近似擬不變凸集值優化問題的嚴有效性

謝雪軍

(宜春學院 數學與計算機科學學院，江西 宜春 336000)

在集值優化問題的研究中，充分條件的給出往往少不了凸性的假設，因此，不少學者相繼提出了很多種廣義凸性，并討論了在各種廣義凸性下有效解的最優性條件［1－5］。文獻［5］引進了近似擬不變凸的概念，討論了其與擬不變凸之間的關系，同時建立在近似擬不變凸假設下集值優化問題弱有效元的最優性條件。本文主要利用廣義切上圖導數建立集值優化問題嚴有效元的必要條件，并在近似擬不變凸假設下得到集值優化問題嚴有效元的充分條件。

1 基本概念

注1.1［6］(1.1)式等價刻畫為

2 最優性條件

考慮集值優化問題(P):minF(x)s. t. x ∈S。

其中minM 表示集合M 的有效點集。則對任意的(x，y)∈graphF，有

其中G(η(x，x0)):=

由廣義切上圖導數定義知

于是存在λn→+ ∞，(xn，yn)∈epiF，使得(xn，yn)→(x0，y0)且

由(2.5)式得

此與已知條件(x0，y0)是問題(P)的嚴有效元矛盾，于是(2.4)式成立。

則(x0，y0)是問題(P)的嚴有效元。

證:由(2.7)式有

結合(2.8)式和(2.3)式可得

類似文獻［9］中定理2.2 的證明過程可知

故(x0，y0)是(P)的嚴有效元。

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