APOS理論下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)

高中新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，在高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，一定要注意通過(guò)揭示數(shù)學(xué)知識(shí)如何發(fā)生、如何發(fā)展的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。事實(shí)上，會(huì)求、會(huì)解、會(huì)運(yùn)算并不能說(shuō)明真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，更不能說(shuō)明理解了概念，這就提示教師要重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過(guò)程，而概念教學(xué)過(guò)程中一些環(huán)節(jié)的缺失影響了學(xué)生建構(gòu)概念的豐富性和全面性。美國(guó)教育家杜賓斯基針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)提出了APOS學(xué)習(xí)理論，其概念建構(gòu)層次性的觀點(diǎn)為數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)逐層漸進(jìn)提供了理論基礎(chǔ)，并且具有現(xiàn)實(shí)的可操作性。

一 APOS理論概念建構(gòu)層次性觀點(diǎn)的具體化呈現(xiàn)

第一，操作階段是真實(shí)接觸事物或直接感受實(shí)物，是學(xué)習(xí)者得出概念的直觀感受，是理解概念的基礎(chǔ)，也是體會(huì)概念與概念之間聯(lián)系的必要條件。操作階段是感性認(rèn)識(shí)階段。

第二，過(guò)程階段是學(xué)生對(duì)操作活動(dòng)過(guò)程的回味、思考和積累，即是學(xué)習(xí)者對(duì)操作活動(dòng)階段進(jìn)行反思抽象，認(rèn)知升華到認(rèn)識(shí)到事物的本質(zhì)的過(guò)程。過(guò)程階段是感性認(rèn)識(shí)逐漸上升到理性認(rèn)識(shí)階段。

第三，對(duì)象階段是不斷反復(fù)壓縮、抽象，進(jìn)行重新認(rèn)知，形成一個(gè)新的對(duì)象，新的對(duì)象可以從大腦中直接抽取出來(lái)，達(dá)到可以直接應(yīng)用的認(rèn)知狀態(tài)。對(duì)象階段是在理性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，是達(dá)到全新認(rèn)識(shí)的階段。

第四，圖式階段是重新認(rèn)識(shí)和外界具體事物建立聯(lián)系的過(guò)程，是理論應(yīng)用于實(shí)際的過(guò)程，最后形成綜合的心理圖式。

這些過(guò)程充分反映了數(shù)學(xué)概念的二重性的特點(diǎn)。在實(shí)際課堂教學(xué)的過(guò)程中，我們可以利用APOS理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)活動(dòng)，即數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)要經(jīng)歷“操作”、“過(guò)程”、“對(duì)象”和“圖式”四個(gè)階段，通過(guò)經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，揭示出數(shù)學(xué)概念發(fā)生發(fā)展的過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的聯(lián)系。通過(guò)學(xué)習(xí)者自主探究，充分反映了學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過(guò)程的真實(shí)思維活動(dòng)，增加學(xué)習(xí)者的主觀能動(dòng)性，提高學(xué)習(xí)者的洞察能力，在發(fā)掘出學(xué)習(xí)者積極性的同時(shí)，更有利于幫助學(xué)習(xí)者理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

二 APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)施的合理建議

APOS理論強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)始于現(xiàn)實(shí)具體例子，強(qiáng)調(diào)要把數(shù)學(xué)概念寓于現(xiàn)實(shí)社會(huì)背景中，讓學(xué)生通過(guò)活動(dòng)親身經(jīng)歷、從中經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過(guò)程。但是每個(gè)學(xué)習(xí)者只能依據(jù)本身已擁有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)才能主動(dòng)地加以建構(gòu)獲得知識(shí)，教師簡(jiǎn)單地進(jìn)行傳授是達(dá)不到預(yù)想的效果的。課堂教學(xué)過(guò)程中這就要求教師對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)環(huán)節(jié)給予特別的重視，盡可能開(kāi)放課堂，讓學(xué)生親歷體驗(yàn)。

