數(shù)值模擬應(yīng)用于地下水動(dòng)力學(xué)課程教學(xué)的研究與實(shí)踐①

摘 要：水文過程常因其抽象性和復(fù)雜性使課堂教學(xué)難以取得良好的效果。地下水動(dòng)力學(xué)中的利用高階微分方程的計(jì)算問題是該課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)，針對(duì)地下水動(dòng)力學(xué)課程的高階計(jì)算問題，把數(shù)值模擬方法引入到教學(xué)，以對(duì)實(shí)際的區(qū)域性地下水計(jì)算問題的求解，將地下水動(dòng)力學(xué)的基本概念、基礎(chǔ)公式、數(shù)值模擬、以及實(shí)際問題的求解完整的過程應(yīng)用于教學(xué)實(shí)踐，探索將數(shù)值模擬服務(wù)于教學(xué)的新方法。對(duì)課堂教學(xué)效果的調(diào)查表明，數(shù)值模擬的引入，不但增強(qiáng)了課堂教學(xué)表現(xiàn)力和教學(xué)效果，同時(shí)，有利于促進(jìn)科學(xué)研究的方法和成果與教學(xué)實(shí)踐的相結(jié)合。本次教學(xué)研究及實(shí)踐活動(dòng)所采取的方法和模式，期待為水文專業(yè)有關(guān)課程教學(xué)改革的深入進(jìn)行和創(chuàng)新性教學(xué)研究的開展提供參考和借鑒。

關(guān)鍵詞：地下水動(dòng)力學(xué) 數(shù)值模擬 教學(xué)研究

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2013）07（a）-0071-03

“地下水動(dòng)力學(xué)”是水文與水資源工程、地下水科學(xué)與工程、地質(zhì)工程、水文地質(zhì)工程等專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課。學(xué)習(xí)本課程的目的在于掌握地下水運(yùn)動(dòng)的基本理論，能初步運(yùn)用這些基本理論分析地下水運(yùn)動(dòng)問題，進(jìn)而解決實(shí)際的水文地質(zhì)問題，并能建立相應(yīng)的數(shù)值模型和提出適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法或模擬方法，對(duì)地下水進(jìn)行定量評(píng)價(jià)[1～2]。本課程內(nèi)容當(dāng)中，利用地下水運(yùn)動(dòng)基本方程式（二維或三維）的求解問題是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)問題，由于有關(guān)內(nèi)容的抽象性和復(fù)雜性，加之計(jì)算量較大且求解相對(duì)苦難，課堂教學(xué)難于獲得較好的效果。高等學(xué)校實(shí)施以創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)的素質(zhì)教育，其關(guān)鍵是要求改變教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。創(chuàng)造性教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)離不開創(chuàng)新性學(xué)習(xí)方法的正確運(yùn)用[3]。地下水動(dòng)力學(xué)課程要求學(xué)生具備一定的構(gòu)建數(shù)值模型以及求解問題的能力。在以往的教學(xué)研究中，已不斷嘗試將數(shù)值模擬（計(jì)算）引入到水文專業(yè)有關(guān)課程的教學(xué)[4～5]，探索創(chuàng)新性教學(xué)方法。本文基于以往將數(shù)值模擬引入到水文專業(yè)課程的教學(xué)研究結(jié)果，將數(shù)值計(jì)算方法應(yīng)用于地下水動(dòng)力學(xué)課程中的利用高階微分方程求解的教學(xué)實(shí)踐，以對(duì)區(qū)域性地下水實(shí)際問題的求解過程為例，在教學(xué)時(shí)將地下水動(dòng)力學(xué)的基本概念、基礎(chǔ)公式、數(shù)值模擬、以及實(shí)際問題求解的整體過程進(jìn)行系統(tǒng)地講授，使知識(shí)結(jié)構(gòu)的講解與學(xué)生接受知識(shí)的邏輯思維更容易統(tǒng)一。以數(shù)值模擬為手段對(duì)抽象的地下水流況及水位進(jìn)行數(shù)字化圖示，提升課堂表現(xiàn)力，增強(qiáng)教學(xué)效果，探索數(shù)值模擬與教學(xué)實(shí)踐更好結(jié)合的新方法，以期為水文水資源專業(yè)相關(guān)課程教學(xué)改革的深入進(jìn)行提供參考和借鑒。

