用基本不等式求最值的常見錯誤例析

摘要：利用基本不等式求函數的最大值、最小值時，必須要滿足三個條件，這三個條件缺一不可。而如果不能直接求解，就需要通過恰當的拆項或配湊來求解。學生在實際做題時往往會因為忽視這三個條件中的某一個而出錯，因此我們在實際教學中應注重對這三個條件的講解和分析，并對學生出現的錯誤進行及時的糾正，從而提升學生做題的正確率。

關鍵詞：錯解；剖析；正解

在高中數學必修五第三章中，我們學習了基本不等式，并探究了利用基本不等式求解某些函數的最大值、最小值的問題。而利用基本不等式求函數的最大值、最小值時，一定要滿足下列三個條件：①a、b為正數；②“和”或“積”為定值；③等號一定能取到。這三個條件缺一不可。如果不能直接求解，就需要通過恰當的拆項或配湊來求解。學生往往會因為忽視這三個條件中的某一個而出錯。下面筆者將學生在導學案和作業中出現的錯誤進行歸類并予以剖析。

一、忽視基本不等式成立的條件而出錯

[例1]已知、且，，求+的最值。

錯解：+≥2=2

∴ +的最小值是2。

剖析：基本不等式成立的充分條件是a>0，b>0。而上述解答中的數值和不一定是正數，此時利用這個基本不等式的條件不充分，導致解答錯誤。

正解：當a>1、b>1或00， >0。

+≥2=2

此時+的最小值是2。

當a>1、01時，<0，<0。

+=-[（-）+（-）]

≤-2=-2

此時+的最大值是-2。

二、忽視基本不等式取等號的充要條件而出錯

[例2]求函數的最小值。

錯解：=+≥2=2

∴函數的最小值是2。

剖析：上述解答在利用時，忽視了基本不等式取“=”號的充要條件是“a=b”，因而解答是錯誤的。事實上，解答中+不可能成立，因而y不可能取得最小值為2。

正解：設，則t≥3，。

取，則

∴在區間[3，+∞﹚上是增函數。

故當t=3﹙此時x=0﹚時函數有最小值，即函數的最小值為。

三、忽視利用基本不等式求函數最值時積或和必須為定值的條件而出錯

[例3]設，，時，求的最大值。

錯解：=

=（a=0時取等號）

∴的最大值是。

剖析：上述解答中，在利用時忽視了基本不等式求最值時和必須為定值這一條件，因而解答是錯誤的，因為不是定值。

正解：為了利用時能夠出現定值，可以先進行適當的湊、配：

∴=

當且，即時，的最大值為。