向量在平面幾何中的應用

【關鍵詞】高中數學 向量 平面幾何 運用

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）10B-

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向量是高中數學不可缺少的內容，它是溝通代數、幾何與三角函數的工具。在平面幾何中，向量可以將很多問題代數化、程序化，體現出數與形的完美結合，新課標對向量知識的考查也充分體現了綜合運用的特色。在幾何中，平面向量在處理長度、距離、垂直、平行等問題時占有絕對的優勢，運用向量與數形的轉化，可以大大簡化計算，降低某些題目的難度，向量方法在幾何中得到了廣泛的運用。本文從證明直線平行、求夾角、證明直線垂直三個方面論述向量在平面幾何中的運用。

一、用向量證明直線平行

直線平行的證明是平面幾何中經常遇到的問題之一，也是高中數學中的重點和難點。如果我們直接用平面幾何的知識來證明直線平行，思路繁雜，步驟繁瑣，向量卻可以幫助我們輕松快速地解決問題。

用向量證明直線與直線平行的一般思路是：把問題轉換為向量平行（共線）的充要條件：a∥b■a=λb（x1y2-x2y1=0），即只需證明a=λb即可。

【例1】 如圖1，若ABCD是平行四邊形，EF∥AB，AE與BF、DE與CF分別相交于N和M。求證：MN∥AD。

分析：學生遇到此類題目時，通常會想到通過證明同位角相等來得出兩直線平行，但是，這一方法的思維過程復雜，導致學生很難入手，無法解決問題。我們可以嘗試用向量的方法證明：要證明MN∥AD，只要證明■=λ■（λ≠0）即可，而■= ■- ■，■= ■- ■，很容易得出：■=λ1■，■=λ2■，所以，只需要證明λ1等于λ2。至此，問題就變得簡單了，因為很容易看出EF∥AB∥DC，且AB=DC，利用三角形相似的原理，很容易得出λ1=λ2。下面我們一起看解題過程：

證明：∵EF∥AB

∴△NEF∽△NAB

設■=λ′ ■（λ′≠1）

則■=λ′

∴■=■=λ′-1

∴■= ■（λ′-1）

同理，由于EF∥DC得■= ■（λ′-1）

■= ■- ■

=（λ′-1）■-（λ′-1）■

=（λ′-1）（ ■ - ■）

=（λ′-1）■

令λ=λ′-1，則■=λ■（λ≠0）

∴MN∥AD

從這道題目可以看出：運用向量證明平面幾何中直線平行的問題，只要找出所求線段或直線對應的向量平行關系，證明a∥b■a=λb（x1y2-x2y1=0），就可以運用向量與數形的轉化簡化運算。反之，如果直接利用平面幾何知識證明直線兩兩平行，思維過程不僅過于復雜，而且很難找到突破口。因此，教師在設計教學方案時，應要求學生熟練掌握用向量證明直線平行的一般方法，使學生在遇到類似的問題時能輕松應對。

二、用向量求兩直線的夾角

求兩條直線的夾角是高中數學的重要內容之一，求夾角的問題可以利用向量的夾角公式：cosα=■，以兩直線的方向向量的夾角與兩直線夾角之間的關系為突破口，運用向量的方法，推導得出兩直線夾角的余弦公式。對于求平面內兩直線的夾角問題，理論簡單，方法也易于掌握，難點在于如何根據題意選取恰當的方法來解決問題。下面結合具體實例談談求解方法的選擇。

【例2】如圖2所示，在△ABC中，已知AB=■，cosB=■，AC邊上的中線BD=■。求sinA的值。

分析：遇到求夾角的問題，我們可以首先考慮cosα=■，而此題求sinA，我們只需求出cosA，根據公式sin2A+cos2A=1即可求得sinA。

解：以點B為坐標原點，■為x軸正向建立直角坐標系，且不妨設點A位于第一象限。

如圖2，由sinB=■=

■=■

■=■cosB，■sinB=■，■

設 ■=（x，0），則 ■=■，■

由條件得，

| ■|=■

從而有x1=2，x2=-■（舍去）

故 ■ = ■- ■=-■，■，于是有

cosA=■=■=

■=3■

∴sinA=■=■

教師在教學過程中要引導學生樹立這樣的意識，即要求一個夾角的大小，如果根據已知條件不可以很直觀地求出夾角的度數，則可以根據公式cosα=■，利用向量的性質進行求解。

三、用向量證明直線垂直

在幾何學中，兩條直線的垂直，主要分為平面內兩條直線垂直和空間兩條直線垂直，而證明平面內的兩條直線垂直一般有三種方法：平面幾何法、解析法、向量法。用向量法證明直線垂直，往往要用到向量垂直的充要條件：a⊥b■a·b=0（或x1x2+y1y2=0），解題時可從這個充要條件入手，轉換問題使之簡單化。

【例3】如圖3所示，O為△ABC的外心，E為三角形內一點，滿足■= ■+■+■。求證：■⊥■？郾

分析：這是平面幾何中最典型的證明垂直的問題，如果使用平面幾何作輔助線的方法，比較麻煩，但如果用向量的方法，就截然不同了。要證明直線垂直，只需證明向量相乘等于0，即只需證明 ■·■=0而 ■= ■- ■， ■= ■- ■.又由題目可知： ■= ■+ ■+ ■，所以 ■= ■+ ■，又由外接圓的性質得知 ■， ■的模相等，所以要證明這兩個向量垂直，只需將 ■， ■表示出來即可。

證明：∵ ■= ■- ■

=（ ■+ ■+ ■）-■

= ■+ ■

■= ■- ■

∴ ■· ■= （ ■+ ■）·（ ■- ■）

=| ■|2-| ■|2

∵O為外心，∴| ■|=| ■|

即 ■· ■=0， ■⊥■？郾

以上例子是平面幾何中最常見的直線或線段垂直的問題，這類問題一般用幾何中垂直的相關判定定理進行解答，學生在解答類似的問題時可以從直線垂直的判定定理a⊥b■a·b=0（或x1x2+y1y2=0）入手思考，只要證明兩向量垂直，就可以得出對應的兩條線段或直線垂直。

通過以上幾個例子我們可以得到用向量方法解決平面幾何問題的一般步驟：

1？郾建立平面幾何與向量之間的關系，將平面幾何問題轉化為向量問題。

2？郾理清所要解答的幾何問題與向量之間有什么聯系。

3？郾運用向量進行運算。

4？郾把運算結果“翻譯”成幾何關系。

以上所論述的三個方面是向量在平面幾何中的主要應用，廣大教師應關注學生對這一知識及其應用的掌握程度，多加練習，提高解題速度和解題能力。

（責編 易惠娟）