1 教學(xué)流程

數(shù)值模擬是以計(jì)算機(jī)為手段，通過計(jì)算和圖像顯示的方法，達(dá)到對(duì)工程問題、物理問題乃至自然界各類問題研究的目的。在科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域中抽象出來的許多數(shù)學(xué)問題可以應(yīng)用計(jì)算機(jī)計(jì)算求解，注重算法思想及與工程實(shí)際相結(jié)合[6]。數(shù)值模擬來源于對(duì)實(shí)際問題計(jì)算的需要，在建立算法和求解過程中發(fā)展、并面向?qū)嵺`，與計(jì)算機(jī)的使用密切結(jié)合[7～8]。數(shù)值模擬被廣泛地應(yīng)用于水科學(xué)與工程科學(xué)研究領(lǐng)域。本文針對(duì)地下水動(dòng)力學(xué)課程中利用高解微分方程式的求解問題，將科研活動(dòng)中區(qū)域性地下水?dāng)?shù)值模擬的實(shí)例引入到教學(xué)當(dāng)中，其教學(xué)流程如圖1所示。

2 數(shù)值模擬方法引入

2.1 地下水運(yùn)動(dòng)的基本微分方程

用于數(shù)值模擬的基礎(chǔ)方程式為二維（準(zhǔn)三維）地下水運(yùn)動(dòng)的基本微分方程，準(zhǔn)三維系指在考慮地下水平面二維運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上（沿x、y方向），同時(shí)，考慮垂向的水收支成分和過程，但數(shù)值計(jì)算時(shí)，只對(duì)x、y方向?qū)λ囊剡M(jìn)行差分，在垂向（z向）不進(jìn)行差分。潛水（非承壓水）和承壓水運(yùn)動(dòng)的基本微分方程式如式（1）及式（2）。

潛水運(yùn)動(dòng)基本微分方程式：

（1）

承壓水運(yùn)動(dòng)基本微分方程式：

（2）

式中，t為時(shí)間因子，其單位步長為0.01 h；x為空間尺度因子，其水流方向上的步長為Δx=Δy=50 m；h為對(duì)應(yīng)于不同含水層的水深，（m）；H為水位，（m）；kx、ky為x、y方向的滲透系數(shù)，（m·s-1）；λ為有效孔隙率；r為雨水滲透速度，（m·s-1）；q為潛水的向下入滲速度，（m·s-1）；S為貯水系數(shù)；Tx、Ty分別為x、y方向的導(dǎo)水系數(shù)，Tx=kx·B、Ty=ky·B（其中B為層厚，m），（m2·s-1）；R越流因子，（m·s-1）；Q取水因子，（m·s-1）。

2.2 數(shù)值模型構(gòu)建

2.2.1 有限差分

（3）

（4）

式中，n為計(jì)算時(shí)間的次序編號(hào)；i，j為柵格編號(hào)。

2.2.2 計(jì)算條件

（1）工程實(shí)例。選取某流域下游入海口前的沖積平原為區(qū)域性地下水計(jì)算對(duì)象，該區(qū)域東西長10 km、南北12 km（圖2）。據(jù)對(duì)該區(qū)地理?xiàng)l件的調(diào)查結(jié)果，在土壤縱剖面上存在3個(gè)含水層分別為潛水層、第1承壓含水層、第2承壓含水層。對(duì)第2承壓含水層的地下水的觀測(cè)進(jìn)行了觀測(cè)，觀測(cè)點(diǎn)有8個(gè)（圖2中標(biāo)號(hào)①～⑧）。

（2）邊界條件。計(jì)算區(qū)域內(nèi)的主要水體主要有3條河，下游有一個(gè)小型湖泊和海岸，3條河流分別標(biāo)記為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ（圖2橢圓形括弧內(nèi)），湖泊和海標(biāo)記為Ⅳ。據(jù)對(duì)該區(qū)水文地質(zhì)條件的實(shí)際調(diào)查，計(jì)算采用第一類邊界條件，即給定邊界的初始水頭（水位）。

（3）參數(shù)率定及編程。計(jì)算需用到各不透水層的水力學(xué)參數(shù)以及含水層的初始水位等參數(shù)，各含水層計(jì)算初始狀態(tài)如圖3所示，需要用計(jì)算機(jī)語言進(jìn)行編程，開發(fā)用于計(jì)算的程序，相應(yīng)內(nèi)容較為復(fù)雜，在此略去。

2.3 數(shù)值模擬

對(duì)觀測(cè)點(diǎn)①～⑧的地下水水位進(jìn)行數(shù)值模擬，因?yàn)楦鼽c(diǎn)數(shù)值模擬結(jié)果的精度相差不大，給出①、②、④、⑤點(diǎn)的模擬結(jié)果如圖4（a～d）所示，在實(shí)測(cè)結(jié)果和觀測(cè)值共有的時(shí)段內(nèi)，對(duì)8個(gè)點(diǎn)的模擬結(jié)果進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，整體上，確定系數(shù)R在0.85以上，說明模模型效率較高。對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果整理，計(jì)算結(jié)束時(shí)，各含水層的水位及流況如圖5所示。

