線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

[摘 要]線性代數(shù)在計(jì)算數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、生物學(xué)、微積分、經(jīng)濟(jì)科學(xué)、管理科學(xué)等眾多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)內(nèi)各部門(mén)間是相互聯(lián)系、相互依存的，每個(gè)部門(mén)都具有雙重性：每個(gè)部門(mén)不僅向自身、其他部門(mén)及社會(huì)提供自己的產(chǎn)品或服務(wù)，同時(shí)在生產(chǎn)過(guò)程中都要消耗自身及其他部門(mén)提供的產(chǎn)品或服務(wù)。投入產(chǎn)出分析是一種行之有效的經(jīng)濟(jì)數(shù)量分析方法，投入產(chǎn)出模型是國(guó)民經(jīng)濟(jì)計(jì)劃工作的重要工具。在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，投入產(chǎn)出分析被充分吸收到國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算體系中，具有重要的實(shí)踐意義

[關(guān)鍵詞]投入產(chǎn)出方法 直接消耗系數(shù) 完全消耗系數(shù) 技術(shù)結(jié)構(gòu)矩陣

[中圖分類(lèi)號(hào)] D151.2 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2013）11-0044-04

線性代數(shù)在計(jì)算數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、生物學(xué)、微積分、經(jīng)濟(jì)科學(xué)、管理科學(xué)等眾多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，如矩陣是經(jīng)濟(jì)研究和經(jīng)濟(jì)工作中處理線性經(jīng)濟(jì)模型的重要工具。著名的投入產(chǎn)出分析就是以線性代數(shù)理論為基礎(chǔ)的，是線性代數(shù)卓有成效的應(yīng)用。投入產(chǎn)出方法可以進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)、研究某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)政策的實(shí)施將對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生什么影響，還可以用于一些專(zhuān)門(mén)的社會(huì)問(wèn)題研究（如環(huán)境污染問(wèn)題、人口問(wèn)題、世界經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)問(wèn)題等）。 線性代數(shù)知識(shí)也是線性規(guī)劃問(wèn)題研究的必備基礎(chǔ)。 計(jì)算數(shù)學(xué)中一切方法無(wú)例外地都以線性代數(shù)為基礎(chǔ)，從這個(gè)意義上，可以說(shuō)線性代數(shù)是完全的應(yīng)用學(xué)科。以下以投入產(chǎn)出方法為例，給出它在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用實(shí)例。

投入產(chǎn)出分析是20世紀(jì)30年代由俄羅斯籍美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家列昂惕夫（ 1906～1999）首先提出的，是經(jīng)濟(jì)分析的一種方法。粗略地說(shuō)，就是產(chǎn)出某種產(chǎn)品，需要投入多少資源？

一、投入產(chǎn)出方法的基本原理

例1 鐵路建設(shè)的鋼材需求問(wèn)題

建設(shè)一公里鐵路約需要用鋼材100噸，如果計(jì)劃增建3 000公里鐵路，需要鋼鐵部門(mén)增產(chǎn)多少鋼材？

分析：需要增產(chǎn)的鋼材是不是100×3000=300000（噸）呢？事實(shí)上并非如此。因?yàn)闉榱嗽鼋ㄟ@三千公里鐵路，還需要增加采礦、煉鐵、煉鋼、軋鋼、電力、運(yùn)輸?shù)炔块T(mén)的生產(chǎn)能力，這些部門(mén)都需要增加對(duì)鋼材的需求，甚至擴(kuò)大工人住宅也需要鋼材。 因此增建三千公里鐵路，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止需要30萬(wàn)噸鋼材，必須統(tǒng)籌考慮各部門(mén)之間的關(guān)系，并進(jìn)行綜合平衡。

投入產(chǎn)出分析就是對(duì)例1中這樣錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系進(jìn)行定量分析，使各部門(mén)能有計(jì)劃按比例地協(xié)調(diào)發(fā)展。 它是研究某一經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中各部門(mén)之間的“投入”與“產(chǎn)出”關(guān)系的一種線性模型，一般稱(chēng)之為投入產(chǎn)出模型，被廣泛的應(yīng)用在微觀及宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的平衡分析上，已成為進(jìn)行現(xiàn)代化管理的重要工具。

“投入”是指從事一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的各種消耗，其中包括原材料、設(shè)備、動(dòng)力、人力、資金等的消耗；“產(chǎn)出”是指從事一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的結(jié)果（若從事的是生產(chǎn)活動(dòng)，產(chǎn)出就是生產(chǎn)的產(chǎn)品）。投入產(chǎn)出方法應(yīng)用廣泛，以下介紹其基本原理及計(jì)算方法。

