數學建模中優化問題的計算機解法

張建生

【摘 要】優化問題是數學建模中最常見的問題，本文全面系統的闡述各種類型優化問題的MATLAB解法，包括無約束優化問題、有約束優化問題、線性優化問題、二次優化問題等。

【關鍵詞】數學建模；優化問題；計算機求解；MATLAB語言

最優化問題就是求最大（?。┲祮栴}，是數學建模中最常見的問題，幾乎每個建模問題都離不開優化。數學建模是用來解決實際問題，而在現實生產生活中，每個人、每個單位都希望自己所從事的事情能達到最化化。數學建模中的優化問題主要有四種類型，即無約束的優化問題、有約束的優化問題、線性優化（規劃）問題和二次化化（規劃）問題。

一、無約束最優化（fminunc）

命令 利用函數fminunc求無約束函數最小值

函數 fminunc

格式 ：

x = fminunc（fun，x0） %返回給定初始點x0的最小函數值點

x = fminunc（fun，x0，options） % options為指定優化參數

[x，fval] = fminunc（…） %fval最優點x處的函數值

[x，fval，exitflag] = fminunc（…） % exitflag為終止迭代的條件，與上同。

[x，fval，exitflag，output] = fminunc（…） %output為輸出優化信息

二、有約束的最優化（fmincon）

有約束的多元函數的最優化的標準形式為：

min f（x）

s.t C（x）<=0

Ceq（x）=0

A*x<=b

Aeq*x=beq

lb<=x<=ub

其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq為矩陣，C（x）、Ceq（x）是返回向量的函數，f（x）為目標函數，f（x）、C（x）、Ceq（x）可以是非線性函數。函數 fmincon

格式：

x = fmincon（fun，x0，A，b）

x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq）

x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub）

x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon）

x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon，options）

[x，fval] = fmincon（…）

[x，fval，exitflag] = fmincon（…）

[x，fval，exitflag，output] = fmincon（…）

[x，fval，exitflag，output，lambda] = fmincon（…）

[x，fval，exitflag，output，lambda，grad] = fmincon（…）

參數說明：fun為目標函數，它可用前面的方法定義；

x0為初始值；

A、b滿足線性不等式約束 ，若沒有不等式約束，則取A=[ ]，b=[ ]；

B、Aeq、beq滿足等式約束 ，若沒有，則取Aeq=[ ]，beq=[ ]；

C、lb、ub滿足 ，若沒有界，可設lb=[ ]，ub=[ ]；

D、nonlcon的作用是通過接受的向量x來計算非線性不等約束 和等式約束 分別在x處的估計C和Ceq，通過指定函數柄來使用，

如： x = fmincon（@myfun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，@mycon）

先建立非線性約束函數，并保存為mycon.m：function [C，Ceq] = mycon（x）

C = … % 計算x處的非線性不等約束 的函數值。

Ceq = … % 計算x處的非線性等式約束 的函數值。

lambda是Lagrange乘子，它體現哪一個約束有效。

output輸出優化信息；

grad表示目標函數在x處的梯度；

hessian表示目標函數在x處的Hessiab值。

三、線性規劃問題（linprog）

min f（x） x屬于R

s.t： A*x<=b；

Aeq*x=beq；

lb<=x<=ub；

其中f、x、b、beq、lb、ub為向量，A、Aeq為矩陣。

函數 linprog

格式：

x = linprog（f，A，b） %求min f s.t 線性規劃的最優解。

x = linprog（f，A，b，Aeq，beq） %不等式約束 ，若沒有不等式約束 ，則A=[ ]，b=[ ]。

x = linprog（f，A，b，Aeq，beq，lb，ub）%指定x的范圍 ，若沒有等式約束 ，則Aeq=[ ]，beq=[ ]

x = linprog（f，A，b，Aeq，beq，lb，ub，x0） %設置初值x0

x = linprog（f，A，b，Aeq，beq，lb，ub，x0，options） % options為指定的優化參數

[x，fval] = linprog（…） % 返回目標函數最優值，即fval= f

[x，lambda，exitflag] = linprog（…） % lambda為解x的Lagrange乘子。

[x， lambda，fval，exitflag] = linprog（…） % exitflag為終止迭代的錯誤條件。

說明：若exitflag>0表示函數收斂于解x，exitflag=0表示超過函數估值或迭代的最大數字，exitflag<0表示函數不收斂于解x。

四、二次規劃（quadprog）

標準型為：

Min Z= XTHX+cTX

s.t. AX<=b

VLB≤X≤VUB

用MATLAB軟件求解，其輸入格式如下：

1.x=quadprog（H，C，A，b）；

2.x=quadprog（H，C，A，b，Aeq，beq）；

3.x=quadprog（H，C，A，b，Aeq，beq，VLB，VUB）；

4.x=quadprog（H，C，A，b， Aeq，beq ，VLB，VUB，X0）；

5.x=quadprog（H，C，A，b， Aeq，beq ，VLB，VUB，X0，options）；

6.[x，fval]=quaprog（...）；

7.[x，fval，exitflag]=quaprog（...）；

8.[x，fval，exitflag，output]=quaprog（...）；

參考文獻：

[1]孫祥、徐流美、吳清. MATLAB7.0基礎教程. 清華大學出版社. 2005年

[2] 林雪松、周婧、林德新. MATLAB7.0應用集錦. 機械工業出版社. 2006年

[3]邱李華. MATLAB7及工程問題解決方案. 機械工業出版社. 2006年