確定遞推數列通項的基本方法

求遞推數列通項是數列中的重點和難點問題。求遞推數列通項的方法較多、也比較靈活，基本方法如：迭加法；迭乘法；轉化為等差、等比數列求通項法等，其主要的思路是通過轉化為等差數列或等比數列來解決問題。下面就求遞推數列通項的基本方法舉例說明。

一、型如an+1=an+f（n）可用迭加法求通項

例1 已知數列{an}滿足a1=1，an+1=an+2n，求通項an。

解：由遞推公式得an-an-1=2（n-1）

an-1-an-2=2（n-2）

……

a3-a2=2·2

a2-a1=2·1

以上（n-1）個等式相加得an-a1=2[（n-1）+（n-2）+ …+2+1] =2·■=n（n-1）

又a1=1 ∴an=1+n（n-1）=n2-n+1

注：一般地，f（n）可分解成等差數列、等比數列求和（或常用的數列和公式，如12+22+32+…+n2=■n（n+1）（2n+1）等）。

二、型如an+1=f（n）an（f（n）不是常數）可用迭乘法求通項

例2 已知數列{an}中，a1=■，Sn=n2an，求通項an。

解：當n≥2時 an=Sn-Sn-1=n2an-（n-1）2an-1

■=■ ∴■=■ ■=■ ■=■ ■=■……■=■

■=■以上（n-1）個等式相乘得

■=■·■·■·■……■·■ ∴■=■

∴an=■（n≥2）

∵a1=■適合上式 ∴an=■。

注：一般地，數列an+1=f（n）an，f（n）是分式的形式，且是n的關系式。

三、型如an+1=pan+f（n）（p為常數且p≠0，p≠1）可用轉化為等比數列等

（1）f（n）=q（q為常數），可轉化為an+1+k=p（an+k），得{an+k}是以a1+k為首項，p為公比的等比數列。

例3 已知數列{an}中，a1=1，an+1=3an+2，求通項an。

解：設an+1+k=3（an+k），得an+1=3an+2k與an+1=3an+2比較得k=1 ∴原遞推式可變為an+1+1=3（an+1） ∴■=3

∴{an+1}是一個以a1+1=2為首項，以3為公比的等比數列 ∴an+1=2·3n-1 ∴an=2·3n-1-1。

注：一般地，對遞推關系式an+1=pan+q（p、q為常數且，p≠0，p≠1）可等價地改寫成

a■-■=p（a■-■）則{a■-■}成等比數列，實際上，這里的■是特征方程x=px+q的根。

（2）f（n）為等比數列，如f（n）=qn（q為常數），兩邊同除以qn，得 q■=p■+1，令bn=■，可轉化為bn+1=pbn+q的形式。

例4 已知數列{an}中，a1=■，an+1=■an+（■）n+1，求an的通項公式。

解：an+1=■an+（■）n+1乘以2n+1得2n+1an+1=■（2nan）+1

令bn=2nan則bn+1=■bn+1

（解法同例3）易得bn=-■（■）■+3即2nan=-■（■）■+3

∴an=-■+■

（3）f（n）為等差數

例5已知數列{an}中，a1=1，an+1+an=3+2n，求an的通項公式。

解：∵an+1+an=3+2n，an+2+an+1=3+2（n+1），兩式相減得an+2-an=2 因此得，a2n-1=1+2（n-1），a2n=4+2（n-1），∴an=n，n是奇數n+2，n是偶數

注：一般地，這類數列是遞推數列的重點與難點內容，要理解掌握。

四、型如an+1=■（p、q、r、s為常數）可構造為an+1=pan+q類型

例6 已知數列{an}中，a1=4，且an+1=■，求通項an。

解：∵an+1-1=■-1=■ an+1+2=■+2=■

于是■=■·■從而有{■}成等比數列。

故有■=■（■）■=■（■）■

∴a■=■（n∈N）

注：一般地，設α、β是遞推關系的an+1=■（p、q、r、s為常數）的特征方程x=■（p≠0，rq-ps≠0）的兩根。（1）若α≠β，可令bn=■，則{bn}成等比數列；（2）α=β，可令bn=■，則{bn}成等差數列。