因此，教師要有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)合情合理的問(wèn)題情境，幫助學(xué)習(xí)者完成建構(gòu)知識(shí)。創(chuàng)設(shè)問(wèn)題要注重考慮下列幾個(gè)方面：（1）創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題是否可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念發(fā)展形成的過(guò)程，并且盡可能地使數(shù)學(xué)概念與社會(huì)生活實(shí)際相結(jié)合；（2）創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題是否適合學(xué)習(xí)者已有的知識(shí)接受水平，能幫助知識(shí)構(gòu)建的順利開(kāi)展；（3）創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題是否含有適當(dāng)?shù)娜の缎裕梢砸鸫蠖鄶?shù)學(xué)習(xí)者的構(gòu)建興趣；（4）創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題數(shù)量是否適當(dāng)，可以滿足學(xué)習(xí)者構(gòu)建知識(shí)的體驗(yàn)。

從這里我們可以看到，APOS理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)可以讓學(xué)習(xí)者了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的數(shù)學(xué)概念，加強(qiáng)對(duì)生產(chǎn)和生活密切聯(lián)系的實(shí)際應(yīng)用性問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)能力。在教學(xué)過(guò)程中重視數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)際背景，只有數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)者的實(shí)際生活相互靠近相互交織在一起時(shí)，數(shù)學(xué)才可以是鮮活生動(dòng)的，才可以讓學(xué)生直觀感受到數(shù)學(xué)是從現(xiàn)實(shí)生活中來(lái)的，不是空洞的虛無(wú)的。數(shù)學(xué)又必須回到現(xiàn)實(shí)生活中去，服務(wù)生活，滿足生活需要。總之生活處處是數(shù)學(xué)。從這里我們也可以感受到，APOS理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)可以讓學(xué)生從創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題中提取出數(shù)學(xué)模型，對(duì)生活中的數(shù)學(xué)沒(méi)有距離感，提高對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的積極性和探索的主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)習(xí)者運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。但是，這并不意味著數(shù)學(xué)概念教學(xué)要過(guò)多注重操作階段，只停留在理解上，對(duì)其他三個(gè)階段不予重視。

APOS理論要經(jīng)過(guò)“操作”、“過(guò)程”、“對(duì)象”和“圖式”四個(gè)階段，分層次逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過(guò)程。四個(gè)階段也可認(rèn)為代表著數(shù)學(xué)概念在學(xué)習(xí)者認(rèn)知中建立起來(lái)的四個(gè)必經(jīng)之路，但是四個(gè)階段并不是絕對(duì)連續(xù)的過(guò)程，它們是一個(gè)相對(duì)連續(xù)但又有相互重疊反復(fù)的過(guò)程。學(xué)習(xí)者從操作到圖式建構(gòu)一個(gè)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程是艱難而又需要時(shí)間積累和自身沉淀的，尤其從過(guò)程到對(duì)象的抽象過(guò)程更是需要經(jīng)過(guò)多次反復(fù)重疊的思維訓(xùn)練，知識(shí)認(rèn)識(shí)循序漸進(jìn)，螺旋上升，直至學(xué)習(xí)者了解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。在對(duì)象的建立階段一定要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)符號(hào)的表示形式和相應(yīng)含義，使學(xué)生在頭腦中建立起直觀的知識(shí)結(jié)構(gòu)形象，方便隨時(shí)抽取應(yīng)用。對(duì)象、圖式階段是數(shù)學(xué)概念在學(xué)習(xí)者頭腦中建立的重要體驗(yàn)。這兩個(gè)階段在揭示概念之后，對(duì)象階段是由數(shù)學(xué)概念派生出探求、演算、求證等，圖式階段是整體脈絡(luò)方向。對(duì)象階段與圖式階段是往復(fù)序進(jìn)、循環(huán)前進(jìn)的過(guò)程。教學(xué)實(shí)施中在學(xué)生進(jìn)行概念建立的同時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生嘗試數(shù)學(xué)概念的自我理解。從這里我們看出，對(duì)象階段和圖式階段可以并存在一個(gè)時(shí)期，螺旋往復(fù)交替。因此APOS理論的四個(gè)階段并非固定在同一節(jié)課出現(xiàn)，它完全取決于數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中構(gòu)成的時(shí)期，所以教師要注意引導(dǎo)，及時(shí)交流互動(dòng)。

APOS理論的教學(xué)給數(shù)學(xué)概念教學(xué)注入了新鮮血液，更給教師開(kāi)拓了新的授課天地。

參考文獻(xiàn)

[1]李莉.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的層次分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002（3）：12～15

[2]張偉平.基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)探究[J].數(shù)學(xué)通訊，2006（15）

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