3 教學(xué)實(shí)踐

（1）理論教學(xué)。理論教學(xué)的主要包括基于質(zhì)量守恒定律推導(dǎo)和建立地下水運(yùn)動(dòng)的基本方程式，定解條件的確定方法，有限差分以及計(jì)算實(shí)例的基本情況介紹等內(nèi)容。理論教學(xué)重點(diǎn)在于使學(xué)生理解地下水運(yùn)動(dòng)基本方基本方程式建立的過程、以及利用方程式進(jìn)行求解的基本思路。

（2）數(shù)值模擬演示。以上述區(qū)域性地下水?dāng)?shù)值模擬的實(shí)例，向?qū)W生系統(tǒng)地介紹利用地下水運(yùn)動(dòng)的基本方程式對(duì)地下水求解的方法和過程，展示數(shù)值模擬結(jié)果以及計(jì)算結(jié)果（如圖2、圖3、圖4所示內(nèi)容）。使學(xué)生對(duì)地下水?dāng)?shù)值模擬方法有一定程度的了解，同時(shí)，結(jié)合對(duì)計(jì)算結(jié)果的圖示及分析，使學(xué)生可以清楚地了解地下水在時(shí)間和空間上的變化過程。

4 教學(xué)效果評(píng)析

采用對(duì)學(xué)生隨機(jī)調(diào)查的方式，對(duì)課堂教學(xué)效果進(jìn)行測(cè)評(píng)，對(duì)評(píng)議結(jié)果的整理如下：

（1）數(shù)值模擬方法的引入，使“理論知識(shí)—求解實(shí)際問題—結(jié)果展示”在教學(xué)次序上實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)地結(jié)合，是教學(xué)內(nèi)容的編排在邏輯上更加合理，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的接收。數(shù)值模擬，使抽象、困難、復(fù)雜的地下水求解問題變得相對(duì)具體、易懂、直觀，增強(qiáng)了課堂表現(xiàn)力和教學(xué)效果，提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（2）數(shù)值模擬過程的演示，不但使學(xué)生對(duì)利用高階微分方程式求解地下水計(jì)算問題的方法有了較深入的了解，而且使學(xué)生對(duì)地下水在時(shí)空上的運(yùn)動(dòng)過程有了較直觀的感性認(rèn)識(shí)，在接收知識(shí)以及對(duì)知識(shí)的深入理解上，有利于從混沌感性到清晰感性的整理過程。

（3）實(shí)際工程問題（區(qū)域性地下水實(shí)例）的引入，有利于促進(jìn)科研的實(shí)際問題與課堂教學(xué)相結(jié)合，使較先進(jìn)的科研方法（如數(shù)值模擬）以及科研成果有效地服務(wù)于教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，對(duì)探索課程創(chuàng)新性教學(xué)方法的深入開展有一定的推動(dòng)作用，對(duì)數(shù)值模擬方法更好地應(yīng)用于教學(xué)實(shí)踐提供了參考模式。

5 結(jié)語

將數(shù)值模擬的方法應(yīng)用于地下水動(dòng)力學(xué)課程中的利用高階微分方程求解問題，不但使教學(xué)效果得到了增強(qiáng)，而且有助于開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力和培養(yǎng)學(xué)生的科研興趣，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)感性材料進(jìn)行加工并轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)識(shí)及解決問題的能力。課程的基本理論與數(shù)值模擬相結(jié)合的教學(xué)方式，對(duì)探索創(chuàng)新性教學(xué)方法以及創(chuàng)造性教學(xué)理念的形成具有一定的促進(jìn)作用。

參考文獻(xiàn)

[1]吳吉春，薛禹群.地下水動(dòng)力學(xué)[M].北京：中國水利水電出版社，2009.

[2]文章.關(guān)于地下水動(dòng)力學(xué)教學(xué)改革與實(shí)踐的幾點(diǎn)思考[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2010（18）：175.

[3]侯立柱.“水文學(xué)原理”課程創(chuàng)新性教學(xué)研究[J].中國地質(zhì)教育，2011（4）：86-88.

[4]黃金柏，王斌，劉東.數(shù)值計(jì)算方法應(yīng)用于水文學(xué)“徑流-輸沙”教學(xué)的實(shí)例研究[J].知識(shí)力量·教育理論與教學(xué)研究，2011，144（5）：18-20.

[5]黃金柏，劉東，王斌.數(shù)值模擬應(yīng)用于水文教學(xué)的事例研究[J].青年社會(huì)（中外教育研究），2011，10：18-19.

[6]李繼榮.數(shù)值計(jì)算方法課程在成人教育中的教學(xué)研究[J].計(jì)算機(jī)教育，2010（18）：115-117.

[7]李夢(mèng)霞，陳忠.《數(shù)值計(jì)算方法》直觀教學(xué)研究[J].長江大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，6（1）：373-374.

[8]趙景軍，吳勃英.關(guān)于數(shù)值分析教學(xué)的幾點(diǎn)探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005（3）：28-301.