拉普拉斯變換求解常系數(shù)線性微分方程的初值問題

【摘 要】本文從線性微分方程的角度出發(fā)，給出利用拉普拉斯變換求解幾個典型微分方程的實例，此方法可使計算過程得以簡化。

【關(guān)鍵詞】拉普拉斯變換；微分方程；電路

常系數(shù)線性微分方程是高等數(shù)學(xué)中極為重要的內(nèi)容，它應(yīng)用非常廣泛，尤其是在物理應(yīng)用中經(jīng)常通過線性微分方程的模型來解決物理問題。微分方程求解往往又是解決問題的關(guān)鍵。而拉普拉斯變換是由一個函數(shù)到另一個函數(shù)的變換。其主要作用是簡化解題手續(xù)，把微積分運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，并能把微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，從而極大地簡化了計算過程、縮短了運算時間。下面介紹用拉普拉斯變換實例求解常系數(shù)線性微分方程的過程。

一、拉普拉斯變換的概念

若L[f（t）]=F（p），且L[f（t）]存在，則L[f（t）]=pF（p）-f（0），將此性質(zhì)連續(xù)施用n次，則有L[f（n）（t）]=pnF（p）-pn-1f（0）-pn-2f（0）-……-f（n-1）（0），n=1，2，…利用拉式變換解常系數(shù)線性微分方程，先對方程兩邊取拉式變換，設(shè)L[y]=Y（p），得出關(guān)于Y（p）的代數(shù)方程，解此方程求出Y（p），再對Y（p）作拉式逆變換，即可求出微分方程的解。

例1：求微分方程y〃+4y=0滿足初始條件y（0）=-2，y′（0）=4的特解。

以上僅從數(shù)學(xué)問題和物理問題兩個方面的實例給出拉普拉斯變換求解微分方程的過程，像這樣的例子數(shù)不勝數(shù)。科技飛速發(fā)展的今天，應(yīng)用數(shù)學(xué)己滲透到生活中的方方面面，解決問題時采用某種捷徑方法，不僅能提高我們的工作效率，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中也能激發(fā)學(xué)生的研究興趣。

【參考文獻】

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（作者單位：紫瑯職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課教育部）