（一）價(jià)值型投入產(chǎn)出模型

經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)內(nèi)各部門(mén)間是相互聯(lián)系、相互依存的，每個(gè)部門(mén)都具有雙重性：每個(gè)部門(mén)不僅向自身、其他部門(mén)及社會(huì)提供自己的產(chǎn)品或服務(wù)（即產(chǎn)出），同時(shí)在生產(chǎn)過(guò)程中都要消耗自身及其他部門(mén)提供的產(chǎn)品或服務(wù)（即投入）。 而經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門(mén)之間的投入產(chǎn)出關(guān)系通常用投入產(chǎn)出表來(lái)描述。

（1）投入產(chǎn)出表

投入產(chǎn)出表分為實(shí)物型和價(jià)值型兩種。實(shí)物型投入產(chǎn)出表采用實(shí)物計(jì)量單位編制，其特點(diǎn)是經(jīng)濟(jì)意義明確，適合于實(shí)際工作的需要；價(jià)值型投入產(chǎn)出表采用貨幣計(jì)量單位編制，其特點(diǎn)是單位統(tǒng)一，適合于對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行全面的分析研究。以下為價(jià)值型投入產(chǎn)出表：

表1

■

其中xi表示第i個(gè)生產(chǎn)部門(mén)的總產(chǎn)出，xij表示第i個(gè)部門(mén)在生產(chǎn)過(guò)程中消耗第j個(gè)部門(mén)的產(chǎn)品數(shù)量，yi表示第個(gè)i部門(mén)的最終產(chǎn)品，zj表示第j個(gè)部門(mén)的新創(chuàng)造價(jià)值（i，j=1，2…，n）。

（2）平衡方程

（Ⅰ）產(chǎn)品分配平衡方程

為了保持一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)，必須保持投入與產(chǎn)出之間的平衡，從數(shù)量關(guān)系上看，就是要使xi、xij及yi滿足方程組：

x11+x12+…+x1n+y1=x1x21+x22+…+x2n+y2=x2……………………xn1+xn2+…+xnn+yn=xn

或簡(jiǎn)寫(xiě)成xi =■xij+yi（i=1，2…，n） （1）

它表明，每一個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出xi應(yīng)等于該部門(mén)留著本部門(mén)使用的產(chǎn)品及在生產(chǎn)過(guò)程中流向其他各部門(mén)作為中間產(chǎn)品消耗的產(chǎn)品■xij和向社會(huì)提供的最終產(chǎn)品yi的總和。式（1）稱(chēng)為部門(mén)間產(chǎn)品分配平衡方程。

（Ⅱ）生產(chǎn)消耗平衡方程

從投入產(chǎn)出表的縱列看，要保持一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)投入與產(chǎn)出之間的平衡，還要使xj、xij及zi滿足方程組：

x11+x21+…+xn1+z1=x1x12+x22+…+xn2+z2=x2……………………x1n+x2n+…+xnn+zn=xn

或簡(jiǎn)寫(xiě)成 xj =■xij+zj（j=1，2…，n） （2）

它表明，每一個(gè)部門(mén)的總投入xj應(yīng)等于該部門(mén)所消耗的全部物資■xij以及新創(chuàng)造的價(jià)值z(mì)j之和。式（2）稱(chēng)為部門(mén)間生產(chǎn)消耗平衡方程（或產(chǎn)值方程）。

（Ⅲ）投入產(chǎn)出均等方程

對(duì)產(chǎn)品分配平衡方程（1）兩邊求和，得

■xi=■（■xij+ yi）=■ ■xij+■yi （3）

對(duì)生產(chǎn)消耗平衡方程（2）兩邊求和，得

■xj=■（■xij+ zj）=■ ■xij+■zj （4）

由式（3）、（4），知■yi=■zj （5）

它表明，各部門(mén)向社會(huì)提供的全部最終產(chǎn)品應(yīng)等于各部門(mén)新創(chuàng)造的價(jià)值。

式（1）、（2）和（5）反映了一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)達(dá)到平衡的條件，即投入與產(chǎn)出之間必須滿足的數(shù)量關(guān)系.

