擴張段結構可靠性中的誤差分析①

胡江華，孟松鶴，陳德江，周 瑋

(1．中國空氣動力學研究與發展中心超高空氣動力研究所，綿陽 621000;2．哈爾濱工業大學復合材料與結構研究所，哈爾濱 150001)

0 引言

在固體火箭發動機殼體、噴管和藥柱等復雜結構可靠性分析中，工程上往往只考慮參數離散性對結構可靠性的影響［1－5］，而忽略實際存在的諸多誤差帶來的不確定性影響。忽略誤差帶來的不確定性影響是不科學的，不僅給噴管結構設計帶來風險，而且給經濟和生命安全造成重大損失。國外近幾年已經開展了復合材料結構中誤差對結構可靠性的影響［6－9］，并取得了一系列的研究成果，國內還未見相關報道。由于誤差的不可預知性和不可控性，對誤差的主要來源和分布規律研究較困難，對結構可靠性的影響就更需要深入研究。本文正是基于此，初步探討分析噴管擴張段中主要誤差來源、分布規律及對擴張段結構可靠性產生的影響。

1 誤差的主要來源

一般來說，擴張段結構可靠性分析中不確定性來源可分為2類:一類是參數的離散性，它具有很強的隨機性和偶然性;另一類是誤差，誤差主要是由于認知上的不足造成的，通過改進計算模型、計算方法以及精確的測試，可減少誤差，但不能消除誤差。工程上應用的參數離散性，大多是在大量的測試和分析基礎上獲得的。因此，該離散性不僅包括參數本身真實存在的離散性，而且還包括測試和分析中的誤差，即測試的參數離散性與真實的參數離散性存在一定誤差。

在擴張段結構的可靠性分析中，由于擴張段服役環境復雜、材料選擇、結構特點和生產工藝局限性，誤差處處存在，但主要的誤差來源歸納起來可分為7個方面:

(1)材料性能參數誤差

在先進的擴張段結構設計中，由于大量復合材料的應用和復雜的結構外形，擴張段結構可靠性受復合材料性能影響非常明顯，但并不是材料所有的性能參數對結構可靠性都具有顯著性影響，起決定作用的往往是少數幾個材料性能參數，分析所有材料性能參數對結構可靠性的影響，既不科學也不經濟。

通過有限元數值計算分析，可獲得擴張段在工作狀態下的某一熱結構響應(如應力、應變等)與材料性能之間的關系，并可獲得對該響應起顯著性影響的性能參數［10］。在不考慮誤差對可靠性影響的條件下，分析起顯著性影響的材料性能參數對結構可靠性的影響，而忽略不起顯著性影響的材料性能參數對結構可靠性的影響，是可滿足工程要求的。

文中從材料性能影響的顯著性程度上，可將材料性能參數誤差分為2個部分:一是起顯著性影響的材料性能參數測試誤差;另一個是不起顯著性影響的材料性能參數離散性和測試誤差。不起顯著性影響的材料性能參數由于對擴張段結構失效影響很小，故在進行誤差分析時，把不起顯著性影響的材料性能參數的不確定性作為誤差處理。主要材料性能的測試誤差包括兩點:一是每次測試時，讀取值與真實值的誤差，這部分誤差主要與測試儀器的精度和測試者的能力水平有關，隨著測試儀器精度和測試者水平的提高，該誤差可降低，但不能消除;二是在工程中，獲得每一個材料的性能參數，都是通過測量若干個試件，獲得每一個試件的性能值，然后進行平均，以平均值作為材料性能的真實值，但由于測試數量有限，平均值作為材料性能的真實值也存在一定誤差，該誤差可通過增加測試試件的數量來降低。文中由于誤差的不可預知性，只考慮誤差對結構響應的影響，設材料性能參數對結構響應帶來的誤差以em表示。

(2)結構尺寸誤差

擴張段的結構尺寸包括擴張段的沿母線方向厚度、母線長度和環向直徑等，由有限元分析可知，這些參數的微量變化對擴張段的應力和應變場產生的影響非常小，可作為誤差處理。設結構尺寸對結構響應帶來的誤差以es表示。

(3)載荷誤差

在擴張段的結構可靠性設計中，需對擴張段進行大量的有限元數值計算，在有限元建模中，擴張段上的載荷主要有擴張段內壁面上的熱流、壓強和壁面剪切力，而這些載荷的大小主要與固體火箭發動機燃燒室內的總溫、總壓、擴張段內壁面的熱交換系數和噴管內流場的計算精度有關。在很多情況下，載荷誤差往往是影響結構可靠性的主要因素。設載荷對結構響應帶來的誤差以el表示。

(4)邊界條件誤差

在擴張段結構有限元建模中，邊界條件由于缺乏足夠的實驗數據，如擴張段各部件之間的接觸、背壁隔熱材料的高溫熱分解和外界環境條件等，不能夠建立精確的邊界條件，往往做一些簡化處理，簡化邊界條件會帶來有限元計算結果不夠精確，具有一定的誤差。設邊界條件對結構響應帶來的誤差以em表示。

