基于牛頓—科特斯積分的誤差分析

[摘 要]本文首先簡單介紹了牛頓科特斯公式的基本思想及算法步驟，然后討論了牛頓科特斯公式的階數及復化的子區間個數對誤差的影響，得出布爾求積公式（即階數取4），復化子區間個數取90左右較為理想。

[關鍵詞]積分 復化牛頓-科特斯積分 誤差

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）18-0152-02

一、引言

我們知道利用插值多項式來構造數值求積公式是最常用的一種方法，為了便于計算與應用，常將積分區間n等分，其中的每個節點作為求積節點，這樣構造出來的插值型求積公式就稱為牛頓-科特斯（Newton-Cotes）求積公式，這里的n稱為牛頓-科特斯公式的階數。當n=1時，該公式即為梯形求積公式；當n=2時，為辛普森求積公式；當n=3時，為3/8辛普森求積公式；當n=4時，為布爾求積公式。

由文[1]我們知道，當 n≤7 時，牛頓-布爾公式是穩定的。而當 n≥8 時，出現負數，穩定性得不到保證。而且當n較大時，由于Runge現象，收斂性也無法保證。[2]故一般不采用高階的牛頓-科特斯求積公式。為了提高精度我們通常把積分區間分成若干子區間，然后在每個子區間上應用低階牛頓-科特斯求積公式求積分，即為復化求積法。[3]

本文借助Matlab[4][5]符號計算系統，首先討論不同的方法（即階數的不同）對積分的精度與速度的影響，其次，討論復化的子區間段數對積分誤差的影響。

二、復化的牛頓科特斯求積算法實現

在積分區間[a，b]上取n+1個等距節點xk=a+kn（k=0，1，…，n），其中h= ，利用n次拉格朗日插值函數代替被積函數即得牛頓-科特斯求積公式：

f（x）dx≈（b-a） Ck（n）f（xk）

其中Ck（n）= t（t-1）…[t-（k-1）]×[t-（k+1）]…t（t-n）dt

為科特斯系數。表1列舉了階數n<=8的情況下的科特斯系數的值。

表1 在n<=8的情況下的科特斯系數的值

這樣，我們較為容易給出復化的牛頓科特斯公式的算法步驟：

（1） 給定子區間數N及牛頓科特斯公式的階數n.

（2） 將區間[a，b]分成N個子區間，h= 且xk=a+kh（k=0，1…，N）；

（3） 由給定的n求出牛頓科特斯系數；

（4） 在每個子區間[xk，xk+1]中，利用n次牛頓科特斯公式求出積分結果 ；

（5） 將每個子區間的積分結果求和即得近似的積分結果。

將上述算法用流程圖表示，如圖1所示。

圖1 復化的牛頓科-特斯求積算法

三、對比分析

影響牛頓科特斯公式的誤差的有兩方面因素：階數及復化時子區間個數。為研究二者對誤差的影響，選取三類積分進行比較研究：（1） e-xsin xdx（2） dx（3） dx。誤差采用積分結果與真值的差的絕對值。

（一）牛頓科特斯公式的階數對誤差的影響

考慮一般的牛頓科特斯公式的階數對誤差的影響，由于階數大于7穩定性得不到保證，故取階數n=1，...7，得出表2。

表2不同階數的牛頓科特斯積分計算

觀察表1中的誤差行，發現誤差呈遞減趨勢，故易知階數越高誤差越小；由表1中各耗時行可以看出隨著階數增加，耗時增加。因此當牛頓科特斯公式階數增加時，誤差減小，同時耗時增加。

特別地觀察不同階數下的誤差階，注意到當階數小于4時，誤差相對較大；階數大于4時，誤差相對較小，但隨著階數的增加，誤差減小速度變慢。

觀察三個函數當階數高于4時的誤差值發現，階數取4、5時誤差基本接近，階數取6，7時誤差基本接近；考慮到耗時隨階數數的增加而增加，故牛頓科特斯公式的階數取4（即使用布爾求積公式）能得到比較理想的結果。

綜上，在使用牛頓科特斯公式時，建議使用階數為4。

（二） 子區間個數對誤差的影響

由3.2我們知道，牛頓科特斯公式的階數取4（使用布爾求積公式）較為理想，故在研究復化子區間個數對誤差的影響時，取階數為4。我們將區間段數分別取1、11、21、……、151，利用布爾求積公式計算復化的牛頓-科特斯求積結果及誤差，結果顯示為圖2。

圖2 誤差隨子區間個數變化曲線

由上圖可以看出，隨著子區間個數的增加，誤差越來越小，然而當子區間個數達到90后，誤差的減小速度減慢，這表明用復化的方法降低牛頓科特斯算法的誤差時，當達到一定精度后再想使誤差減小付出的代價較大，即運算量很大且耗時增加，不適宜再使用牛頓科特斯法。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 《現代應用數學手冊》編委會編.現代應用數學手冊.計算與數值分析卷[M].北京：清華大學出版社，2005.

[2] 黃云清等編著.數值計算方法[M].北京：科學出版社，2009.

[3] （美）里德（Leader，J.J.）張威等譯.數值分析與科學計算[M].北京：清華大學出版社，2008.

[4] 張志涌等編著.精通MATLABR2011a[M].北京：北京航空航天大學出版社，2011.

[5] 鄧薇.MATLAB函數全能速查寶典[M].北京：人民郵電出版社，2012.

[責任編輯：左 蕓]