高中數學中函數與方程思想的研究

【摘 要】數學思想是數學活動的指導思想，是數學活動的一般概括。它從整體和思維的更高層次上指導學生有效地認識數學本質，運用基本的數學知識發現、完善數學知識結構，探尋解題的方向和途徑。本文對此進行了分析研究。

【關鍵詞】高中數學；函數思想；方程思想；研究

數學思想是數學活動的指導思想，是數學活動的一般概括。它是從整體和思維的更高層次上指導學生有效地認識數學本質，運用基本的數學知識發現、完善數學知識結構，探尋解題的方向和途徑。通過概括、比較的基本方法讓學生的數學能力得到提升，并借助數學思想的運用，能夠逐步培養學生掌握初步的科學方法論，增強思維能力。數學思想的教學使高中數學教學進一步走向現代化，本文將談談高中數學中最重要的兩種思想：函數思想與方程思想。

一、構建函數關系

在數學各分支形形色色的數學問題或綜合題中，將非函數問題的條件或結論通過類比、聯想、抽象、概括等手段，構造某些函數關系，利用函數思想和方法使原問題獲解，這是函數思想解題的高層次的體現。構造函數時要仔細審題，充分發掘題設中可類比、聯想的因素，促進思維遷移。

例題1.a為何值時，不等式a2+2a-sin2x-2acosx>2對任意實數x都成立。

分析：看到這個題目后很容易想到分離變量a和x，轉化為a的二次函數的最值解決，但實際解題中卻無法直接從原不等式中分離出參數a，深入審題知思維屏障產生于sin2x與cosx的不和諧性。以此為突破口，利用整體思想、換元，將原不等式先轉換為cosx的二次不等式，再利用新構造的函數關系求解.

解析：令t=cosx，則sin2x=1-t2，t∈[-1，1]，

不等式化為t2-2at+a2+2a-3>0在t∈[-1，1]上恒成立，

設f（t）=t2-2at+a2+2a-3=（t-a）2+2a-3.當a≤-1時，f（t）min=f（-1）=a2+4a-2；且當-10.即所求的a值為下列不等式組的解。

（1）a≤-1a+4a-2>0或（2）-10或（3）a>1a-2>0，

依次解得a<-2-或a≠0或a>，故所求a的取值范圍是a<-2-或a>。

點撥解疑：①不等式恒成立問題的基本解法是轉化為函數最值問題，利用函數性質解決，但本題無法分離參數，顧只好對含參數a的二次函數最值依對稱軸位置分情況討論，利用函數性質：f（t）>0，對t∈[-1，1]恒成立等價于f（t）min>0，t∈[-1，1]，使問題解決。②在解題中綜合使用了函數思想，數形結合思想，分類討論思想和化歸思想及換元法，對思維品質要求較高。

二、待定系數法

把題目中待定的未知數（或參數）和已知數的等量關系揭示出來，建立方程（組）求出未知數的值，是待定系數法的基本形式，也是方程思想的一種基本應用。

例題2.是否存在常數a，b，c，使得等式1·22+2·32+3·42+……+n（n+1）2=（an2+bn+c）對于一切自然數n都成立？并證明你的結論。

分析：本例屬存在型探索題，但也是待定系數法運用的典型題目，問題要求含三個待定常數a，b，c的等式對一切自然數都成立，易聯想到用賦值法，此等式必然對a，b，c所取的任何具體的自然數的值都成立.令n=1，2，3，建立a，b，c的三元方程組，轉化為方程組是否有解，問題便不難解決了。

解析：假設存在a，b，c，使題設的等式成立，令n=1，2，3，得

4=（a+b+c）22=（4a+2b+c）70=9a+3b+c，解得a=3b=11c=10，下面用數學歸納法證明

（略：讀者自行完成）

點撥解疑：待定系數法的實質就是方程思想的應用，由于待定系數法是數學的一大基本方法，因而賦予方程思想的應用以廣闊空間，高中數學中比比皆是，諸如已知函數式及某特殊函數值，求待定系數或底數或指數的值，已知數列的類型及某特殊項或前n項和的值，求通項公式或前n項和公式中的待定系數，已知曲線方程的類型，由某些已知數求方程中待定系數的值等等。

三、函數思想與方程思想的聯用

在解綜合題時，解決一個問題常常不止需要一種數學思想，而是需要多種數學思想方法的聯用，例如函數思想與方程思想的聯用。它們間的相互轉換一步步使問題獲得解決，轉換的途徑為函數+方程+函數或方程+函數+方程。

例題3.若拋物線y=-x2+mx-1和兩端點A（0，3），B（3，0）的線段AB有兩個不同的交點，求m的取值范圍。

分析：先由方程思想將曲線的交點問題轉化的方程的解的問題，再由方程有解轉化為二次函數的實根分布問題，再通過解不等式（組）得到所求范圍。

解析：線段AB的方程為+=1（0≤x≤3）代入y=-x2+mx-1得x2-（m+1）x+4=0，（0≤x≤3），原命題等價于f（x）= x2-（m+1）x+4在[0，3]上有兩個不等的實數根，故應有△=（m-1）-16>00<<3f（0）=4>0f（3）=9-3（m+1）+4≥0，解得3

結 語：函數是高中數學的主線，它用聯系、運動和變化的觀點研究、描述客觀世界中相互關聯的量之間的依存關系，形成變量數學的一大重要基礎和分枝。函數思想以函數知識做基石，用運動變化的觀點分析和研究數學對象間的數量關系，使函數知識的應用得到極大的擴展，豐富并優化了數學解題活動，給數學解題帶來一股很強的創新能力。方程思想是從問題的數量關系出發，運用數學語言將問題中的條件轉化為方程、不等式或它們的混合組，通過解方程（組）、不等式（組）或其混合組使問題獲解。函數思想與方程思想的聯系十分密切，正是由于函數與方程思想在數學解題中的互化互換才豐富了數學解題的思想寶庫。

（作者單位：江蘇省鹽城市大岡中學）