（二）直接消耗系數(shù)

為了充分反映各部門(mén)之間在生產(chǎn)技術(shù)上的數(shù)量依存關(guān)系，給出

定義1 第j部門(mén)每生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品直接消耗第i部門(mén)的產(chǎn)品量，稱(chēng)為第j部門(mén)對(duì)第i部門(mén)的直接消耗系數(shù)（或投入產(chǎn)出系數(shù)），記作aij，即

aij=■（i，j=1，2…，n）

換句話說(shuō)，aij是第j部門(mén)每生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品需要第i部門(mén)直接分配給它的產(chǎn)品數(shù)量。

各部門(mén)之間的直接消耗系數(shù)構(gòu)成的n階方陣

■

稱(chēng)為直接消耗系數(shù)矩陣。

各部門(mén)之間的直接消耗系數(shù)是以生產(chǎn)技術(shù)性聯(lián)系為基礎(chǔ)的，是相對(duì)穩(wěn)定的，一般把它叫做技術(shù)系數(shù)。它反映了各部門(mén)之間的直接聯(lián)系的強(qiáng)度，aij的數(shù)值愈接近1，說(shuō)明j部門(mén)與i部門(mén)的聯(lián)系愈密切；若aij的數(shù)值愈接近0，則說(shuō)明j部門(mén)與i部門(mén)之間的聯(lián)系愈稀疏；當(dāng)aij的值為零時(shí)，說(shuō)明j部門(mén)與i部門(mén)之間沒(méi)有直接的生產(chǎn)與分配聯(lián)系。

由定義，直接消耗系數(shù)具有下列性質(zhì)：

（1）所有元素均非負(fù)，且0≤aij<1（i，j=1，2…，n）；

（2）各列元素的絕對(duì)值之和均小于1，即 ■|aij|<1（j=1，2…，n）。

平衡方程組可以由矩陣來(lái)表示。

由aij=■，有xij=aijxj（i，j=1，2…，n） （6）

由式（6）及產(chǎn)品分配平衡方程組，有

a11x1+a12x2+…+a1nxn+y1=x1a21x1+a22x2+…+a2nxn+y2=x2…………………………an1x1+an2x2+…+annxn+yn=xn

或簡(jiǎn)寫(xiě)成xi =■aijxj+yi（i=1，2…，n） （7）

類(lèi)似地，由式（6）及生產(chǎn)消耗平衡方程組，有

a11x1+a21x1+…+an1x1+z1=x1a21x1+a22x2+…+a2nxn+z2=x2…………………………a1nxn+a2nxn+…+annxn+zn=xn

或簡(jiǎn)寫(xiě)成xj =■aijxj+zj（j=1，2…，n） （8）

設(shè)向量、矩陣分別為

■

則方程組式（7）、式（8）可以分別寫(xiě)成矩陣方程

X=AX+Y，X=CX+Z，

或（I-A）X=Y （9）

（I-C）X=Z （10）

其中X稱(chēng)為總產(chǎn)品列向量，Y稱(chēng)為最終產(chǎn)品列向量，Z稱(chēng)為新創(chuàng)造價(jià)值列向量，C稱(chēng)為中間投入系數(shù)矩陣，矩陣I-A稱(chēng)為技術(shù)結(jié)構(gòu)矩陣（或列昂惕夫矩陣）。

對(duì)角形矩陣C的主對(duì)角線上的元素■aij（j=1，2…，n），表示在第j部門(mén)的產(chǎn)值中，消耗各部門(mén)（包括本部門(mén)）提供給本部門(mén)的產(chǎn)品所占的比重。

在一定的技術(shù)水平和生產(chǎn)組織的條件下，直接消耗系數(shù)是相對(duì)穩(wěn)定的，因此利用關(guān)系式（9）、（10）可以對(duì)下期計(jì)劃進(jìn)行預(yù)測(cè)：

（1）如果已知總產(chǎn)品X，則由式（9）可求得最終產(chǎn)品Y；

（2）如果已知最終產(chǎn)品Y，則可證明矩陣I-A可逆，再由式（9）得總產(chǎn)品X，即X=（I-A）-1Y （11）

（3）如果已知總產(chǎn)品X，則由式（10）得新創(chuàng)造的價(jià)值Z；

（4）如果已知新創(chuàng)造的價(jià)值Z，則可證明矩陣I-C可逆，由式（10）（E-C）X=Z得總產(chǎn)品X，即X（I-C）-1Z （12）

在應(yīng)用投入產(chǎn)出方法研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題時(shí)，具體計(jì)算通常借助電子計(jì)算機(jī)完成.

