羅爾（Rolle）中值定理的一個應用

摘 要 羅爾中值定理是一個重要的微分學基本定理，它揭示了可導函數的極值點的本質特合理地利用它，則可方便地證明某些恒等式。

關鍵詞 羅爾中值定理 極值 極值點 可導函數 恒等式

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A

羅爾中值定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理統稱為微分中值定理。其中羅爾中值定理是微分學基本定理中的一個重要的定理，它也是拉格朗日中值定理的一個特殊形式。它的幾何意義在于：若函數在某區間上滿足羅爾定理的三個條件，則在該區間內至少存在一點，函數在該點的切線必與X軸平行。正是基于這一點，在教學中人們一般主要介紹它在判別某個方程是否有解上的應用。但在輔導學生作考研準備時發現，理解中值定理的本質，利用它也可以巧妙地來證明一些特殊的恒等式。現介紹如下：

1 羅爾中值定理

這三個例題均為某大學的考研題。從例3、例4及例5可以看出，若能深刻理解羅爾中值定理的本質特征，并能巧妙地建立輔助函數（這也是解決這類問題的關鍵所在），就能利用它方便地證明一些特殊的恒等式。當然，這實質上也還是方程根的存在性問題，只是表示方法有所不同而已。

注釋

① 華東師范大學數學系.數學分析（第四版）.高等教育出版社：122.

②③劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義（上冊）（第三版）.高等教育出版社：212，213.