基于頻率測量的兩端彈性固定等截面梁縱向受壓彈性失穩載荷近似估算方法

杜 玲，李范春

（大連海事大學 交通運輸裝備與海洋工程學院，遼寧 大連 116026）

基于頻率測量的兩端彈性固定等截面梁縱向受壓彈性失穩載荷近似估算方法

杜 玲，李范春

（大連海事大學 交通運輸裝備與海洋工程學院，遼寧 大連 116026）

文章以動力學方程為基礎，得出關于兩端彈性固定縱向受壓梁的橫向固有頻率與壓力荷載的精確表達式；通過變分得出其近似表達式。兩端彈性固定端選取四種典型剛性系數為例，輔以圖示法將精確解與近似解進行比較，得到自由端附有質量的軸壓懸臂梁的固有頻率的平方與軸向力呈近似線性關系的結論。通過計算，近似解與精確數值解相差很小，精度滿足工程上的要求。以此為依據，只要能夠測出兩種不同載荷下的固有頻率，就可以通過近似線性的結論識別出兩端彈性固定受壓結構的彈性失穩荷載，因此文中提出了一種無損檢測的分析方法。

軸壓梁；固有頻率；變分；彈性失穩；荷載識別

1 引 言

隨著近年來海洋開發“熱”的升溫，特別是專屬經濟區資源勘探和開發的實施，海洋工程技術得到了迅猛發展，21世紀人類將全面步入海洋經濟時代，海洋開發和利用需要先進的海洋工程技術和各種海洋工程結構物的支撐。對于深潛工作船、海洋工作平臺等水中工作結構，其結構復雜，體積龐大，造價昂貴。由于工程上的需要，其工作水深和上部結構重量越來越大，這就造成了結構承受的壓力荷載越來越大。因此，結構發生屈曲失穩的可能性將會增大。如何在結構設計初期了解壓力載荷對結構固有頻率及結構動響應的影響、預估其失穩荷載和在結構建成后采用無損實驗方法確定結構的失穩荷載并進行安全監測，使結構系統安全運行正越來越引起工程界的廣泛關注。

利用結構或構件的振動特性進行失穩監測和預估屈曲荷載的概念可以追溯到20世紀30年代，20世紀70年代起，以Singer為代表的西方學者，結合航空航天事業的發展，利用振動頻率特性預估屈曲載荷方法對金屬析條加筋圓柱殼進行了深人的研究，發現在臨界屈曲前，高載荷處的頻率急劇下降[1-2]。2004年Auciello等人[3]給出了軸向荷載作用下非等截面梁動力響應的一般解。2005年?z等人[4]研究了不同邊界下橫向運動梁—質量系統的自然頻率。

國內對結構的失穩荷載無損檢測和荷載識別方法的研究，最早大至于80年代中期開始。1989年胡[5]提出了側向柔度法來檢測火箭殼體的失穩荷載，該方法是一種類似Southwell方法的近似靜力方法。1997年徐等人[6]對潛艇耐壓殼體穩定性的振動監測技術方法進行了討論。2001年王等人[7]在進行潛射導彈安全發射深度的研究中，采用有限元法研究了潛水深度對結構自振特性的影響，得出了彈體的固有頻率隨發射深度的增加而減小的結論。2003年雷等人[8]對復合材料圓柱殼失穩載荷的振動監測進行了實驗研究，文中采用多項式來逼近軸壓和外壓層合圓柱殼的一階固有頻率平方與外載荷之間的關系曲線，得到的層合圓柱殼屈曲載荷的預估值具有一定的實用價值。

如何通過非破壞方式對結構失穩載荷進行識別和確定是橋梁工程、海洋平臺等許多工程領域迫切需要解決的問題。本文通過研究，最后給出了受壓梁結構的無損檢測分析方法并為進一步研究荷載識別提供了理論依據。

2 兩端彈性固定縱向受壓梁的橫向固有頻率與壓力荷載之間的關系

兩端彈性固定縱向受壓梁，如圖1所示，設振動時，x截面在t時刻的撓度為y（ x，t）；梁的單位體積質量為ρ，橫截面積為A，抗彎剛度為EI，兩端的彈性固定端的剛性系數分別為K1，K2，慣性力ρAdx與加速度反向。取微元dx，如圖2所示，利用達朗伯原理有ΣY=0，ΣM=0，略去高階小量整理可以得到，

圖1 兩端彈性固定軸壓梁Fig.1 The compressed beam fixed at both ends with allowed angel

圖2 微元dxFig.2 Infinitesimal element dx

3 兩端彈性固定縱向受壓梁的橫向固有頻率與壓力荷載之間關系的近似表達式

由此可見，我們可以通過求解泛函δV的駐值，來求出軸壓彈性固定端梁方程的近似解。

圖3 K1=80，K2=100軸壓兩端彈性固定的精確數值解與近似解Fig.3 Analytical solution and approximate solution between square of natural frequency and axial pressure of compressed beam fixed at both ends with allowed angel of K1=80,K2=100

將（29）式代入（14）式中，整理得到 K1=80，K2=100 時的近似解。

K1=80，K2=100的精確數值解與近似解固有圓頻率的平方與軸壓載荷之間的關系曲線如圖3所示。

由圖3可以看出，該近似解的精度很差。于是，應用康托洛維奇—里茲雜交法對K1=80，K2=100時的近似解進行改進。于是令

4 精確數值解與近似解對比

當K1=50，K2=50時，縱向壓力下的兩端彈性固定梁的精確數值解（22）與改進后的近似解（34）的圖形如圖4所示。當K1=50，K2=80時，縱向壓力下的兩端彈性固定梁的精確數值解（23）與改進后的近似解（36）的圖形如圖5所示。當K1=80，K2=100時，縱向壓力下的兩端彈性固定梁的精確數值解（24）與改進后的近似解（33）的圖形如圖6所示。當K1=100，K2=100時，縱向壓力下的兩端彈性固定梁的精確數值解（25）與改進后的近似解（37）的圖形如圖7所示。其中，實線為精確數值解，點劃線為近似解。