（三）完全消耗系數(shù)

在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門(mén)之間除了存在直接消耗關(guān)系以外，還存在著錯(cuò)綜復(fù)雜的間接消耗關(guān)系.

例2 煉鋼電力的消耗問(wèn)題

分析 （1）煉鋼需要消耗電力，這是煉鋼對(duì)電的直接消耗；

（2）煉鋼還需要消耗鐵和焦炭，煉鐵、煉焦也需要消耗電力，這可看作是煉鋼對(duì)電的一次間接消耗；

（3）煉鐵、煉焦需要消耗鐵礦石和煤，采礦、采煤又需要消耗電力，這可看作是煉鋼對(duì)電的二次間接消耗；

（4）制造以上各生產(chǎn)環(huán)節(jié)所需的設(shè)備都需要消耗電力……

如此分析下去，顯然可以找出煉鋼對(duì)電的更多次的間接消耗.將煉鋼對(duì)電的直接消耗與所有的間接消耗加在一起，就稱(chēng)為煉鋼對(duì)電的完全消耗.

定義2 第j部門(mén)生產(chǎn)產(chǎn)品時(shí)通過(guò)其他部門(mén)間接消耗第i部門(mén)的產(chǎn)品稱(chēng)為第j部門(mén)對(duì)第i部門(mén)的間接消耗，直接消耗與全部間接消耗之和稱(chēng)為完全消耗.

定義3 第j部門(mén)生產(chǎn)單位產(chǎn)品時(shí)對(duì)第i部門(mén)完全消耗的產(chǎn)品量稱(chēng)為第j部門(mén)的完全消耗系數(shù)，記作bij，即

bij =aij+■bikakj（i，j=1，2…，n） （13）

其中■bika表示間接消耗的總和.如果記B=（bij），則稱(chēng)B為完全消耗系數(shù)矩陣.

于是，式（13）的矩陣形式為B=A+BA（或B（I-A）=A），則有

B=（I-A）-1-I （14）

式（14）表明，完全消耗系數(shù)矩陣B可由直接消耗系數(shù)矩陣A求出.

直接消耗系數(shù)反映的是各部門(mén)之間產(chǎn)品的直接消耗關(guān)系，而完全消耗系數(shù)則更全面地反映各部門(mén)之間相互依存、相互制約的關(guān)系. 完全消耗系數(shù)從最終產(chǎn)品量和總產(chǎn)品量的關(guān)系上闡明了經(jīng)濟(jì)活動(dòng)規(guī)律，準(zhǔn)確、完整地反映了提供單位最終產(chǎn)品所引起的對(duì)各部門(mén)產(chǎn)品的需求量.這對(duì)于最終產(chǎn)品確定之后，預(yù)測(cè)各部門(mén)的總產(chǎn)量是非常有用的，對(duì)搞好綜合平衡具有重要的意義.

二、投入產(chǎn)出方法在經(jīng)濟(jì)計(jì)劃工作中的應(yīng)用舉例

（一）檢驗(yàn)現(xiàn)有生產(chǎn)計(jì)劃方案的平衡性

在現(xiàn)有生產(chǎn)計(jì)劃方案中，當(dāng)各部門(mén)的計(jì)劃總產(chǎn)值和計(jì)劃最終產(chǎn)品數(shù)額已經(jīng)確定的情況下，如何檢驗(yàn)這些計(jì)劃數(shù)值是否能使各部門(mén)保持正常的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，使各部門(mén)的部門(mén)比例保持平衡呢？一個(gè)比較有效的方法就是利用投入產(chǎn)出模型中的平衡方程，從數(shù)量上精確地檢驗(yàn)生產(chǎn)計(jì)劃方案.

記xi，yi（i=1，2…，n）分別表示第i部門(mén)計(jì)劃期的計(jì)劃總產(chǎn)值和計(jì)劃最終產(chǎn)品數(shù)值.把xi（i=1，2…，n）代入投入產(chǎn)出模型中的產(chǎn)品分配平衡方程組，得到各部門(mén)的平衡最終產(chǎn)品數(shù)值，記作yi，即

xi-■aijxj=yi（i=1，2…，n），

然后再把各部門(mén)計(jì)劃最終產(chǎn)品數(shù)值yi與平衡最終產(chǎn)品數(shù)值yi用公式

δi =yi-yi=xi-■aijxj-yi （15）

進(jìn)行比較，就能檢查到各部門(mén)計(jì)劃產(chǎn)值與計(jì)劃需求值的平衡狀況，并根據(jù)檢查結(jié)果對(duì)計(jì)劃方案進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和修改.