(5)有限元計算誤差

在擴張段結構的有限元計算中，由于網格密度、單元類型和網格屬性等一些有限元模型設置和有限元計算的特點，決定了在有限元計算中始終存在一定誤差。設有限元計算對結構響應帶來的誤差以ec表示。

(6)數據處理誤差

在本文的可靠性分析中，擴張段的失效應力極值是通過有限元分析獲得其與部分顯著性材料性能參數的關系，然后進行數據擬合處理，獲得響應值與輸入材料性能參數之間的函數關系式，在數據處理過程中始終存在一定誤差。設數據處理對結構響應帶來的誤差以ef表示。

(7)失效準則誤差

對于擴張段結構而言，判斷結構是否失效，大多是通過強度準則來判別的。類似于擴張段材料性能誤差，擴張段的強度值誤差主要來源于4個方面:一是每一個試件測試時，存在一定誤差;二是測試試件的數量有限，存在一定誤差;三是由于擴張段結構沿母線方向厚度和結構特征具有很大的變化，所以以局部材料的測試性能代替整個不均勻的材料性能，也存在一定誤差;四是由試件測試值代替擴張段結構的真實值，也存在一定誤差。在設計過程中，由于復合材料的破壞模式復雜，采取簡單的失效準則，如最大應力失效準則，往往也會帶來一定誤差。

文中以單向失效來表示擴張段結構失效，參考文獻［6］中的方法，可建立擴張段結構單向強度值σea與材料試件相應方向的許用應力值σca之間的關系如式(1)所示:

這里eef所代表的誤差包括上述強度值誤差分析中的后3項。

材料試件水平的許用應力值σca可由試件水平計算的平均失效應力值(σ－cf)calc乘以折損因子來獲得，如式(2)所示:

式中的折損因子kd是許用應力設計中，表示一個保守的材料性質。對于正態分布而言，折損因子kd取決于試件測試的數量和測試失效應力的變異系數，如式(3)所示:

這里的(CVcf)calc表示通過試件測試獲得失效應力的變異系數，kB稱為公差極限因子。公差極限因子kB是試件測試數量nc的函數，如式(4)所示:

公差極限因子kB隨試件測試數量的變化規律如圖1所示，可發現kB的減小(或者kd的增大)，對于大數量的試件測試來說相對較小，但對于小數量的試件測試，kB的減少就非常明顯了。

圖1 公差系數隨試件測試數量變化Fig．1 Variation of the tolerance coefficient with the number of coupon tests

結合式(1)和式(2)，可獲得擴張段單向強度值與試件測試的平均失效應力值之間的關系如式(5)所示:

2 誤差的分布特征

由前面的誤差來源分析可知，誤差真實值大小是無法獲知的，只能結合實際經驗和依據最大熵原理［11－13］，估計出誤差可能的分布特征。最大熵原理可簡述為:在提供信息不足或概率空間不完備的情況下進行概率估計時，應充分利用現有信息，選擇出具有熵最大的那一種概率分布，作為概率估計的結果，因為熵最大意味著隨機性最強、人的主觀偏見最小，所以這種以熵最大為準則的估計是隨機性最強、主觀偏見最小的估計。這種估計是與任何丟失(未知)數據最大程度無關的，而且同時受所有測得(已知)數據的約束，它既充分利用了隨機數據的統計規律，又避免了引進人為的附加信息。對于誤差而言，一般依據經驗可認為誤差在某一界限范圍內，依據最大熵原理可知，在誤差服從均勻分布時，熵能達到最大值［13］。文中依據最大熵原理，假設各誤差均服從均勻分布，分布的均值和上下界限如表1所示。

表1 誤差的均值和界限Table 1 Error means and bounds

3 計算結果及分析

3．1 不考慮誤差時的可靠性分析

文中以擴張段層間剪切失效分析為例，引起層間分層的主要原因是層間剪切應力極值超過了結構設計的層間剪切強度，擴張段層間剪切失效的極限狀態方程可表示為

式中 τR為層間剪切應力極值，即極限狀態方程中的響應值;τC為層間剪切強度，即極限狀態方程中的能力值。

通過有限元分析，可獲得層間剪切應力極值τR與顯著性材料性能參數軸向熱膨脹系數α之間的關系如圖2所示。為方便可靠性分析，文中在建立應力極值與主要影響因素之間的關系時，不進行單位之間的換算，只建立數學表達式，以便于數值擬合分析。建立保守的線性關系式為

這里假設層間剪切應力極值τR與軸向熱膨脹系數α均服從正態分布，分布特征如表2所示。由正態分布性質可容易計算出層間分層失效概率為0．048 63。在響應和能力的樣本數為1×106條件下，采用蒙特卡洛數值模擬，經過1 000次重復模擬計算，可獲得層間剪切失效概率靈敏度、無量綱化處理以及與解析解的對比，如表3所示。可看出，軸向熱膨脹系數α的標準差靈敏度最大，且對失效概率的影響是正的，即參數α的標準差增大，失效概率也增大;對于參數τ的均值而言，由于其靈敏度為負，即表示均值增大，失效概率反而降低。