圖4 K1=50，K2=50軸壓兩端彈性固定梁的 精確數值解與改進后的近似解 Fig.4 Analytical solution and improved approximate solution between square of natural frequency and axial pressure of compressed beam fixed at both ends with allowed angel of K1=50,K2=50

圖5 K1=50，K2=80軸壓兩端彈性固定梁的 精確數值解與改進后的近似解Fig.5 Analytical solution and improved approximate solution between square of natural frequency and axial pressure of compressed beam fixed at both ends with allowed angel of K1=50,K2=80

圖6 K1=80，K2=100軸壓兩端彈性固定梁的精確數值解與改進后的近似解Fig.6 Analytical solution and improved approximate solution between square of natural frequency and axial pressure of compressed beam fixed at both ends with allowed angel of K1=80,K2=100

圖7 K1=100，K2=100軸壓兩端彈性固定梁的 精確數值解與改進后的近似解Fig.7 Analytical solution and improved approximate solution between square of natural frequency and axial pressure of compressed beam fixed at both ends with allowed angelof K1=100,K2=100

5 結 論

當K1與K2取不同值時，其最大預應力的誤差如表1所示

表1 最大預應力的誤差Tab.1 Deviation of the largest pre-stressed

從圖4至圖7可以看出，縱向壓力下的兩端彈性固定梁的精確數值解和改進后的近似解十分接近，兩條曲線的走勢基本吻合，在各點的變化趨勢中也是一致的。所以，我們得出了在彈性范圍內縱向壓力下的兩端彈性固定梁的橫向固有頻率的平方與軸向壓力非常接近線性關系的結論。從表1可以看出，縱向壓力下的兩端彈性固定梁的精確數值解和改進后的近似解得到的最大預應力雖然存在一定誤差，但可滿足工程上對精度的要求，因而，我們可以選擇小于臨界值的實驗荷載，通過記錄兩種狀態隨著荷載增加固有頻率的變化，就可以確定該梁的臨界荷載。

[1]Singer J.Recent studies on the correlation between vibration and buckling of stiffened cylindrical shells[J].Flight Science and Space Research,1979,3(6):333-343.

[2]Singer J,Prucz J.Influence of initial geometrical imperfect ions on vibrations of axially compressed stiffened cylindrical shell[J].Journal of Sound and Vibration,1982,80(1):117-143.

[3]Auciello N M,Ercolano A.A general solution for dynamic response of axially loaded non-uniform Timoshenko beams[J].International Journal of Solids and structures,2004,41:4861-4874.

[4] ?zHR,?zkaya E.Natural frequencies of beam-mass systems in transverse motion for different end conditions[J].Mathematical and Computational Applications,2005,1(3):369-376.

[5]胡善超.殼體軸壓失穩載荷的非破壞預示[J].宇航學報,1989(2):53-59.Hu Shanchao.Nondestructive estimation of critical loads for shells subjected to axial loads[J].Journal of Astronautic,1989(2):53-59.

[6]徐順棋,陳志堅等.潛艇耐壓殼體穩定性的振動監測技術[J].振動與沖擊,1997,16(4):60-64.

Xu Shunqi,Chen Zhijian,et al.Vibration monitoring techniques of the submarine hull stability[J].Vibration and Shock,1997,16(4):60-64.

[7]王宗利,金占禮,林啟榮,劉正興.潛水深度對結構自振特性影響的數值分析[J].機械強度,2001,23(3):344-346.

WANG Zongli,JIN Zhanli,et al.Numerical analysis of the influences of water depth on the vibration characteristics of submatine structures[J].Journal of Mechanical Strength,2001,23(3):344-346.

[8]雷勇軍,唐國金.卓曙君,周建平.復合材料圓柱殼失穩載荷的振動監測[J].實驗力學,2003,18(3):383-38.

Lei Yongjun,Tang Guojin,et al.Determination of the buckling loads of composite cylindrical shell by vibration inspecting[J].Journal of Experimental Mechanics,2003,18(3):383-388.

Elastic buckling load approximate estimation method of uniform beam elastically fixed at both ends by longitudinal compression based on frequency measurement

DU Ling,LI Fan-chun
(Transportation Equipments and Ocean Engineering College,Dalian Maritime University,Dalian 116026,China)

Basing on the dynamics equation,the exact expression for horizontal natural frequency and pressure loads of the axis pressure beam fixed at both ends with allowed angel is obtained;the approximate expression is derived from the variational method.Take four kinds of typical rigidity coefficients for example at both elastic fixed,graphic method as an auxiliary to compare the exact solution and approximate solution,the conclusion of the relationship between the square of the natural frequency and the axial force of the axis pressure beam fixed at both ends with allowed angel can be obtained,which is approximately linear relationship.By calculating,it is shown that the difference between the approximate solution and the exact numerical solution is small,and the accuracy can meet the engineering requirements.As a basis,as long as the natural frequency in two different load can be measured,the elasticity instability load of the compression structure fixed at both ends with allowed angel can be identified by approximately linear conclusion,and therefore an identification method of instability load is presented.

compressed beam;natural frequency;variation;elastic buckling;load identification

李范春（1960-），男，教授，博士生導師，E-mail：Lee_fc@126.com。

U661.1

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.05.014

1007-7294（2014）05-0591-08

2013-09-05

國家自然科學基金項目（5100906）

杜 玲（1983-），女，大連海事大學博士研究生，E-mail：duyige0729@126.com；