基于軌跡線性化和自適應模糊系統的導彈自動駕駛儀設計①

肖 科，雷虎民，邵 雷，段朝陽，王 君

(1．空軍工程大學防空反導學院，西安 710051;2．中國空空導彈研究院，洛陽 471009)

0 引言

軌跡線性化控制(TLC)是一種解決非線性、強耦合系統控制問題的新方法，在導彈、移動機器人和非最小相位系統等工程設計中得到廣泛運用，且取得了良好的控制效果［1－2］。同時，許多學者利用模糊系統或神經網絡的逼近特性，將軌跡線性化與模糊系統或神經網絡相結合，以提高控制系統的魯棒性［3－4］。但是，上述逼近過程不可避免地存在逼近誤差，不能達到理想的控制效果。為消除逼近誤差的影響，一般引入一個魯棒補償項。該補償項的確定需要一個確切的最小逼近誤差界，而該值無法直接測量得到，只能進行估計［5］。文獻［6］采用直接假定最小逼近誤差界的方法，這樣可能會導致2種情況:一是估計值太大，使得控制律設計過于保守;二是估計值太小，導致控制系統失穩。文獻［7］采用在線自適應調節的方法來估計最小逼近誤差的界，合理、較好地解決了這個問題，且適用性更廣。

本文研究了導彈系統的非線性、強耦合性和不確定干擾問題，設計了一種新的魯棒自適應導彈自動駕駛儀。使用軌跡線性化方法解決快回路非線性和強耦合性，將系統不確定和外界干擾引入慢回路，繼而用自適應模糊系統逼近慢回路動態模型，在最小逼近誤差界未知的情況下，借鑒文獻［7］的估計方法，設計自適應魯棒補償項。該自動駕駛儀能夠消除系統不確定性和外界干擾對系統性能的影響。

1 導彈的非線性動態模型

考慮如下導彈的非線性動態模型:

由式(1)可知，導彈的動態模型具有很強的非線性和耦合性。根據時標分離原則，可以將導彈的非線性動力學模型分為快、慢回路。其中快變量為x1=［ωzωyωx］T，慢變量為 x2=［α β γ］T，快回路控制輸入量為 u1=［δzδyδx］T，慢回路控制輸入量為 u2=［ωzωyωx］T，與快變量 x1一致。f1(x1，x2)是關于狀態量 x1和x2的光滑函數向量，f2(x2)是關于狀態量x2的光滑函數向量，g1(x1)與g2(x2)分別為關于狀態量x1和x2的矩陣函數。則導彈的快、慢回路的動力學方程可表示為

考慮建模時的誤差和外界擾動，將式(2)改寫為

式中 Δf1(x1，x2)、Δg1(x1)和 Δf2(x2)、Δg2(x2)分別代表快回路和慢回路中因參數攝動所導致的不確定性;ζ1、ζ2分別為快回路和慢回路中的外部擾動;Δx1代表快回路中的總的不確定作用量Ω1對造成的影響，并在慢回路中體現。

2 快回路軌跡線性化控制器設計

文獻［7］采用動態逆方法對快回路進行控制，迫使快變量的變化率快速跟蹤控制指令的變化，而忽略快回路中的參數的攝動和外界的擾動對快變量的影響，將參數攝動與外擾歸入慢回路進行處理，削弱了系統的魯棒性。因此，本文采用軌跡線化方法對快回路進行控制，既能快速跟蹤控制指令，又能減弱快回路對慢回路的擾動。

快回路動態模型:

其中，x2(k)為快速跟蹤微分器的微分輸出;r為跟蹤因子，且r越大，其跟蹤速度越快。其余相關參數含義詳見文獻［9］，在此不再贅述。

其中，

利用微分代數譜理論設計狀態反饋控制律［2］:

閉環跟蹤誤差方程:

由此得快回路標準TLC控制律:

由文獻［10］中定理4．13可知，線性時變反饋控制律(10)可保證非線性系統(8)在平衡點e(t)=0處指數穩定。根據擾動系統理論［10］，當模型誤差‖d‖較小時，TLC控制律可保證快回路跟蹤誤差有界。

3 慢回路自適應模糊控制器設計

上節基于軌跡線性化方法設計了快回路控制器，在一定程度上削弱了快回路中不確定性帶來的影響，并減小了附加到慢回路中的不確定性輸入Δx1。同時，針對慢回路存在的參數攝動和外界擾動，以及從快回路引入的不確定性輸入Δx1與前二者之間的耦合影響，必須設計有效可靠的慢回路控制器。

慢回路動態方程:

其中，

式中 Ω2為慢回路中的總的不確定性。

假設1 期望軌跡ydi，(i=1，2，3)有界，一階導數存在且為光滑函數。定義跟蹤誤差:

得

采用動態逆控制律，則:

其中，Ks=diag(k1，k2，k3)(ki＞0，i=1，2，3)。

若所有擾動不存在，即Ω2=0，將式(16)代入慢回路動態方程(13)得

因此，當無外界擾動且f2(x2)和g2(x2)已知時，控制律(16)可使系統穩定。但在實際系統中，f2(x2)和g2(x2)是時變、非完全可知的，同時擾動Ω2也不為零，因此采用模糊系統逼近非線性函數 f2(x2)和g2(x2)，并引入魯棒控制項來抵消逼近誤差和外部擾動的影響。

3．1 自適應模糊模型逼近

模糊邏輯系統由一系列“如果—則—”的模糊規則組成，其中第i條規則為

由于模糊產生器、模糊推理機和模糊消除器各自都有不同的選取方法，因此把它們組合起來就可構成多種模糊邏輯系統，本文選擇由乘積推理規則、中心平均模糊消除器、高斯型隸屬函數構成的模糊邏輯系統。引入模糊基函數 ξ(x)=［ξ1(x)，…，ξm(x)］T:

故y(x)=ξ(x)Tθ。則設計用于逼近未知非線性函數f2i(x2)和g2ij(x2)的模糊系統為

式中 ξfi和 ξgij是模糊基函數向量;θfi和 θgij是自適應調節參數向量。

設θfi和θgij的最優逼近參數為和，最小模糊逼近誤差為εfi和εgij，其定義如下:

假設緊集Dx足夠大，保證對所有的x∈Dx，最小逼近誤差有界，即為已知常量。

令:

式中 ε0為任意小的正實數;I為單位陣。

由于在實際系統中，往往無法確定模型最小逼近誤差的界，為此在不依賴建模誤差上界，的情況下，本文采取在線估計的自適應模糊控制方法［7］。

3．2 慢回路控制器設計

對慢回路設計的控制律:

式中 ur為自適應魯棒補償項;u2c用式(16)表示。

自適應律:

式中 χ，ηfi，ηgij，γ0，λ0均大于零;分別為的估計值。

根據文獻［11］，可推導出慢回路在本文設計的帶魯棒補償項的自適應模糊控制律的控制下，閉環系統的所有信號有界，并且在有限時間內，軌跡跟蹤誤差及其誤差一階導數均趨于零。

4 仿真驗證

為驗證本文設計的自動駕駛儀，分別設計了自適應模糊動態逆控制器(AFDI)和自適應模糊TCL控制器(AFTCL)，并在Matlab環境下進行仿真比較。初始條件 γ =5°，α =0°，β=0°，姿態角速率 x1=［0 0 0］T;舵偏u1=［0 0 0］T。三通道的控制指令分別取為:γc=0°，αc=20sin(0．5t+0．5)，βc=15sin(t)。在仿真中，氣動參數的隨機攝動范圍為30%，并分別在在快、慢回路中加入均值為0、方差為0．04的隨機噪聲。

2種控制器的模糊基函數向量ξfi和ξgij的高斯型隸屬度函數均取為

仿真得上述2種控制方式下三通道的響應對比曲線如圖1～圖3所示。

圖1給出了三通道的控制指令的響應曲線。從圖1可以看出，這2種控制器都有較快的響應速度，但AFDI在快變量較小時表現出來的抗干擾能力明顯不如AFTCL，故本文采用的方法具有較強的魯棒性。

圖2給出了三通道的快變量的變化曲線。由圖2可知，較之AFDI，AFTCL作用下的快變量的值稍大一些，但走勢較為平滑，表明該控制器穩健的跟蹤性能。

圖3給出的三通道的舵偏控制量的變化曲線。由圖3可知，2種控制器的舵偏控制量均滿足要求，但快變量較小時AFTCL的舵偏控制量要大于AFDI的舵偏控制量，說明AFTCL在獲得較好的跟蹤效果的同時， 也相應需要消耗較多的能量。

圖1 三通道控制指令響應曲線Fig．1 Curves of three-channel command response

圖2 快變量變化曲線Fig．2 Curves of fast variable

圖3 舵偏角控制量變化曲線Fig．3 Curves of rudder deflection angle

5 結論

(1)軌跡線化方法既能快速跟蹤控制指令，又能減弱外界擾動對系統的影響。

(2)在最小逼近誤差界未知的情況下，通過在線自適應調節的方法獲得估計值，此方法與直接假定的方法比較，具有適用性更廣，也更加合理。

(3)在最小逼近誤差界未知的情況下，本文設計的自適應魯棒補償項能夠有效消除逼近誤差。

(4)該自動駕駛儀的控制指令跟蹤能力隨快變量的增大而增強。當快變量變小時，指令跟蹤誤差變大，舵偏控制輸出也相應變大，但總體上舵偏控制輸出較小，能夠滿足控制要求。

(5)仿真結果表明，與自適應模糊動態逆控制器相比，自適應模糊TCL控制器具有更強的魯棒性，提高了自動駕駛儀的性能。

［1］ 李惠峰．高超聲速飛行器制導與控制技術［M］．北京:宇航出版社，2012．

［2］ Tony A Adami，Zhu J Jim．Flight control of hypersonic scramjet vehicles using a differential algebraic approach［C］//AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference and Exhibit，2006-6559

［3］ 李海軍，黃顯林，葛東明．再入機動飛行器自適應軌跡線性化控制［J］．宇航學報，2011，32(5):1039-1046．

［4］ 楊志峰，雷虎民，李慶良，等．基于軌跡線性化方法的導彈動態逆控制系統設計［J］．固體火箭技術，2011，34(1):1-5．

［5］ Navid N，Mehdi R M，Zol Ghadri J．Adaptive fuzzy sliding mode control scheme for uncertain systems［J］．Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2009，14:3978-3992．

［6］ 晉玉強，史賢俊，王學寶．基于神經網絡的BTT導彈魯棒動態逆控制［J］．系統工程與電子技術，2008，30(2):327-330．

［7］ 董飛垚，雷虎民，楊志峰，等．一種基于自適應模糊系統的導彈自動駕駛儀設計方法［J］．彈道學報，2011，23(1):84-87．

［8］ 薛亞麗．基于軌跡線性化方法的近空間飛行器魯棒自適應控制研究［D］．南京航空航天大學．

［9］ 韓京清．自抗擾控制技術［M］．北京:國防工業出版社，2008．

［10］ Kahlil H K．Nonlinear systems［M］．2nd．ed．Prentice-Hall，Upper Saddle River，NJ，1996．

［11］ 曾憲法，張磊，申功璋．基于動態逆和分散控制的導彈控制系統設計［J］．北京航空航天大學學報，2007，33(11):1 303-1307．