的關系。將厚度和半徑變化量的影響記作kt、kr，其值可以通過測量得到真實球殼的半徑和板厚，并用（11）式和（12）式；將初撓度在臨界弧長內的變化量的影響記作kf，kf=（1- fmax′ ），fmax′是最大相對初撓度，fmax′=fmax/t ，fmax為球殼實測最大初撓度值，有正負之分，負值表示凹陷，正值表示凸起，一般情況下認為最危險的狀態是凹陷，在（12）式中fmax只取最大凹陷值。

kt、kr按照下式進行計算：

其中：tc為殼板平均厚度，通過初始形狀測量獲得，這樣可以獲得帶有幾何修正系數的球殼臨界載荷計算公式：

3 球殼模型臨界載荷試驗值與計算值的比較

3.1 球殼的靜水外壓試驗

中國船舶科學研究中心水下工程結構試驗室針對2個（Q1-Q2）參數（直徑、厚度、材料）相同，3個參數不同的球殼（Q3-Q5）進行初始形狀測量，得到其初撓度值、局部凹凸度和殼板平均厚度等，之后對這些球殼分別進行了靜水外壓試驗。

Q1-Q2模型直徑較小，為半球焊接，最大相對初撓度值小于0.15，失穩壓力較高；Q3-Q4模型直徑較大，為瓣片式焊接（赤道面無對接焊縫），焊縫較多，最大相對初撓度達到0.43，失穩壓力偏低；Q5模型直徑較大，亦瓣片式焊接（赤道面有對接焊縫），焊縫與焊縫錯開對接，最大相對初撓度僅0.15，在20 MPa靜水外壓情況下未發生失穩。球殼模型相關參數及失穩壓力[11-13]列入表1，模型失穩后形狀見圖1和圖2。

表1 球殼模型主要參數及失穩壓力Tab.1 Main parameters and buckling loads of the spherical hull models

圖1 Q1、Q2失穩形態Fig.1 The buckling shapes of Q1 and Q2

圖2 Q3、Q4失穩形態Fig.2 The buckling shapes of Q3 and Q4

3.2 計算值與試驗值的比較

應用本文給出的計算公式，根據5個球殼模型的實際測量數據計算臨界載荷。將計算值與試驗值進行比較，表2中列出了臨界載荷計算值與試驗值之間的偏差。

表2 利用本文給出方法對球殼模型臨界載荷的計算Tab.2 Calculation of the critical loads for spherical hull models by the present method

圖3是計算數據與試驗值的趨勢線。分析了在k值一定的情況下，最大相對初撓度與臨界載荷之間的關系。利用回歸分析對試驗結果與計算結果進行比對，其相關系數達到99%以上。

表3 三種方法計算結果與試驗結果的比較Tab.3 Comparison between calculation results of the three methods and test results

圖3 本文方法計算值與試驗值趨勢線Fig.3 Calculation and test values trend lines

圖4 當kt/kr=0.95時的臨界載荷曲線Fig.4 Critical load curves for kt/kr=0.95

本文提供的計算方法與試驗值之間的偏差較小，最大偏差為6.7%；用俄羅斯方法的最大偏差為15.4%，而用泰勒水池方法的偏差為30%，通過算例比較，本文方法更接近實際情況。

圖4中以5個球殼模型為例，給出利用本文所給計算公式計算得到當kt/kr=0.95時的臨界載荷曲線。可以看出在薄殼范圍內，球殼的臨界載荷隨著半徑厚度比的增加而減小；在相同R/t的情況下，臨界載荷隨著初撓度的增加而降低。

4 應用本方法對鈦合金耐壓球殼的臨界壓力進行計算

根據鈦合金球耐壓球殼模型的主要參數，運用本文方法進行臨界載荷預報，與試驗值對比結果見表4。

表4 鈦合金球殼模型主要參數及臨界載荷計算結果Tab.4 Main parameters and calculation results of critical loads for titanium alloy spherical hull models