（1）當(dāng)δi >0時(shí)，表示第i部門(mén)的計(jì)劃產(chǎn)量超過(guò)計(jì)劃需求量，即供大于求， 稱(chēng)之為余量；

（2）當(dāng)δi <0時(shí)，表示第i部門(mén)的計(jì)劃產(chǎn)量不能滿足計(jì)劃需求量，即供不應(yīng)求，稱(chēng)之為有缺口；

（3）當(dāng)δi ≈0時(shí)，表示第i部門(mén)的計(jì)劃產(chǎn)量與計(jì)劃需求量基本平衡.

各部門(mén)的絕對(duì)不平衡數(shù)額δi 是各部門(mén)計(jì)劃產(chǎn)量與計(jì)劃需求量平衡差額的確切數(shù)值，這些數(shù)值就是各部門(mén)的計(jì)劃需要調(diào)整的數(shù)量.當(dāng)某一部門(mén)的不平衡數(shù)額很小時(shí)，則可以認(rèn)為該部門(mén)的計(jì)劃量無(wú)需調(diào)整，該部門(mén)的計(jì)劃產(chǎn)量基本上是合理的，可行的.

例3 某一經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)有六個(gè)部門(mén)，已知該系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣為

■

計(jì)劃最終產(chǎn)品數(shù)值Y=（800，1060，350，450，50，270）T，計(jì)劃總產(chǎn)品數(shù)值X=（150，1500，2000，500，200，300）T，試求不平衡數(shù)額，檢驗(yàn)這項(xiàng)計(jì)劃是否合理.

解 根據(jù)式（15），計(jì)算可得

δ1=x1-■a1jxj-y1=-10，δ2=x2-■a2jxj-y2=0，

δ2=x3-■a3jxj-y3=-20，δ4=x4-■a4jxj-y4=30，

δ5=x5-■a5jxj-y5=-10，δ6=x6-■a6jxj-y6=0，

所以各部門(mén)不平衡額度為

δ=（-10，0，-20，30，-10，0）T，

故由不平衡數(shù)額可知，該生產(chǎn)計(jì)劃需要調(diào)整.

（二）調(diào)整現(xiàn)有生產(chǎn)計(jì)劃

例4 已知某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)有三個(gè)生產(chǎn)部門(mén)，其完全消耗系數(shù)矩陣為

■

下一計(jì)劃期最終產(chǎn)品的計(jì)劃是Y=（90，70，160）T，試求：

（1）下一計(jì)劃期的計(jì)劃總產(chǎn)量；

（2）在計(jì)劃的執(zhí)行過(guò)程中，如果發(fā)現(xiàn)第1部門(mén)產(chǎn)品有5個(gè)單位的余量，第3部門(mén)產(chǎn)品有10個(gè)單位的缺口，那么原計(jì)劃應(yīng)如何調(diào)整？

解 （1）因?yàn)?/p>

■，

所以，由式（14）、式（11）得，下一計(jì)劃期的計(jì)劃總產(chǎn)量是

■；

（2）當(dāng)最終產(chǎn)品的數(shù)量發(fā)生改變量ΔY=Y2-Y1時(shí)，則各部門(mén)間的總產(chǎn)品相應(yīng)發(fā)生的改變量是ΔX=X2-X1（B+I）Y2-（B+I）Y1=（B+I）（Y2-Y1）=（B+I）ΔY

即 ΔX=（B+I）ΔY

將Y=（-5，0，10） T 代入上式，得

■，

所以，原計(jì)劃總產(chǎn)量應(yīng)作如下調(diào)整

■

即三個(gè)部門(mén)調(diào)整后的總產(chǎn)量分別為x1=196.18，x2=402.543，x3=513.14.

投入產(chǎn)出分析是一種行之有效的經(jīng)濟(jì)數(shù)量分析方法，投入產(chǎn)出模型是國(guó)民經(jīng)濟(jì)計(jì)劃工作的重要工具.在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，投入產(chǎn)出分析被充分吸收到國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算體系中，具有重要的實(shí)踐意義.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 彭文學(xué)等.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)—微積分[M].武漢：武漢工業(yè)大學(xué)出版社，1988.

[2] 馮翠蓮.新編經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：北京大學(xué)出版社2005.

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[責(zé)任編輯：林志恒]