正弦變換與Bézier曲線的參數(shù)化

摘 要： 通過對Bernstein基函數(shù)實施正弦變換，給出了Bézier曲線的一類重新參數(shù)化方法。基于Bernstein基函數(shù)，導(dǎo)出了正弦—Bernstein-Bézier類（Sine Bernstein-Bézier Class-SBBC）函數(shù)，定義了SBBC曲線，討論了SBBC曲線和Bézier曲線的關(guān)系，提供了Bézier曲線重新參數(shù)化的一種有效方法。

關(guān)鍵詞： 正弦變換； SBBC函數(shù)； SBBC曲線； Bézier曲線； 重新參數(shù)化

中圖分類號：TP301.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1006-8228（2013）10-49-03

0 引言

曲線的重新參數(shù)化方法在幾何造型和CAGD中有重要應(yīng)用。國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)給出不少重要的結(jié)論和方法。有理Bézier曲線可以通過線性變換進(jìn)行重新參數(shù)化而保持參數(shù)域和控制頂點不變，變化的是參數(shù)和曲線上點的對應(yīng)關(guān)系[1]。Farin和Worsey給出了有理Bézier曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式[2]，他們建議重新參數(shù)化有理曲線以使得首末權(quán)因子為1。Farouki討論了曲線的最佳參數(shù)化方法[3]，給出了與曲線導(dǎo)數(shù)有關(guān)的最佳參數(shù)化標(biāo)準(zhǔn)。鄭建民研究了與重新參數(shù)化有關(guān)的有理Bézier曲線的權(quán)因子比率的最小化問題[4]。施法中等介紹了通過權(quán)因子變換實現(xiàn)曲線重新參數(shù)化的途徑[5-6]。

需要說明的是，這些文獻(xiàn)中解決曲線參數(shù)化或重新參數(shù)化的問題時主要采用有理線性參數(shù)變換f（u）=[（1+α）u]/（1+αu），u∈[0，1]，α>-1，α∈R和權(quán)因子變換，前者涉及到參數(shù)u的有理式計算和化簡，計算量較大；后者在討論參數(shù)化之前必須確定曲線的形狀不變因子，需要相關(guān)的計算支持。本文通過對Bernstein基函數(shù)實施正弦變換，得到了Bézier曲線等價形式的SBBC曲線，它可以規(guī)避現(xiàn)有方法的局限。

5 結(jié)束語

SBBC曲線是Bézier曲線的等價形式。可以用來解決Bézier曲線的重新參數(shù)化問題。通過調(diào)整重新參數(shù)化因子θ的值，可以得出任意參數(shù)化條件下的Bézier曲線的重新參數(shù)化形式，算法計算簡單，容易操作，具有通用性。……