可以看出運用本文方法預報的鈦合金球殼模型臨界載荷與其靜水外壓試驗值比較吻合，最大偏差不超過7.3%。該方法可以運用到鈦合金球殼臨界載荷的預報中。

5 結 論

本文未考慮焊接殘余應力及其他裝配內應力對球殼臨界載荷的影響，下面給出根據本文簡化公式計算及分析得到的結果：

（1）簡化公式需要得知精確的初始形狀測量數據，如板厚、半徑、初撓度或不圓度等才能得到更接近實際情況的計算結果；當球殼為精加工模型時（球殼的半徑變化不大，且初始缺陷較小），影響承載能力的因素主要是殼板厚度；

（2）當球殼的半徑、厚度變化量的關系kr/kt變化不大時，初撓度對球殼的影響更加顯著；當初撓度值增加5%左右，臨界載荷會隨之降低，泰勒水池方法降低約11%[8]，俄羅斯方法降低約5%，本文方法隨初撓度的增加表現出非線性變化，初撓度每增加5%，臨界載荷降低量從5%～7%逐漸增加；

（3）在薄殼范圍內（R/t＞20），臨界載荷隨著R/t的增大而減小，本文方法適用于鈦合金制造的球殼結構臨界載荷計算；

（4）本文方法預報的臨界載荷與試驗值的某些偏差超過5%，需要對簡化計算公式進行進一步的修正，使得計算結果與試驗值更加接近；

（5） 根據強度標準（σ≥0.85σs）的要求反推得出：k=kf·kt/kr≥0.85；此時，即從強度方面限制了球殼厚度、半徑及初撓度的變化量參與求解球殼穩定性問題。

[1]羅培林.厚球殼的極限載荷-均勻壓力-計算與模擬試驗方法的改進,1976,手寫稿.1994-2012 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net.[J/OL].

[2]羅培林.用極限分析方法分析梁柱和球殼的穩定性[J].哈爾濱工程大學學報,1981,2:21-50.

[3]劉 濤.大深度潛水器耐壓殼體彈塑性穩定性簡易計算方法[J].中國造船,2001,42(3):8-14.

[4]陸 蓓,劉 濤,崔維成.深海載人潛水器耐壓球殼極限強度研究[J].船舶力學,2004,8(1):51-58.Lu Bei,Liu Tao,Cui Weicheng.Ultimate strength of pressure spherical hull in deep-sea manned submersibles[J],Journal of Ship Mechanics,2004,8(1):51-58.

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[6]王自力,王仁華,俞銘華,李良碧.初始缺陷對不同深度載人潛水器耐壓球殼極限承載能力的影響[J].中國造船.2007,48(2):45-50.

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[8]Wang Dan,Qiu Changxian,Wang Yongjun,Wan Zhengquan.Theoretical and experimental research of spherical pressure hull[C].船舶與海洋結構力學學術會議,2011:68-76.

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[10]Правила классификации и постройки обитаемых[Z].подводных аппаратов и глубоководных водолазных комплексов[Z].1993.

[11]王 丹,楊華偉,王永軍.超大潛深耐壓球殼開孔模型試驗[R].無錫:中國船舶科學研究中心科技報告10696,2010.

[12]王 丹,王永軍.超大潛深耐壓球殼無開孔模型試驗[R].無錫:中國船舶科學研究中心科技報告10171,2010.

[13]王 丹,楊華偉,王永軍.超大潛深耐壓球殼模型理論與試驗分析報告[R].無錫:中國船舶科學研究中心科技報告10351,2010.

Simplified calculation formula for critical load of spherical pressure shell considering the influence of initial shape

WANG Dan,WAN Zheng-quan
(China Ship Scientific Research Center,Wuxi,214082,China)

The spherical pressure shell main structure of manned submersible which is under great pressure and provides the security of human is researched.A new formula for calculating critical load of the spherical shell which bases on classic theory and considers the correction coefficient k is introduced.The influences of initial shape are shown,for example,initial deflections and out-of-roundness and thickness thinning in the manufactory technical,etc.The calculated data agree well with the experimental data by the regression analysis.The critical load of titanium spherical shell predicted by this formula is very precisely.

spherical pressure shell;critical load;manned submersible;initial deflections

U661.4

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.05.010

1007-7294（2014）05-0557-08

2013-10-28

王 丹（1981-），女，中國船舶科學研究中心工程師，E-mail：wangdan21@hotmail.com；

萬正權（1962-），男，研究員，博士生導師。

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