表2 材料性能參數分布特征Table 2 Distribution of material performance parameter

表3 層間剪切失效概率靈敏度Table 3 Sensitivity of interlaminar shear failure probability

圖2 層間剪切應力隨熱膨脹系數變化Fig．2 Interlaminar shear stress changes with thermal expansion coefficient

3．2 考慮誤差時的可靠性分析

依據誤差對擴張段剪切應力極值的影響，建立層間剪切應力極值與軸向熱膨脹系數和誤差之間的數學關系表達式，如式(8)所示。其中，誤差前面的“+”表示正的誤差，正的誤差在響應表達式中表示保守的估計。

擴張段層間剪切強度由于失效準則、測試數量有限、測試方法不足和測試誤差的存在，假設測試的數量為50，故 kB=1．645，在變異系數為5%條件下，kd=0．92。依據前面的分析，可建立擴張段結構中的層間剪切強度與試件測試強度的關系式，如式(9)所示。其中，誤差前面的“－”表示負的誤差，負的誤差在能力表達式中也表示保守的估計。

故層間剪切失效的極限狀態方程可表示為

在式(10)的極限狀態方程中，可通過條件期望法對擴張段結構進行可靠度計算。條件期望法(CE)［14－16］是指如果已知能力值(響應值也是類似的)的分布函數FC(x)，對與任意給定的一個響應值Ri，可獲得在該響應值下的結構失效概率值FC(Ri)。故在響應樣本為N的條件下，結構的失效概率可表示為

與普通的蒙特卡洛方法(CMC)相比，CMC方法中的N表示響應和能力的樣本大小，而在CE方法中的N僅表示響應(或能力)的樣本。

CE估計的期望如式(12)所示:

CE估計的方差如式(13)所示:

通過分析可知，CE方法的方差要小于CMC方法的方差。也就是說，CE方法的失效概率估計精度要優于CMC方法的失效概率估計精度。另外，從CE方法的特點可看出，其應用前提是響應或能力的分布函數的解析表達式是已知的，而對于響應或能力的分布函數是未知的情形，CE方法是無法應用的。

將層間剪切失效的極限狀態方程進行調整，將能力值中的誤差項移動到響應這邊，可得到式(14)。此時，從失效概率計算角度看，與未調整前是一致的。

在響應的樣本數為1×106條件下，通過CE方法經過1 000次重復運算，可獲得層間剪切失效的失效概率為0．287 34。在響應和能力的樣本數為1×106條件下，采用CMC方法，對式(10)經過1 000次重復模擬計算，獲得的失效概率靈敏度和無量綱化處理結果如表4～表6所示。

3．3 結果對比分析

從上述擴張段可靠性的計算結果對比可看出，在考慮誤差的條件下，擴張段的失效概率明顯增大。從表3～表5的靈敏度無量綱化可看出，相比于誤差對失效概率的影響，材料性能參數對失效概率的影響更明顯，靈敏度更高;另外，從各誤差的靈敏度可看出，誤差的分布范圍越大，靈敏度越高，在響應表達式中的誤差靈敏度為正，在能力表達式中的誤差靈敏度為負。從同一誤差的上下邊界來說，在響應表達式中，誤差上邊界的靈敏度比下邊界靈敏度大，而在能力表達式中，誤差上邊界的靈敏度比下邊界靈敏度小。

對比表2和3可發現，在失效概率分析中引入誤差，可大大降低材料性能參數的靈敏度。另外，從各誤差界限和靈敏度無量綱化處理結果對比可發現，各誤差在靈敏度計算中的地位是相等的，靈敏度的大小只與誤差上下界限有關，界限越大，靈敏度越高。

表4 含誤差的層間剪切失效概率材料性能參數靈敏度Table 4 Material performance parameter sensitivity of errors-in-interlaminar shear failure probability

表5 含誤差的層間剪切失效概率誤差下邊界靈敏度Table 5 Error lower bound sensitivity of errors-in-interlaminar shear failure probability

表6 含誤差的層間剪切失效概率誤差上邊界靈敏度Table 6 Error upper bound sensitivity of errors-in-interlaminar shear failure probability

4 結論

(1)在擴張段結構可靠性分析中，誤差是無處不在的，忽略誤差對結構可靠性的影響是不科學的，但誤差的來源和分布規律有待于進一步研究。

(2)由于誤差真實值大小是無法獲知的，只能結合實際經驗和依據最大熵原理，假設誤差服從均勻分布，此時熵能達到最大值。

(3)在擴張段層間剪切失效分析中，不考慮誤差條件下，失效概率為0．048 63;考慮誤差條件下，失效概率為0．287 34。可見，誤差對層間剪切失效概率影響是十分明顯的。

(4)在擴張段結構失效概率靈敏度分析中，響應表達式中的誤差上邊界靈敏度比下邊界靈敏度大，而在能力表達式中的誤差上邊界靈敏度比下邊界靈敏度小。同時，引入誤差可大大降低材料性能參數的靈敏度。

(5)各誤差在靈敏度分析中的地位是相等的，靈敏度的大小只與誤差上下界限有關，界限越大，靈敏度越高。

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